Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 68
Текст из файла (страница 68)
4.28(д). Использование теоремы о свертке и ДПФ приводит к получениюпространственной функции длиной в 799 точек, идентичной изображеннойна рис. 4.28(д). Можно сделать вывод, что для получения одинаковых результатов при «прямом» использовании уравнения свертки в главе 3 и при подходес использованием ДПФ в последнем случае функции должны дополняться нулями прежде, чем вычисляются их преобразования.В двумерном случае продемонстрировать аналогичный пример труднее,но можно прийти к тем же выводам в отношении ошибок перехлеста и к необходимости дополнения функций нулями.
Пусть f(x, y) и h(x, y) — два изображения(двумерных массива) размерами A×B и C×D элементов соответственно. Появле-4.6. Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье301ния ошибок перехлеста при круговой свертке можно избежать при дополнениимассивов нулями с соблюдением следующих условий:и⎧ f ( x, y ) 0 ≤ x ≤ A − 1 и 0 ≤ y ≤ B − 1f p ( x, y ) = ⎨A ≤ x ≤ P или B ≤ y ≤ Q⎩0(4.6-27)⎧h( x, y ) 0 ≤ x ≤ C − 1 и 0 ≤ y ≤ D − 1hp ( x, y ) = ⎨C ≤ x ≤ P или D ≤ y ≤ Q⎩0(4.6-28)P ≥ A + C −1(4.6-29)Q ≥ B + D −1.(4.6-30)прииРезультирующие дополненные нулями массивы будут иметь размеры P×Q.Если оба изображения имели размеры M×N, то требования будут иметь видиP ≥ 2M − 1(4.6-31)Q ≥ 2N − 1.(4.6-32)В разделе 4.7.2 дается пример, показывающий эффект от ошибок перехлестана изображениях.
Как правило, алгоритмы ДПФ производят вычисления с массивами четного размера быстрее, чем нечетного, поэтому можно рекомендоватьвыбирать в качестве P и Q минимальные четные числа, удовлетворяющие вышеуказанным условиям. Если массивы по размерам одинаковы, то в качестве Pи Q стоит выбирать удвоенный размер массива.Обе функции на рис. 4.28(а) и (б) принимают нулевые значения еще до конца интервала дискретизации, что удобно для дополнения нулями. Однакоесли одна или обе функции на конце интервала не равны нулю, то дополнениефункции нулями для устранения ошибок перехлеста вызовет нарушение непрерывности (разрыв) функции.
Это аналогично умножению исходной функции на прямоугольную функцию, что в частотной области может быть выражено как свертка исходного Фурье-образа с функцией sinc (см. пример 4.1). Это,в свою очередь, приведет к так называемой спектральной утечке, вызываемойвысокочастотными компонентами sinc-функции. Утечка приводит к возникновению блочного эффекта на изображении. Хотя устранить утечку полностью невозможно, она может быть существенно уменьшена умножением дискретизуемой функции на другую функцию, которая плавно снижается до нуляна обоих концах функции, подавляя резкие переходы (и тем самым высокочастотные составляющие), имеющиеся у прямоугольной функции.
Такой подход,называемый выделение по окну или кадрирование, является важным фактором,когда требуется достичь высокого качества восстановления (как, например,в графике высокого разрешения). Если вы столкнулись с необходимостью использования отсечения, хорошим подходом является применение двумернойгауссовой функции (см. раздел 4.8.3). Одним из преимуществ этой функцииявляется то, что ее Фурье-спектр также является гауссовым, а значит, вызывающим малые утечки.302Глава 4. Фильтрация в частотной областиТаблица 4.2. Сводка определений, относящихся к ДПФ, с соответствующимивыражениямиНазваниеВыражениеДискретное преобразованиеФурье (ДПФ) функции f(x, y)F (u,v ) = ∑ ∑ f ( x, y )e −i 2 π(ux/M +vy/N )Обратное дискретное преобразование Фурье (обратное ДПФ) функции F(u, v)f ( x, y ) =3)Представление в полярныхкоординатахF (u,v ) = F (u,v ) eiφ(u,v)4)СпектрF (u,v ) = ⎡⎣R 2 (u,v ) + I 2 (u,v )⎤⎦1)2)M −1 N −1x =0 y =01MNR = Re(F);M −1 N −1∑ ∑ F (u,v )e1/ 2I = Im(F)5)Фаза (фазовый угол)⎡ I (u,v ) ⎤φ(u,v ) = arctg ⎢⎥⎣ R (u,v )⎦6)Энергетический спектрP (u,v ) = F (u,v )7)Среднее значениеf ( x, y ) =1MNi 2 π( ux /M +vy/N )u =0 v =02M −1 N −11∑ ∑ f ( x, y ) = MN F (0,0)x =0 y =0F (u,v ) = F (u + k1M ,v ) = F (u,v + k2N ) == F (u + k1M ,v + k2N )Периодичность (k1 и k2 — целые)f ( x, y ) = f ( x + k1M , y ) = f ( x, y + k2N ) =9)Сверткаf ( x, y )h( x, y ) = ∑ ∑ f (m,n)h( x − m, y − n)10)Корреляцияf ( x, y )h( x, y ) = ∑ ∑ f *(m,n)h( x + m, y + n)11)Разделимость (сепарабельность)Двумерное ДПФ может быть выполненовычислением одномерных ДПФ по строкам(столбцам) и затем вычислением одномерныхДПФ по столбцам (строкам).
