Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 71
Текст из файла (страница 71)
е. G(i, k) = H(i, k)F(i, k).Получить обработанное изображение при помощи вычисления обратного ДПФ{}g p ( x, y ) = real ⎡⎣F −1[G (u,v )]⎤⎦ (−1)x + y ,в котором, чтобы убрать паразитную мнимую компоненту, возникающую из-за неточностей вычислений берется лишь действительная часть;нижний индекс p означает, что это расширенный массив.7. Получить окончательный результат обработки g(x, y) вырезанием области размерами M×N из левого верхнего угла g p(x, y).Указанные шаги проиллюстрированы на рис. 4.36. В описании каждогоизображения указано содержание каждого действия.
Если увеличить изображение рис. 4.36(в), то будут видны черные точки, перемежающие пикселиизображения, — следствие того, что отрицательные яркости срезаны и заменены значением 0. Отметим характерную темную границу на рис. 4.36(з),возникшую вследствие низкочастотной фильтрации расширенного нулямиизображения.20Вопросы изменения фазы стоило бы дополнить тем, что прибавление константык значениям степени в полярном представлении (4.6 15) элементов Фурье-образа приводит к простому сдвигу всего изображения без дополнительных искажений, что, по сути,перекликается с вопросами, рассматривавшимися в разделе 4.6.2.
— Прим. перев.21Если H(u, v) формируется из заданного пространственного фильтра h(x, y), то приформировании hp(x, y) расширением фильтра до размеров P×Q следует умножить расширенный массив на (–1)x+y и вычислить ДПФ полученного результата, чтобы получитьцентрированный массив H(u, v). Эту процедуру иллюстрирует пример 4.15.314Глава 4. Фильтрация в частотной областиа б вг д еж зРис. 4.36.(а) Изображение f размерами M×N. (б) Расширенное изображение fpразмерами P×Q.
(в) Результат умножения fp на (–1)x+y. (г) Спектр Fp.(д) Центрированный гауссов низкочастотный фильтр H размерамиP×Q. (е) Спектр произведения HFp. (ж) g p, произведение (–1)x+y и действительной части обратного ДПФ от HFp. (з) Окончательный результат g, полученный вырезанием первых M строк и N столбцов из g p4.7.4. Соответствие между пространственными и частотнымифильтрамиСвязь между фильтрами пространственной и частотной областей определяется теоремой о свертке. Фильтрация в частотной области была определенав разделе 4.7.2 как произведение фильтра-функции H(u,v) на преобразованиеФурье исходного изображения F(u,v). Пусть задан фильтр H(u,v); предположим, мы хотим определить его эквивалентное представление в пространственной области.
Для этого возьмем единичный импульс f(x, y) = δ(x, y);из табл. 4.3 следует, что F(u,v) = 1. Тогда согласно (4.7-1) выход фильтра будетравен F–1{H(u,v)} — обратному преобразованию частотного фильтра, соответствующего пространственному фильтру. Из аналогичного анализа и теоремыо свертке следует и обратное, что если задан пространственный фильтр, его4.7. Основы фильтрации в частотной области315представление в частотной области получается выполнением прямого Фурьепреобразования пространственного фильтра.
Таким образом два фильтра образуют Фурье-пару:h( x, y ) ⇔ H (u,v ) ,(4.7-4)где h(x, y) — пространственный фильтр. Поскольку этот фильтр может быть получен как отклик частотного фильтра на единичный импульс, то часто h(x, y)называют импульсной характеристикой (импульсным откликом) фильтра H(u,v).Также, поскольку при дискретной реализации уравнения (4.7-4) как пространственные (временные) параметры, так и значения коэффициентов являютсяограниченными, то такие фильтры называют фильтрами с конечными импульсными характеристиками (КИХ-фильтрами). В данной книге рассматриваютсялинейные пространственные фильтры исключительно такого типа.Пространственная свертка была введена в разделе 3.4.1, и ее реализациярассматривалась в связи с уравнением (3.4-2), которое относится к функциямсвертки различных размеров.
Когда мы говорим о пространственной свертке в терминах теоремы о свертке и ДПФ, то подразумевается, что в операцииучаствуют периодические функции, как это объяснялось в комментарияхк рис. 4.28. По этой причине, как уже говорилось ранее, уравнение (4.6-23) называют круговой сверткой.
Более того, свертка в контексте ДПФ предполагаетналичие одинаковых по размерам функций, тогда как в (3.4-2) функции могутбыть и совершенно различных размеров.На практике часто требуется осуществлять фильтрацию сверткой (согласноуравнению (3.4-2)) с маской небольшого размера, что может выполняться с достаточно высокой скоростью и не слишком трудно в аппаратной реализации.Однако концепции фильтрации в частотной области интуитивно более понятны. Один из способов воспользоваться преимущественными свойствамикаждой из областей состоит в том, чтобы задать фильтр в частотной области,вычислить его обратное ДПФ и полученный полноразмерный пространственный фильтр использовать в качестве образца для построения масок пространственных фильтров меньшего размера (более формальные подходы рассмотрены в разделе 4.11.4.).
