Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 65
Текст из файла (страница 65)
4.23(б), как и требовалось.Двумерный случай сложнее изображать графически, но принцип тот жесамый, как показано на рис. 4.23(в). Вместо двух полупериодов теперь имеются четыре четверти периодов, стыкующиеся в точке (M/2, N/2). Пунктирныепрямоугольники означают бесконечное число периодов двумерного ДПФ.Как и в одномерном случае, визуализация упрощается, если сдвинуть данныетак, чтобы F(0, 0) оказалась в точке (M/2, N/2). Принимая в уравнении (4.6-3)(u0, v0) = (M/2, N/2), получим выражениеf ( x, y )(−1)x + y ⇔ F (u − M /2,v − N /2) .(4.6-8)Использование данного уравнения сдвигает данные, в результате чего F(0,0)оказывается в центре частотного прямоугольника, заданного интервалами[0, M – 1] и [0, N – 1], что и требовалось; результат показан на рис.
4.23(г). Данныеконцепции иллюстрируются в настоящем разделе ниже как часть примера 4.11и рис. 4.24.4.6.4. Свойства симметрииВажный результат из функционального анализа состоит в том, что любая действительная или комплексная функция w(x, y) может быть выражена суммойчетных и нечетных частей (каждая из которых может являться действительнойили комплексной):w( x, y ) = we ( x, y ) + wo ( x, y ) ,(4.6-9)где четная и нечетная части определяются соответственно какиXF ( Y, Z )X ( Y, Z ) + X (− Y, − Z )(4.6-10a)XP ( Y, Z )X ( Y, Z ) − X (− Y, − Z ).(4.6-10б)Подстановка выражений (4.6-10a) и (4.6-10б) в (4.6-9) дает тождествоw(x, y) ≡ w(x, y), доказывая тем самым справедливость последних выражений.Из приведенных определений следует, чтоиwe ( x, y ) = we (− x, − y )(4.6-11a)wo ( x, y ) = −wo (− x, − y ) .(4.6-11б)288Глава 4.
Фильтрация в частотной областиЧетные функции называют симметричными, а нечетные — антисимметричными.Поскольку все индексы в прямом и обратном ДПФ являются неотрицательными, то говорить о вышеуказанных свойствах можно только со ссылкой на центральную точку последовательности, относительно которой функция являетсясимметричной (антисимметричной). В терминах выражений (4.6-11), индексысправа от центральной точки одномерного массива считаются положительными, а слева — отрицательными.
В нашей работе более удобно, когда индексыпринимают только неотрицательные значения; в таком случае определениячетности и нечетности принимают видиwe ( x, y ) = we (M − x, N − y )(4.6-12a)wo ( x, y ) = −wo (M − x, N − y ) ,(4.6-12b)где, как обычно, M и N означают число строк и столбцов двумерного массива.Из элементарного математического анализа известно, что произведение двухчетных или двух нечетных функций даст в результате четную функцию, а произведение четной и нечетной функций будет нечетной функцией. Вдобавок к этому дискретная функция может быть нечетной только в том случае, если суммавсех ее отсчетов равна нулю.
Это свойство приводит к важному результату, чтоM −1 N −1∑ ∑ w ( x, y )w ( x, y ) = 0x =0 y =0e(4.6-13)oдля любых дискретных четных и нечетных функций we и wo. Другими словами,поскольку аргумент в формуле (4.6-13) является нечетным, то результат суммирования равен 0. Функции могут быть как действительными, так и комплексными.Чтобы удостовериться, что отсчеты нечетной функции в сумме равны нулю, рассмотрите один период одномерной функции синуса вокруг начала координат илилюбой другой интервал, охватывающий один период.Пример 4.10.
Четные и нечетные функции.■ Представить себе четность и нечетность для непрерывных функций нетрудно,однако для дискретных последовательностей эти понятия не столь наглядны.Нижеследующая иллюстрация поможет прояснить рассмотренные выше идеи.Рассмотрим одномерную последовательностьf = {f(0)f(1)f(2) f(3)} = {2111},в которой M = 4. Для проверки на четность должно выполняться условиеf(x) = f(4 – x); т. е.
требуется, чтобыf(0) = f(4), f(1) = f(3),f(2) = f(2),f(3) = f(1).Поскольку f(4) находится вне диапазона проверки и, следовательно, может бытьлюбым, то значение f(0) также оказывается несущественным для проверки на четность. Как видно, остальные значения удовлетворяют вышеуказанным условиям,следовательно, выбранная последовательность является четной. Фактически любая четная последовательность из четырех элементов должна иметь вид4.6. Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье{ab289c b}.То есть в 4-элементной четной последовательности должны быть равны тольковторой и последний элементы.Нечетная последовательность имеет интересное свойство, что ее первыйчлен, wo(0,0), всегда равен нулю, — факт, следующий напрямую из (4.6-10b). Рассмотрим одномерную последовательностьg = {g(0) g(1)g(2) g(3)} = {0–101}.Тот факт, что эта последовательность нечетная, легко подтверждается проверкой условия g(0) = –g(4 – x).
