Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Часть справа называется следствием (иливыводом).Следующий шаг процедуры — нахождение способа использовать входы(цвета) и базу знаний, представленную правилами ЕСЛИ—ТО, чтобы получитьвыход нечеткой системы. Этот процесс называется импликация или логическийвывод. Однако до того, как может осуществиться импликация, исходные условия по каждому из правил должны быть обработаны и получено единое значение. Как показано в конце данного раздела, многочисленные части исходныхусловий связываются при помощи операторов AND (И) и OR (ИЛИ).
На основе на определений раздела 3.8.2 это означает выполнение операций минимумаи максимума. Чтобы упростить объяснение, мы изначально рассматриваем правила, исходные условия которых содержат только одну часть.Поскольку нам приходится иметь дело с нечеткими входами, выходы темболее являются нечеткими, значит, функции принадлежности должны бытьопределены также и для выходов. На рис.
3.48 показаны функции принадлежности нечетких выходов, которые мы собираемся использовать в этом примере.Степень принадлежности3.8. Применение нечетких методов для яркостных преобразованийи пространственной фильтрации225μμнеспелый(v)μполуспелый(v)1,0μспелый(v)0,501020 30 40 50 60 70 80 90 100vСпелость (%)Рис. 3.48. Функции принадлежности, характеризующие выходы неспелый, полуспелый и спелыйЗаметим, что независимой переменной на выходе является спелость, котораяотличается от независимых переменных на входах.Рис. 3.47 и 3.48 вместе с базой правил содержат всю информацию, требуемуюдля связи входов с выходами. Например, мы знаем, что выражение «красныйИ спелый» есть не что иное, как операция пересечения (И), определенная ранее.В данном случае независимые переменные функций принадлежности входови выходов являются различными, так что результат будет двумерным. Например, на рис. 3.49(а) и (б) показаны функции принадлежности красного и спелого,а рис.
3.49(в) иллюстрирует, как они связаны в двух измерениях. Чтобы найтирезультат операции И между этими двумя функциями, напомним из уравнения(3.8-5), что И определяется как минимум двух функции принадлежности, т. е.μ3(z, v) = min{μкрасный(z), μспелый(v)},(3.8-12)где цифра 3 в индексе означает, что это результат применения правила R 3 из базызнаний. На рис. 3.49(г) приведен результат операции И15.Уравнение (3.8-12) является общей зависимостью, включающей две функции принадлежности. На практике нас интересует выход, получающийся приконкретном входе.
Пусть z0 — некоторое конкретное значение красного. Степеньпринадлежности красной цветовой компоненты в ответ на этот вход есть просто скалярная величина μкрасный(z0). Ищется выход, соответствующий правилу R 3и конкретному значению z0 выполнением операции И между μкрасный(z0) и результатом общего вида μ3(z, v), также вычисленным при z0. Как отмечалось ранее,операция И реализуется через отыскание минимума:Q3(v) = min{μкрасный(z0), μ3(z0, v)},(3.8-13)15Заметим, что уравнение (3.8-12) сформировано из упорядоченных пар значений {μкрасный(z), μспелый(v)}, а также напомним, что множество упорядоченных пар обычно называется декартовым произведением, обозначаемым X×V, где X — набор значений{μкрасный(z1), μкрасный(z2), ..., μкрасный(zn)}, получаемых из μкрасный(z) варьированием z, а V — аналогичный набор из n значений μспелый(v), получаемый варьированием v.
Таким образом,X×V = {(μкрасный(z1), μспелый(v1)), ..., (μкрасный(zn), μспелый(vn))}, и из рис. 3.49(г) видно, что операцияИ, включающая две переменные, может быть выражена как отображение из X×V в диапазон [0, 1], обозначаемое X×V → [0, 1]. Хотя в настоящем рассмотрении эти обозначенияи не используются, мы упоминаем их здесь, поскольку они, вероятно, могут встретитьсяв литературе по нечетким множествам.226Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрациягде Q 3(v) означает нечеткий выход в результате правила R 3 и конкретноговхода. Единственной переменной в Q 3 является выходная переменная v, каки ожидалось.Чтобы интерпретировать уравнение (3.8-13) графически, рассмотрим опятьрис. 3.49(г), на котором приведена обобщенная функция μ3(z, v).
При выполненииоперации минимума данной функции с положительной константой c все значения μ3(z, v), бóльшие константы, будут урезаны, как это показано на рис. 3.50(а).Однако нас интересует только значение z0 на цветовой оси, поэтому важен только профиль функции, урезанной плоскостью z = z0, вдоль оси спелости, какпоказано на рис. 3.50(б) (рис. 3.50(а) соответствует правилу R 3, следовательно,c = μкрасный(z0) ). Уравнение (3.8-13) есть выражение для этого профиля.Используя ту же самую нить рассуждений, можно получить нечеткие отклики согласно остальным двум правилам и выбранному входу z0 следующимобразом:иQ 2(v) = min{μжелтый(z0), μ2(z0, v)}(3.8-14)Q1(v) = min{μзеленый(z0), μ1(z0, v)}.(3.8-15)Каждое из этих уравнений есть выход, ассоциированный с конкретным правилом и заданным входом.
