Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 46
Текст из файла (страница 46)
3.36. Иллюстрация первой и второй производных одномерной дискретнойфункции, представляющей собой участок горизонтального профиляяркости некоторого изображения. На (а) и (в) точки отсчетов соединены пунктирными линиями для визуального удобства3.6. Пространственные фильтры повышения резкости203ного удобства добавлена пунктирная линия, соединяющая эти точки. Как видно, на участке строки содержатся три участка постоянной яркости, участоксклона и яркостная ступенька. Кружки показывают начало или конец яркостных переходов.
Первая и вторая производные, вычисленные на основе данныхвыше двух определений, приведены ниже строки изображения на рис. 3.36(б),а также в виде графиков на рис. 3.36(в). При вычислении первой производнойв точке x значение в данной точке вычиталось из значения в следующей точке,так что это операция с «предварительным просмотром». Аналогично для вычисления второй производной в точке x использовались значения в предыдущейи следующей точках.
Чтобы отвлечься от вопроса выхода предыдущей или следующей точки за границы участка строки, значения производных на рис. 3.36приведены лишь от второго до предпоследнего элемента.Рассмотрим поведение первой и второй производных при движении вдольпрофиля слева направо. В начале находится область с постоянной яркостью,на которой, как видно на рис. 3.36(б) и (в), обе производные равны нулю, значит,для обеих выполняется условие (1). Затем идет склон яркости, за которым следуют площадка и ступенька.
Отметим, что первая производная отлична от нуляна склоне и на ступеньке; аналогично вторая производная отлична от нуля в начале и в конце как склона, так и ступеньки; таким образом, свойство (2) удовлетворяется для обеих производных. Наконец, свойство (3) также выполняется дляобеих производных, поскольку на склоне первая производная не равна нулю,а вторая равна нулю. Заметим, что знак второй производной меняется в началеи в конце ступеньки или склона. Действительно, на рис.
3.36(в) видно, что линия, соединяющая два значения производных на участке ступенчатого перехода, в середине между экстремумами пересекает горизонтальную ось. Это свойство пересечения нулевого уровня весьма полезно для локализации контуров,как будет показано в главе 10.На цифровых изображениях контурные переходы зачастую выглядят каксклоны яркостей, на которых первая производная будет диагностировать в результате широкие контуры, поскольку она отлична от нуля на всем протяжениисклона. Напротив, вторая производная даст двойной контур толщиной в однулинию и разделенный нулями. Отсюда можно сделать вывод, что вторая производная усиливает мелкие детали значительно лучше, чем первая, — свойство,идеально подходящее для повышения резкости изображений.
Также, как будетпоказано далее в настоящем разделе, вторую производную значительно легчереализовать, чем первую; так что вначале наше внимание будет сконцентрировано на вторых производных.3.6.2. Повышение резкости изображений с использованиемвторых производных: лапласианВ данном разделе мы рассмотрим применение двумерной второй производнойв задачах повышения резкости изображений. Мы вернемся к рассмотрению второй производной в главе 10, где она будет использоваться для сегментации изображений.
Подход сводится к выбору дискретной формулировки второй производной и к последующему построению маски фильтра, основанной на даннойформулировке. Рассматриваться будут изотропные фильтры, отклик которых204Глава 3. Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияне зависит от направления неоднородностей на обрабатываемом изображении.Другими словами, изотропные фильтры являются инвариантными к поворотув том смысле, что поворот изображения и последующее применение фильтрадает тот же результат, что и первоначальное применение фильтра с последующим поворотом результата11.Можно показать ([Rosenfeld и Kak, 1982]), что простейшим изотропным оператором, основанным на производных, является лапласиан (оператор Лапласа),который в случае функции двух переменных f(x, y) определяется как∇2 f =∂2 f ∂2 f.+∂x 2 ∂y 2(3.6-3)Поскольку производные любого порядка являются линейными операторами, то, значит, и лапласиан является линейным оператором.
Чтобы выразитьэто уравнение в дискретной форме, используем определение, выраженное уравнением (3.6-2), принимая во внимание, что теперь имеются две переменные.Для частной второй производной по x будет использоваться следующая формула:∂2 f= f ( x + 1, y ) + f ( x − 1, y ) − 2 f ( x, y ),∂x 2(3.6-4)и аналогично для производной по y:∂2 f= f ( x, y + 1) + f ( x, y − 1) − 2 f ( x, y ).∂y 2(3.6-5)Таким образом, из предыдущих трех уравнений следует, что дискретная формулировка двумерного лапласиана двух переменных будет∇2 f ( x, y ) = f ( x + 1, y ) + f ( x − 1, y ) + f ( x, y + 1) + f ( x, y − 1) − 4 f ( x, y ).(3.6-6)Это уравнение может быть реализовано с помощью маски фильтра, представленной на рис.