Например, g(1) = –g(3). Любая 4-элементная нечетная последовательность имеет вид{0 a0–a}.Таким образом, при четном M одномерная нечетная последовательность имеетсвойство, что ее элементы в точках 0 и M/2 всегда равны нулю. При нечетномM первый элемент по-прежнему должен быть равен 0, а оставшиеся элементы,формирующие пары, должны быть равными по величине, но с противоположными знаками.Предыдущее обсуждение показывает, что свойство четности или нечетности последовательности зависит также от длины последовательности. Например, уже было показано, что последовательность {0 –1 0 1} является нечетной.Однако последовательность {0 –1 0 1 0}, в которой добавлен еще один нулевойэлемент, уже не является ни четной, ни нечетной, хотя ее «основная» структуравыглядит нечетной.
Это важная проблема в интерпретации результатов ДПФ.Позже в данном разделе будет показано, что ДПФ четных и нечетных функцийобладают некоторыми весьма важными характеристиками. Так, пониманиетого, что функция является четной или нечетной, часто играет ключевую рольв возможности интерпретировать результаты преобразования изображения,основанные на ДПФ.Те же основные соображения справедливы и в двумерном случае. Например,двумерная последовательность размерами 6×60 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 −1 0 1 00 0 −2 0 2 00 0 −1 0 1 00 0 0 0 0 0В качестве упражнения покажите, что данный двумерный массив является нечетным, используя для этого выражение (4.6-12б).является нечетной.
Однако добавление еще по одной строке и столбцу из нулейдаст в результате массив, который не будет ни четным, ни нечетным. Обратимвнимание, что внутренняя структура данного массива представляет собой ма-290Глава 4. Фильтрация в частотной областиску Собела, рассматривавшуюся в разделе 3.6.4. Мы еще вернемся к этой маскев примере 4.15.■На основе рассмотренных выше концепций можно установить ряд важныхсвойств симметрии прямого и обратного ДПФ. Часто используемым свойствомявляется то, что Фурье-образ действительной функции f(x, y) будет симметричносопряженным:F * (u,v ) = F (−u, −v ) .(4.6-14)Если f(x, y) является мнимой, то ее Фурье-образ будет антисимметрично сопряженным: F *(–u, –v) = –F(u, v).
Доказательство утверждения (4.6-14) следующее:*⎡M −1 N −1⎤ M −1 N −1F (u,v ) = ⎢ ∑ ∑ f ( x, y )e −i 2 π(ux/M +vy/N ) ⎥ = ∑ ∑ f *( x, y )ei 2 π(ux/M +vy/N ) =⎣ x =0 y =0⎦ x =0 y =0*M −1 N −1= ∑ ∑ f ( x, y )e −i 2 π([ −u]x/M +[ − v]y/N ) = F (−u, −v ),x =0 y =0где третий шаг следует из того, что f(x, y) — действительная функция. Аналогичный подход может быть использован для доказательства того, что Фурье-образмнимой функции является антисимметрично сопряженным.Таблица 4.1.Некоторые свойства симметрии прямого и обратного ДПФ.
R(u, v)и I(u, v) являются действительной и мнимой частями F(u, v) соответственно. Термин комплексная означает, что действительнаяи мнимая части функции ненулевыеПространственная область†Частотная область†1)f(x, y) действительная⇔F *(u, v) = F(–u, –v)2)f(x, y) мнимая⇔F *(–u, –v) = –F(u, v)3)f(x, y) действительная⇔R(u, v) четная, I(u, v) нечетная4)f(x, y) мнимая⇔R(u, v) нечетная, I(u, v) четная5)f(–x, –y) действительная⇔F *(u, v) комплексная6)f(–x, –y) комплексная⇔F(–u, –v) комплексная7)f *(x, y) комплексная⇔F *(–u, –v) комплексная8)f(x, y) действительная и четная⇔F(u, v) действительная и четная9)f(x, y) действительная и нечетная⇔F(u, v) мнимая и нечетная10)f(x, y) мнимая и четная⇔F(u, v) мнимая и четная11)f(x, y) мнимая и нечетная⇔F(u, v) действительная и нечетная12)f(x, y) комплексная и четная⇔F(u, v) комплексная и четная13)f(x, y) комплексная и нечетная⇔F(u, v) комплексная и нечетная†Напомним, что x, y, u и v являются дискретными (целыми) переменными, причемx и u находятся в диапазоне [0, M – 1], а y и v — в диапазоне [0, N – 1].
Утверждение, чтокомплексная функция является четной, означает, что и действительная и мнимая ее части являются четными; аналогично — для нечетных комплексных функций.4.6. Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье291Симметрично сопряженную функцию также называют симметрично эрмитовой. Иногда используется термин антиэрмитов, означающий «антисимметричносопряженный».В табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