То есть они представляют результат процесса импликации, приведенного несколькими абзацами выше. Следует иметь в виду, чтокаждый из этих трех откликов есть нечеткое множество, несмотря на то, чтозначение на входе скалярное.μ(z)μ (v)1,0а бв г1,0μкрасный(z)0,5μспелость(v)0,50zЦвет0vСпелостьμ(z, v)μ (z, v)zzvvЦветРис. 3.49.ьлостСпеЦветьлостСпе(а) Форма функции принадлежности, ассоциируемой с цветом «красный», и (б) соответствующая выходная функция принадлежности.Эти две функции связаны правилом R 3.
(в) Объединенное представление двух функций. Представление является двумерным, посколькунезависимые переменные в (а) и (б) разные. (г) Результат И для функций (а) и (б), как определено в уравнении (3.8-5)3.8. Применение нечетких методов для яркостных преобразованийи пространственной фильтрации227а бμ(z, v)μ(z, v)11zzcvЦветμ красный(z0)vЦветьлостСпеμ(z0, v)ьлостСпеРис. 3.50. (а) Результат вычисления минимума для функции μ3(z, v) из уравнения (3.8-12) и произвольной константы c.
Минимум эквивалентеноперации И. (б) Профиль (темная линия) по значению конкретногоцвета z0Чтобы получить общий отклик, осуществляется группировка отдельных откликов. В базовых правилах, сформулированных в начале данного раздела, триправила объединены операцией ИЛИ. Тем самым конечный (сгруппированный) нечеткий выход задается следующим образом:Q = Q1 ИЛИ Q 2 ИЛИ Q3,(3.8-16)т. е. общий отклик есть объединение трех отдельных нечетких множеств. Поскольку операция ИЛИ определена как операция максимума, можно записатьрезультат следующим образом:{}Q(v ) = max min {μs (z 0 ), μr (z 0 ,v )}rs(3.8-17)для r = {1, 2, 3} и s = {зеленый, желтый, красный}.
Хотя результат получен в контексте некоторого примера, данное выражение является совершенно общим;чтобы расширить его на n правил, достаточно принять r = {1, 2, ..., n}; аналогично можно расширить s до любого конечного числа функций принадлежности.Уравнения (3.8-16) и (3.8-17) утверждают одно и то же: «Отклик Q нечеткой системы есть объединение отдельных нечетких множеств, возникающих по каждому из правил в процессе импликации».Рис. 3.51 графическим образом суммирует обсуждение, проводимое до настоящего момента.
На рис. 3.51(а) показаны три входные функции принадлежности, оцененные в точке z0, а на рис. 3.51(б) — выходы в ответ на значение входаz0. Эти нечеткие множества являются урезанными профилями, рассмотренными в контексте рис. 3.50(б). Заметим, что численно Q1 состоит из одних нулей,поскольку μзеленый(z0) = 0; т. е. Q1 является пустым, как это определено в разделе 3.8.2. На рис. 3.51(в) показан конечный результат Q отдельно как нечеткоемножество, сформированное из объединения Q1, Q 2 и Q3.Полный выход, соответствующий конкретному входу, успешно получен,но он все еще является нечетким множеством. Последним шагом является получение четкого выхода v0 на основе нечеткого множества Q путем использования процесса, который уместно называть устранением нечеткости. Существуетмного способов устранения нечеткости Q для получения четкого выхода.
Одиниз наиболее частых способов — вычисление центра тяжести этого множества(обсуждение других можно найти в источниках по ссылкам, приведеннымГлава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияСтепень принадлежностиСтепень принадлежностиСтепень принадлежности228Рис. 3.51.μ(z)1,0μ красный(z0)0,50μзеленый(z)абвμжелтый(z)μкрасный(z)μжелтый(z0)μ зеленый(z0)z0Цвет (длина волны)1zμ(v)1,0Q30,5Q2Q10v10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Спелость (%)μ(v)1,0Q0,50v10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Спелость (%)(а) Функции принадлежности с отмеченным выбранным цветомz0.
(б) Отдельные нечеткие множества, полученные из уравнений(3.8-13)—(3.8-15). (в) Конечное нечеткое множество, полученное припомощи уравнений (3.8-16) или (3.8-17)в конце настоящей главы). Если Q(v) в уравнении (3.8-17) может принимать Kзначений Q(1), Q(2), ..., Q(K), его центр тяжести находится следующим образом:Kv0 =∑ vQ(v )v =1K∑Q(v ).(3.8-18)v =1Подставляя в это уравнение (дискретные)16 значения Q на рис. 3.51(в), получим v0 = 72,3, что говорит о том, что заданный цвет z0 означает приблизительно72 % спелости фрукта.16Нечеткое множество Q на рис. 3.51(в) показано непрерывным для удобства изложения, но следует иметь в виду, что в настоящей книге мы имеем дело с оцифрованными значениями, так что Q является дискретной функцией.3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
