Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Применение нечетких методов для яркостных преобразованийи пространственной фильтрации229До настоящего момента мы рассматривали правила ЕСЛИ—ТО, исходныеусловия которых имели только один параметр, такой как «ЕСЛИ цвет красный».Правила, содержащие несколько посылок, должны быть скомбинированы так,чтобы в результате получилось единственное число, отражающее все части исходных условий этого правила. Например, предположим, имеется правило:«ЕСЛИ цвет красный ИЛИ состояние мягкое, ТО фрукт спелый». Для лингвистической переменной мягкий должна быть определена функция принадлежности.Чтобы получить единственное число для правила, учитывающего обе части исходных условий, первоначально оцениваются заданное значение входного цвета красный, используя функцию принадлежности красного, и заданное значениесостояния, используя функцию принадлежности мягкого.
Поскольку обе частисвязаны оператором ИЛИ, используется максимум двух результирующих значений17. Это значение затем используется в процессе импликации для «урезания»выходной функции принадлежности спелости, которая и является функцией,ассоциированной с этим правилом. Остаток процедуры выглядит так же, каки ранее, что иллюстрируется следующим кратким изложением.На рис.
3.52 представлен пример с фруктом, использующий два входа: цвети состояние. Можно использовать этот рисунок и предшествующий материал,чтобы суммировать основные шаги процедуры применения правил нечеткойлогики.1. Размыть входные параметры (сделать нечеткими). Для каждого скалярного входа найти соответствующие нечеткие значения путем отображения значения на входе в интервал [0, 1], используя подходящие функциипринадлежности в каждом из правил, как это показано в первых двухстолбцах на рис.
3.52.2. Выполнить все требуемые операции нечеткой логики. Выходы всех частейисходных условий должны быть скомбинированы с целью полученияединого значения, используя для этого операции максимума или минимума, в зависимости от того, связываются ли части операцией ИЛИлибо операцией И. На рис. 3.52 все части исходных условий связаныоперациями ИЛИ, так что повсюду используется операция максимума.Число частей исходных условий и тип используемых для их связываниялогических операций могут различаться от правила к правилу.3.
Применить метод импликации. Для создания выхода по каждому из правил используется единый выход исходных условий по этому правилу.Для импликации используется оператор И, который определен как операция минимума. Это урезает соответствующую функцию принадлежности выхода на уровне значения, определяемого исходными условиями, как это показано в третьем и четвертом столбцах на рис. 3.52.4. Применить метод объединения к нечетким множествам, полученнымна шаге 3. Как видно на последнем столбце рис. 3.52, выходом каждогоиз правил является нечеткое множество. Они должны быть объединеныдля формирования единственного выходного нечеткого множества.
Используемый здесь подход — применение операции ИЛИ к результатамотдельных выходов, поэтому задействуется операция максимума.17Исходные условия, части которых связаны оператором И, оцениваются аналогичным образом, используя операцию минимума.230Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрация1. РазмытьвходныепараметрызеленыйЕСЛИ цвет зеленыйжелтыйЕСЛИ цвет желтыйжесткийИЛИВход 1Состояние (z 0)состояние жесткое ТОфрукт неспелыйполуспелыйИЛИ состояние среднееТОмягкийИЛИ3.
Применить методимпликации (минимум).неспелыйсреднийкрасныйЕСЛИ цвет красный2. Применить нечеткиелогические операции(ИЛИ = максимум)состояние мягкоеВход 2Состояние (c0)фрукт полуспелыйспелыйТОфрукт спелый5. Устранитьнечеткость(центр тяжести)4. Применитьметодобъединения(максимум)ВыходСпелость (v0 )Рис. 3.52. Пример, иллюстрирующий пять основных шагов, обычно применяемых при использовании системы с правилами нечеткой логики: (1)размывание параметров, (2) логические операции (в данном примереиспользуется только операция ИЛИ), (3) импликация, (4) объединение, (5) устранение нечеткости5.Устранить нечеткость выходного нечеткого множества (получить результат). На этом последнем шаге выход получается в четком скалярном виде.
Это достигается вычислением центра тяжести объединенногонечеткого множества, полученного на шаге 4.Когда число переменных велико, обычной практикой является использованиеусловных обозначений типа (переменная, нечеткое множество), позволяющееобъединить в пары переменную с соответствующей ей функцией принадлежности. Например, правило «ЕСЛИ цвет зеленый, ТО фрукт неспелый» будет записано как «ЕСЛИ (z, зеленый) ТО (v, неспелый)». Здесь, как и ранее, переменныеz и v представляют соответственно цвет и спелость, а зеленый и неспелый — дванечетких множества, определенных функциями принадлежности μзеленый(z)и μнеспелый(v).3.8. Применение нечетких методов для яркостных преобразованийи пространственной фильтрации231Вообще, при использовании M правил ЕСЛИ—ТО, N входных переменныхz1, z2, ..., z N и одной выходной переменной v тип формулировок правил нечеткойлогики, наиболее часто использующихся в обработке изображений, имеет вид:ЕСЛИ (z1, A11) И (z2, A12) И ...
