Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Это множество называется предметная область. Нечеткое множество13 A в Z характеризуется функцией принадлежности μA (z), котораяассоциирует с каждым элементом Z некоторое действительное число в интервале[0, 1]. Значение μA (z) представляет собой степень принадлежности z множеству A.Чем ближе значение μA (z) к единице, тем выше степень принадлежности z множеству A, и наоборот, когда μA (z) ближе к нулю. Концепция «принадлежит», стольпривычная в обычных множествах, не имеет того же самого смысла в теории нечетких множеств. В обычной теории множеств мы говорим, что некоторый элемент либо принадлежит, либо не принадлежит рассматриваемому множеству.В случае нечетких множеств утверждается, что все z, для которых μA (z) = 1, являются полноправными членами множества, все z, для которых μA (z) = 0, не являются членами множества, а все z, для которых μA (z) находится между 0 и 1, имеютчастичное членство в множестве.
Таким образом, нечеткое множество есть наборупорядоченных пар, состоящих из значений z и соответствующей функции принадлежности, определяющей степень принадлежности каждого z. То естьA = {z , μ A (z )| z ∈Z } .(3.8-1)Если значения непрерывны, множество A в данном уравнении может содержать бесконечное число элементов. Если значения z дискретны, можно явноперечислить элементы A. Например, если ограничить возрастные измененияна рис. 3.44 целыми годами, то получим:A = {(1; 1), (2; 1), (3; 1), ..., (20; 1), (21; 0,9), (22; 0,8), ..., (25; 0,5), (26; 0,4), ..., (29; 0,1)},где, например, элемент (22; 0,8) означает, что возраст 22 имеет степень 0,8 принадлежности множеству «молодой».
Все элементы с возрастом 20 и меньше являются полноправными членами этого множества, а с возрастом 30 и большене являются членами этого множества. Заметим, что графиком этого множествабудет просто дискретный набор точек, лежащих на кривой рис. 3.44(б), так чтоμA (z) полностью определяет A. С другой стороны, видно, что (дискретное) нечеткое множество есть не что иное, как набор точек функции, которая отображаеткаждый элемент проблемной области (предметной области) в числа, большие 0и меньшие или равные 1. Тем самым часто наблюдается, что термины нечеткоемножество и функция принадлежности используются наравне.Если μA (z) допускает лишь два значения, скажем, 0 и 1, то функция принадлежности редуцируется до привычной характеристической функции обычного(четкого) множества A.
Таким образом, обычные множества являются частнымслучаем нечетких множеств. Далее приводятся несколько определений, каса13В литературе также используется термин нечеткое подмножество, показывающий,что A является подмножеством Z. Однако нечеткое множество используется более часто.220Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияющихся нечетких множеств и являющихся расширениями соответствующихопределений из обычной теории множеств.Пустое множество: нечеткое множество является пустым тогда и только тогда, когда его функция принадлежности тождественно равна 0 на Z.Равенство: два нечетких множества A и B равны (пишется A = B) тогда и только тогда, когда μA (z) = μB (z) для всех z ∈ Z.Запись «для всех z ∈ Z» читается: «для всех z, принадлежащих Z».Дополнение: дополнение (NOT) нечеткого множества A, обозначаемое A илиNOT(A), определяется как множество, функция принадлежности которого составляетμ A (z ) = 1 − μ A (z )(3.8-2)для всех z∈Z.Подмножество: нечеткое множество A является подмножеством B тогдаи только тогда, когдаμA (z) ≤ μB (z)(3.8-3)для всех z ∈ Z.Объединение: объединение (OR) двух нечетких множеств A и B, обозначаемоеA ∪ B или A OR B, есть нечеткое множество U с функцией принадлежностиμU (z) = max[μA (z), μB (z)](3.8-4)для всех z∈Z.Пересечение: пересечение (AND) двух нечетких множеств A и B, обозначаемоеA ∩ B или A AND B, есть нечеткое множество U с функцией принадлежностиμU (z) = min[μA (z), μB (z)](3.8-4)для всех z∈Z.Заметим, что хорошо известные термины NOT, OR и AND используютсяпри работе с нечеткими множествами для обозначения соответственно дополнения, объединения и пересечения.Пример 3.18.