Это разбирается уже в следующих параграфах. Далее будетрассматриваться и обратный случай, когда задан небольшой пространственныйфильтр и формируется его полноразмерное представление в частотной области.Такой подход удобен для частотного анализа поведения пространственныхфильтров. В последующих обсуждениях необходимо помнить, что прямое и обратное преобразования Фурье являются линейными процессами (задача 4.14),так что рассмотрение ограничено линейной фильтрацией.В качестве примера того, как частотные фильтры могут использоваться в качестве эталона для задания коэффициентов некоторых из набольших масок,рассматривавшихся в главе 3, воспользуемся гауссовым фильтром. Фильтры,основанные на гауссовых функциях, представляют особый интерес, поскольку,как указано в табл. 4.3, и прямое, и обратное Фурье-преобразования гауссовойфункции являются действительными гауссовыми функциями.
Мы ограничимся рассмотрением одномерного случая для иллюстрации лежащих в основе фильтрации принципов. Двумерные гауссовы фильтры будут рассмотреныв данной главе позже.316Глава 4. Фильтрация в частотной областиH(u)а вб гH (u)uuh(x)h (x)11––× 19111111111–– × 2161–1 –1 –1–1 8 –1–1 –1 –12421210 –1 0–1 4 –10 –1 0xxРис. 4.37.(а) Одномерный гауссов низкочастотный фильтр в частотной области. (б) Пространственный низкочастотный фильтр, соответствующий (а). (в) Гауссов высокочастотный фильтр в частотной области.(г) Пространственный высокочастотный фильтр, соответствующий(в).
Представленные небольшие двумерные маски использовалисьв главе 3Обозначим H(u) одномерный частотный гауссов фильтр:22H (u ) = Ae − u /2σ ,(4.7-5)где σ — стандартное отклонение гауссовой функции. Для получения соответствующего пространственного фильтра нужно взять обратное преобразованиеФурье от H(u) (задача 4.31):2 2 2h( x ) = 2πσAe −2 π σ x .(4.7-6)Данные выражения22 важны по двум причинам.
(1) Они образуют Фурье-пару,причем каждая функция является гауссовой и действительной. Это облегчает анализ, поскольку нет необходимости заниматься комплексными числами.Кроме того, гауссовы кривые наглядны и удобны для обработки. (2) Функцииведут себя взаимно противоположно: если H(u) широкая (значение σ большое),то h(x) узкая и наоборот. Фактически, если σ устремить в бесконечность, тоH(u) будет стремиться к константе, а h(x) — к импульсу, что означает отсутствиефильтрации в частотной и пространственной областях соответственно.На рис. 4.37(а) представлен график гауссового низкочастотного фильтрав частотной области, а на (б) — соответствующего пространственного фильтра. Предположим, мы хотим использовать форму h(x) на рис. 4.37(б) в качестве22Как указано в табл.
4.3, аналитические выражения для прямого и обратного преобразования Фурье гауссовых функций применимы лишь для непрерывных функций.Для использования дискретных форм следует просто дискретизовать непрерывные преобразования гауссовой функции. Применение нами дискретных переменных означает,что работа происходит с дискретизованными преобразованиями.4.7. Основы фильтрации в частотной области317ориентира для задания коэффициентов небольшой пространственной маски.Важное сходство этих двух фильтров состоит в том, что все значения у них положительны. Таким образом, можно обеспечить низкочастотную фильтрациюв пространственной области при помощи маски, содержащей только положительные коэффициенты, как это было сделано в разделе 3.5.1; для сравненияна рис. 4.37(б) представлены две из рассматривавшихся там масок.
Обратимвнимание на взаимосвязь ширины соответствующих фильтров, про которуюговорилось в предыдущем абзаце: чем более узок фильтр в частотной области,тем сильнее он подавляет высокие частоты, приводя к более сильному размыванию. В пространственной области это означает, что для увеличения размывания должна быть использована маска большего размера, как это иллюстрировалось в примере 3.13.На базе простой гауссовой функции, заданной выражением (4.7-5), можносоздавать более сложные фильтры. Например, можно построить высокочастотный фильтр в виде разности двух гауссиановH (u ) = Ae− u 2 /2σ12− Be− u 2 /2σ22(4.7-7)с A ≥ B и σ1 > σ2.
Соответствующий пространственный фильтр будет выглядетькакh( x ) = 2πσ1 Ae−2 π2σ12 x 2− 2πσ 2Be−2 π2σ22 x 2.(4.7-8)На рис. 4.37(в) и (г) показаны графики этих двух выражений. Еще раз отмечаем взаимосвязь функций по ширине, но наиболее важной особенностью здесьявляется то, что в маске h(x) центральный элемент имеет положительное значение, а краевые элементы — отрицательные. Ту же особенность передают и небольшие маски, показанные на рис. 4.37(г).
Эти две маски использовались в главе 3 в качестве фильтров повышения резкости, которые, как мы теперь знаем,являются высокочастотными фильтрами.Изучение вышеизложенного материала требует значительных усилий, но неподлежит сомнению, что правильно понять фильтрацию в частотной областиневозможно без тех основ, которые были сформулированы. На практике частотная область может рассматриваться как некая «лаборатория», в которой более удобно изучать соотношение между видом изображения и его частотным содержанием. Как многократно демонстрируется ниже в данной главе, некоторыезадачи, которые исключительно трудно или даже невозможно сформулироватьнепосредственно в пространственной области, становятся почти тривиальными в частотной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