См. раздел 4.11.112)Вычисление обратного ДПФ,используя алгоритм прямогоДПФMN f *(u,v ) = ∑ ∑ F *(u,v )e −i 2 π(ux/M +vy/N )8)= f ( x + k1M , y + k2N )M −1 N −1m =0 n =0M −1 N −1m =0 n =0M −1 N −1u =0 v =0Выражение показывает, что подавая F *(u, v)на вход алгоритма вычисления прямого ДПФ,получаем MN f *(u, v). Выполнение операцийкомплексного сопряжения и деления на MNдает искомый результат. См. раздел 4.11.24.6.
Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье303Таблица 4.3. Сводка Фурье-пар дискретного преобразования. Аналитическиевыражения в последних двух строках таблицы справедливы толькодля непрерывных переменных. Для использования с дискретнымипеременными непрерывные аналитические выражения должныбыть дискретизованыНазваниеФурье-пары дискретного преобразования1)Свойства симметрииСм. табл. 4.12)Линейностьaf1( x, y ) + bf2 ( x, y ) ⇔ aF1(u,v ) + bF2 (u,v )3)Сдвиг (общий случай)f ( x, y )ei 2 π(u0 x /M +v0 y /N ) ⇔ F (u − u0 ,v − v0 )f ( x − x0 , y − y0 ) ⇔ F (u,v )e −i 2 π(ux0 /M +vy0 /N )4)5)Сдвиг в центр частотного прямоугольника(M/2, N/2)Поворотf ( x, y )(−1)x + y ⇔ F (u − M /2,v − N /2)f ( x − M /2, y − N /2) ⇔ F (u,v )(−1)u +vf (r , θ + θ0) ⇔ F (ω, ϕ + θ0)x = r cos θ y = r sin θ u = ω cos ϕ v = ω sin ϕ6)Теорема о свертке†f ( x, y )h( x, y ) ⇔ F (u,v )H (u,v )f ( x, y )h( x, y ) ⇔ F (u,v )H (u,v )7)Теорема о корреляции†f ( x, y )h( x, y ) ⇔ F *(u,v )H (u,v )8)Дискретный единичный импульсδ(x, y) ⇔ MN9)Прямоугольникrect[a,b ] ⇔ ab10)Синусsin(2πu0 x + 2πv0 y) ⇔ i11)Косинусcos(2πu0 x + 2πv0 y) ⇔f *( x, y )h( x, y ) ⇔ F (u,v )H (u,v )sin( πua) sin( πvb ) −i π(ua+vb )e( πua) ( πvb )1[δ(u +Mu0 ,v +Nv0) − δ(u −Mu0 ,v −Nv0)]21[δ(u +Mu0 ,v +Nv0) + δ(u −Mu0 ,v −Nv0)]2Следующие Фурье-пары выводятся лишь для непрерывных переменных, обозначаемых, как и ранее, t и z для пространственных и μ и v для частотных переменных.Эти результаты могут быть использованы для работы с ДПФ после дискретизациинепрерывных форм.12)Дифференцирование(выражение справапредполагает, чтоf(±∞, ±∞) = 0)⎛∂⎞ ⎛∂⎞mn⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ f (t , z ) ⇔ (i 2πμ) (i 2πv ) F (μ,v)∂t∂z∂m f (t , z )∂n f (t , z )⇔ (i 2πμ)m F (μ,v );⇔ (i 2πv )n F (μ,v )m∂t∂z n13)ГауссианA 2πσ 2e −i 2 π σ (tmn2 22+ z 2)222⇔ Ae −( μ +v )/2σ (A — константа)†Предполагается, что функции расширены путем дополнения нулями.
Сверткаявляется ассоциативной, коммутативной и дистрибутивной операцией. Корреляцияявляется дистрибутивной операцией.304Глава 4. Фильтрация в частотной областиПростой функцией отсечения является треугольник, центрированный в середине функции и спадающий до 0 на обоих концах функции. Он называется «окноБартлетта» (в оригинале Bartlett window).
Другими используемыми функциямиявляются окно Хэмминга (Hamming window) и окно Ханна (Hann window). Можно также использовать гауссову функцию. Мы вернемся к рассмотрению вопросаокон в разделе 5.11.5.4.6.7. Краткое изложение свойств двумерного дискретногопреобразования ФурьеВ табл. 4.2 приведены основные определения, связанные с ДПФ, которые введены в настоящей главе. Разделимость рассматривается в разделе 4.11.1. Получение обратного преобразования Фурье с использованием алгоритма прямогопреобразования обсуждается в разделе 4.11.2. Корреляция рассматриваетсяв главе 12.В табл.
4.3 приводятся некоторые важные пары преобразований Фурье.Хотя наше основное внимание обращено на дискретные функции, последниедве строки таблицы представляют пары преобразований Фурье, которые могутбыть получены лишь для непрерывных переменных (отметим использованиеобозначений непрерывных переменных). Они включены сюда, поскольку приправильной интерпретации являются весьма полезными в цифровой обработкеизображений.
Пара дифференцирования может быть использована для получения в частотной области эквивалента лапласиана, определенного уравнением(3.6.3) (задача 4.26). Пара гауссиана рассматривается в разделе 4.7.4.Табл. 4.1—4.3 дают краткое изложение различных свойств, полезных при работе с ДПФ. Многие из этих свойств являются важнейшими элементами приобсуждении материала оставшейся части настоящей главы, а некоторые используются и в последующих главах.4.7. Îñíîâû ôèëüòðàöèè â ÷àñòîòíîé îáëàñòèВ данном разделе закладываются основы для всех методов фильтрации, рассматриваемых в оставшейся части главы.4.7.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