Иллюстрация определений, касающихся нечетких множеств.■ Рис. 3.45 иллюстрирует некоторые из приведенных выше определений.На рис. 3.45(а) показана функция принадлежности двух множеств A и B, а нарис. 3.45(б) — функция принадлежности дополнения A.
На рис. 3.45(в) показанафункция принадлежности объединения A и B, а на рис. 3.45(г) — соответствующий результат для пересечения этих двух множеств. Заметим, что эти рисункисогласуются с привычной нотацией дополнения, объединения и пересечениячетких множеств.14■14Вероятно, в литературе могут встретиться примеры, в которых площадь под кривой функции принадлежности, скажем, пересечения двух множеств, будет заштрихована, чтобы указать результат операции.
Такой механический перенос обычных операцийнад множествами является неправильным. При работе с нечеткими множествами смыслимеют только точки вдоль самой кривой функции принадлежности.221а бв гСтепеньпринадлежности3.8. Применение нечетких методов для яркостных преобразованийи пространственной фильтрации11μA(z)μB(z)μA_(z) = 1 – μA(z)Дополнение (A‾)z01z01μU (z) = max[μA(z), μB(z)]μI (z) = min[μA(z), μB(z)]Объединение0zПересечение0zРис. 3.45. (а) Функция принадлежности двух множеств A и B.
(б) Функция принадлежности дополнения A. (в) и (г) Функции принадлежности объединения и пересечения двух множеств A и BХотя нечеткая логика и вероятность оперируют внутри одного и того жеинтервала значений [0, 1], между ними имеется существенная разница, которая должна быть отмечена.
Рассмотрим пример на рис. 3.44. Вероятностноеутверждение могло бы формулироваться: «Имеется вероятность в 50 %, чтоперсона является молодой», тогда как нечеткое утверждение могло бы звучать:«Степень принадлежности персоны к множеству молодых составляет 0,5». Разница между двумя этими утверждениями является важной. В первом утверждении персона рассматривается как попадающая либо в множество молодых,либо в множество не молодых; просто имеется вероятность в 50 %, что персонаотносится к тому или иному множеству. Второе утверждение предполагает,что персона является молодой в некоторой степени, и эта степень равна 0,5в данном случае.
Другая интерпретация состоит в утверждении, что это некоторая «средняя» персона: не абсолютно молодая, но и не слишком немолодая.Другими словами, нечеткая логика не является вероятностной совершенно;она просто имеет дело со степенью принадлежности некоторому множеству.В этом случае можно сказать, что концепции нечеткой логики находят своеприложение в ситуациях, характеризующихся неопределенностью и неточностью, а не случайностью.Некоторые распространенные функции принадлежностиИспользуемые на практике типы функций принадлежности включают следующие.Треугольная:⎧1 − (a − z ) / b⎪μ(z ) = ⎨1 − (z − a) / c⎪0⎩Трапециевидная:a −b ≤ z < aa ≤ z ≤ a +cв остальных случаях.(3.8-6)222Глава 3.
Яркостные преобразования и пространственная фильтрация⎧1 − (a − z ) / c⎪1⎪μ(z ) = ⎨⎪1 − (z − b ) / d⎪⎩ 0a −c ≤ z < aa ≤ z <bb ≤ z ≤ b +dв остальных случаях.(3.8-7)⎧1 − (a − z ) / b⎪μ(z ) = ⎨ 1⎪0⎩a −b ≤ z ≤ az >aв остальных случаях.(3.8-8)Сигма:S-образная:Колоколообразная:z <a⎧0⎪2⎪2 ⎛ z − a ⎞a ≤ z ≤b⎪ ⎜⎝ c − a ⎟⎠S (z ;a,b,c ) = ⎨2⎛z −a⎞⎪21−⎜⎝⎟ b < z ≤c⎪c −a ⎠⎪z > c.⎩1(3.8-9)z ≤c⎧ S (z ;c − b,c − b / 2,c )μ(z ) = ⎨⎩1 − S (z ;c,c + b / 2,c + b ) z > c.(3.8-10)Усеченный гауссиан:⎧ −( z −a2)⎪ 2bμ(z ) = ⎨ e⎪⎩02a −c ≤ z ≤ a +cв осталььных случаях.(3.8-11)Для упрощения выражений при записи μ(z) обычно оставляют лишь независимую переменную z.