3.37(а), которая дает изотропный результат для поворотовна углы, кратные 90°. Способы реализации такие же, как в разделе (3.5.1) длялинейных сглаживающих фильтров. Здесь попросту используются другие значения коэффициентов.Диагональные направления могут быть включены в формулу дискретного лапласиана (3.6-6) добавлением еще двух членов — по одному для каждогоиз диагональных направлений. Вид каждого из них такой же, как в уравнении(3.6-4) или (3.6-5), но указываются координаты точек, расположенных по диагоналям. Поскольку каждая диагональная добавка включает член –2f(x, y), тосуммарный вычитаемый из суммы член составит –8f(x, y). Маска фильтра, соответствующая такому новому определению, представлена на рис. 3.37(б).
Такаямаска является изотропной для поворотов на углы, кратные 45°. Две оставшиесямаски, показанные на рис. 3.37(в) и (г), также часто используются на практике.Они получены из определения лапласиана, являющегося «негативным» по от11В применении к дискретному сигналу это утверждение верно лишь настолько,насколько точными в его отношении можно считать операцию поворота и круговуюсимметрию масок фильтров. — Прим. перев.3.6. Пространственные фильтры повышения резкостиа бв гРис. 3.37.0101111–411–810101110–10–1–1–1–14–1–18–10–10–1–1–1205(а) Маска фильтра, используемая для реализации уравнения (3.6-6).(б) Маска, используемая для реализации расширения этого уравнения путем добавления диагональных членов. (в) и (г) Две другие реализации лапласиана, часто встречаемые на практикеношению к тому, который использовался в уравнениях (3.6-4) и (3.6-5).
По существу, они дают идентичный результат, но различие в знаке должно учитыватьсяпри комбинации — операцией сложения или вычитания — изображения, отфильтрованного лапласианом, с другим изображением.Поскольку оператор Лапласа по сути является второй производной, его применение подчеркивает разрывы уровней яркостей на изображении и подавляетобласти со слабыми изменениями яркостей. Это приводит к получению изображения, содержащего сероватые линии на месте контуров и других разрывов,наложенные на темный фон без особенностей. Но фон можно «восстановить»,сохранив при этом эффект повышения резкости, достигаемый лапласианом.Для этого достаточно прибавить изображение-лапласиан к исходному изображению.
Как было сказано в предыдущем абзаце, при этом необходимо помнить, какое из определений лапласиана было использовано. Если использовалось определение, использующее отрицательные центральные коэффициенты,тогда для получения эффекта повышения резкости изображение-лапласианследует вычитать, а не прибавлять. Таким образом, обобщенный алгоритмиспользования лапласиана для повышения резкости изображений сводитсяк следующему:g ( x, y ) = f ( x, y ) + c ⎡⎣∇2 f ( x, y )⎤⎦ ,(3.6-7)где f(x, y) и g(x, y) — исходное изображение и изображение с повышеннойрезкостью. Константа c = –1, если использована маска фильтра лапласиана на рис. 3.37(а) или (б), и c = 1, если использован один из оставшихся двухфильтров.206Глава 3.
Яркостные преобразования и пространственная фильтрацияПример 3.15. Повышение резкости изображения с помощью лапласиана.■ На рис. 3.38(а) представлено слегка нерезкое изображение Северного полюсаЛуны. На рис. 3.38(б) показан результат фильтрации данного изображения лапласианом с маской на рис. 3.37(б). Большие области этого изображения являются черными, поскольку лапласиан имеет как положительные, так и отрицательные значения, а все отрицательные обрезаются до 0 при воспроизведении.Обычный способ преобразовать изображение-лапласиан — подвергнуть егоградационной коррекции: прибавить значение его минимума ко всем значениям пикселей, а затем растянуть полученный результат на весь диапазон яркостей [0, L – 1] согласно уравнениям (2.6-10) и (2.6-11).
Именно таким образомобработано изображение на рис. 3.38(в). Видно, что основными деталями данного изображения являются контуры и резкие перепады яркости различногоуровня. Фон, ранее черный, теперь, вследствие градационной коррекции, сталсерым. Такое сероватое проявление фона является типичным для правильнооткорректированных изображений-лапласианов. На рис. 3.38(г) показан результат, полученный с использованием уравнения (3.6-7) с c = –1. Детали на этомизображении видны значительно более чистыми и резкими, чем на исходномизображении. Добавление исходного изображения к лапласиану восстановиа бв г дРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