И (z N, A1N) ТО (v, B1)ЕСЛИ (z1, A 21) И (z2, A 22) И ... И (z N, A 2N) ТО (v, B2).......(3.8-19)ЕСЛИ (z1, A M1) И (z2, A M2) И ... И (z N, A MN) ТО (v, BM)ИНАЧЕ (v, BE),где Aij — нечеткое множество, ассоциированное с i-м правилом и j-й входнойпеременной, Bi — нечеткое множество, ассоциированное с выходом i-того правила, и также предполагается, что составные части исходных условий правила связаны операторами И.
Заметим, что введено правило ИНАЧЕ с ассоциированным нечетким множеством BE . Это правило исполняется в случае, еслини одно из предшествующих правил не удовлетворяется полностью; его выходобъясняется ниже.Как уже отмечалось ранее, значения всех элементов исходных условийкаждого из правил должны быть определены, чтобы получить единственноескалярное значение. На рис. 3.52 была использована операция максимума, поскольку правила основывались на нечетких операциях ИЛИ.
Формулировкиправил (3.8-19) используют операции И, значит, необходимо использовать операцию минимума. Определение исходных условий i-го правила в (3.8-19) даетв результате скалярное значение λi, задаваемое формулой{λi = min μ Aij (z j );j = 1, 2,..., N}(3.8-20)для i = 1, 2, ..., M, где μ Aij (z j ) является функцией принадлежности нечеткогомножества Aij, полученного по значению j-го входа. Часто λi называют уровнеммощности (или уровнем включения) i-го правила. Со ссылкой на предыдущее обсуждение λi является попросту значением, используемым для урезания выходной функции i-го правила.Использование операторов И или ИЛИ в наборе правил зависит от того, как правила сформулированы, что, в свою очередь, зависит от рассматриваемой задачи.Мы использовали операции ИЛИ на рис.
3.52 и операции И в правилах (3.8-19),чтобы познакомить с обеими формулировками.Правило ИНАЧЕ исполняется в случае, если слабо удовлетворяются условия всех правил ТО (детальный пример того, как используются правила ИНАЧЕ, дан в разделе 3.8.5). Это правило должно давать сильный отклик в случаеслабых откликов всех остальных. В известном смысле можно рассматриватьправило ИНАЧЕ как выполнение операции НЕ по условиям всех остальныхправил.
Из раздела 3.8.2 известно, что μНЕ(A) = μĀ(z) = 1 – μA (z). Тогда, используяэтот способ комбинирования (операций И) всех уровней условий правил ТО,получим следующий уровень включения для правила ИНАЧЕ:λE = min{1 – λi; i = 1, 2, ..., M}.(3.8-21)Видно, что если хотя бы одно из правил ТО включается на «полный уровень»(его отклик равен 1), то отклик правила ИНАЧЕ равен 0, как и следовало ожи-232Глава 3.
Яркостные преобразования и пространственная фильтрациядать. В случае снижения уровней откликов условий правил ТО мощность правила ИНАЧЕ возрастает. Это является нечетким эквивалентом известных правил ЕСЛИ—ТО—ИНАЧЕ, используемых в обычном программировании.В случае, когда в исходных условиях используются операторы ИЛИ, операторы И в правилах (3.8-19) просто заменяются на ИЛИ, а также min в уравнении(3.8-20) заменяется на max; уравнение (3.8-21) не изменяется. Хотя можно сформулировать и более сложные исходные условия и следствия правил, чем рассматривались здесь, изложенные формулировки, использующие только операторыИ и ИЛИ, являются абсолютно общими и применяются в широком спектреприложений, связанных с обработкой изображений. Ссылки в конце настоящейглавы содержат дополнительные (но реже используемые) определения нечеткихлогических операторов, а также обсуждения иных методов импликации (включая множественные выходы) и устранения нечеткости.
Введение, изложенноев этом разделе, является фундаментальным и служит твердой основой для болеепродвинутого изучения этой темы. В следующих двух разделах будет показано,как применять концепции нечеткой логики при обработке изображений.3.8.4. Использование нечетких множеств для яркостныхпреобразованийРассмотрим обычную проблему повышения контрастов — одного из основныхприложений из области яркостных преобразований. Можно сформулироватьпроцесс повышения контрастов полутонового черно-белого изображения, используя следующие правила:ЕСЛИ пиксель темный, ТО сделать его темнее.ЕСЛИ пиксель серый, ТО сделать его серым.ЕСЛИ пиксель светлый, ТО сделать его светлее.Имея в виду, что это нечеткие термины, можно выразить концепции темный, серый и светлый при помощи функции принадлежности, показаннойна рис.
3.53(а).В терминах выходного результата можно рассматривать термин темнее какозначающий «иметь степень яркости в области более темных значений» (100 %черный означает предельный уровень темного); термин светлее означает «иметьстепень яркости в области более светлых значений» (100 % белый является преа б1μтемный(z)1μсветлый(z).5μтемнее(v).5μсерый(v)μсерый(z)0z0vdvgμсветлее(v)vbvРис. 3.53.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