В уравнении (3.8-9) было сделано исключение, чтобыиспользовать эту форму в уравнении (3.8-10). На рис. 3.46 показаны примерырассмотренных функций принадлежности. Первые три функции являютсякусочно-линейными, следующие две — гладкими, а последняя — ограниченная гауссова функция. Уравнение (3.8-9) задает важную S-образную функцию,которая часто используется с нечеткими множествами. Значение z = b, при котором S = 0,5, является точкой перегиба. Как видно на рис. 3.46(г), это та точка,в которой меняется знак кривизны линии.
Нетрудно показать (задача 3.31), чтоb = (a + c)/2. В колоколообразной кривой на рис. 3.46(д) значение b определяетразмах кривой.3.8.3. Использование нечетких множествВ настоящем разделе закладываются основы для использования нечетких множеств и иллюстрируются итоговые концепции исходя из простых, знакомыхситуаций.
Затем в разделах 3.8.4 и 3.8.5 полученные результаты используютсядля обработки изображений. При таком изложении значительно облегчаетсяпонимание материала, особенно для новичков в этой области.3.8. Применение нечетких методов для яркостных преобразованийи пространственной фильтрацииа бв гд еμμ11Треугольная.5Трапециевидная.50a–ba+caz0μa–cab+dbzμ11Сигма.5S-образная.50a–bza0μabczμ1Колоколообразная1Усеченный гауссиан0.607.502232b.5c–bcc+bz0a–caa+czbРис. 3.46. (а) Функции принадлежности, соответствующие уравнениям (3.8-6)—(3.8-11)Предположим, нас интересует использование цвета для классификациинекоторого типа фруктов в три категории: неспелый, полуспелый и спелый.Предположим, что наблюдение фруктов на разных стадиях спелости позволяетсделать вывод, что неспелые фрукты выглядят зелеными, полуспелые — желтыми, а спелые — красными.
Обозначения зеленый, желтый и красный являютсяне слишком четкими описаниями цветовых ощущений. В качестве отправнойточки эти обозначения должны быть выражены в нечеткой форме. То есть имдолжна быть придана нечеткость. Это достигается определением принадлежности как функции цвета (длины волны света), как показано на рис. 3.47(а).В этом контексте цвет является лингвистической переменной, а конкретныйцвет (т. е.
красный фиксированной длины волны) является лингвистической величиной. Лингвистическая величина z сделана нечеткой путем использованияфункций принадлежности для отображения ее на интервал [0, 1], как показанона рис. 3.47(б).Только что описанное проблемно-ориентированное знание может быть формализовано в форме следующих нечетких правил ЕСЛИ—ТО:R1: ЕСЛИ цвет зеленый, ТО фрукт неспелый.ИЛИR2: ЕСЛИ цвет желтый, ТО фрукт полуспелый.ИЛИR3: ЕСЛИ цвет красный, ТО фрукт спелый.Глава 3.
Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияСтепень принадлежности224μ(z)μзеленый(z)1,0абμжелтый(z)μкрасный(z)0,5z0Степень принадлежностиЦвет (длина волны)μ (z)1,00,50μкрасный(z0)μзеленый(z)μжелтый(z)μкрасный(z)μжелтый(z0)μзеленый(z0)z0zЦвет (длина волны)Рис. 3.47.(а) Функции принадлежности, используемые для придания нечеткости цветам. (б) Получение значения нечеткости для конкретногоцвета z0. (Кривые, описывающие цветовые ощущения, являются колоколообразными; см., например, раздел 6.1. Однако использованиетреугольных форм в качестве приближения является обычной практикой при работе с нечеткими множествами)Эти правила представляют итоговый результат нашего знания об этой проблеме; реально они не являются ничем, кроме формализма для процессамышления.Та часть ЕСЛИ—ТО правила, которая находится слева от ТО, часто называетсяпосылкой (или исходным условием).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
