Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Дополнительные характеристики частотной областиМы начинаем с того, что согласно выражению (4.5-15) каждый элемент Фурьеобраза F(u,v) содержит все отсчеты функции f(x, y), умноженные на значения экспоненциальных членов. Поэтому обычно, за исключением тривиальных случаев, невозможно установить прямое соответствие между характерными деталямиизображения и его образа. Однако некоторые общие утверждения относительно взаимосвязи частотных составляющих Фурье-образа и пространственныхособенностей изображения могут быть сделаны.
Например, поскольку частотапрямо связана со скоростью пространственных изменений сигнала, то интуитивно ясно, что частоты в Фурье-преобразовании связаны с вариацией яркости4.7. Основы фильтрации в частотной области305на изображении. В разделе 4.6.5 было показано, что наиболее медленно меняющаяся (постоянная) частотная составляющая (u = v = 0) пропорциональна средней яркости изображения. Низкие частоты, отвечающие точкам вблизи началакоординат Фурье-преобразования, соответствуют медленно меняющимся компонентам изображения.
На изображении комнаты, например, они могут соответствовать плавным изменениям яркости стен и пола. По мере удаления от начала координат более высокие частоты начинают соответствовать все болееи более быстрым изменениям яркости, которые суть границы объектов и другиедетали изображения, характеризуемые резкими изменениями яркости.Методы фильтрации в частотной области основаны на модифицированииФурье-образа для достижения конкретных целей и выполнении затем обратного ДПФ, чтобы вернуться в пространственную область изображения, какизлагалось в разделе 2.6.7. Из (4.6-15) следует, что двумя компонентами Фурьепреобразования, к которым у нас имеется доступ, являются амплитуда преобразования (Фурье-спектр) и фаза.
Основные свойства этих двух компонентрассмотрены в разделе 4.6.5. Там было показано, что визуальный анализ фазовой компоненты, как правило, имеет мало смысла. Зато спектр дает некоторыеполезные указания на общие характеристики исходного изображения. Например, рассмотрим рис. 4.29(а), на котором представлено увеличенное примернов 2500 раз изображение интегральной схемы, полученное при помощи сканирующего электронного микроскопа. Помимо собственно представляющей интерес конструкции, мы видим две характерные особенности. Это резкие контурыдеталей, проходящие под углом примерно ±45°, и два белых выступа окалины, возникшие в результате неудачно проведенной термической обработки.В Фурье-спектре на рис.
4.29(б) хорошо видны диагональные составляющие,которые отвечают упомянутым контурам. При внимательном рассматриванииобласти, расположенной вдоль вертикальной оси, можно заметить частотнуюсоставляющую, слегка повернутую против часовой стрелки. Наличие этой составляющей обусловлено контурами выступов окалины. Обратим вниманиена то, как угол поворота этой частотной составляющей, связан с отклонениемдлинного белого элемента от горизонтали. Обратим также внимание на полоа бРис. 4.29.(а) Изображение поврежденной интегральной схемы, полученноепри помощи сканирующего электронного микроскопа. (б) Фурьеспектр изображения (а). (Исходное изображение предоставил д-рД. М. Хьюдек, Brockhouse Institute for Material Research, университетМак-Мастер, г.
Гамильтон, шт. Онтарио, Канада)306Глава 4. Фильтрация в частотной областижение нулей этой частотной составляющей связанное с малым поперечнымразмером выступов окалины.Это типичные варианты связей, которые вообще могут быть установленымежду частотной и пространственной областью. Как будет показано позжев данной главе, даже такие очевидные типы связей вместе с упомянутой вышезависимостью между частотными составляющими и скоростью изменения яркости на изображении могут приводить ко многим очень полезным результатам.В следующем разделе будут рассмотрены эффекты, возникающие при модификации различных частотных диапазонов Фурье-преобразования изображенияна рис. 4.29(а).4.7.2. Основы частотной фильтрацииФильтрация в частотной области заключается в модифицировании Фурьеобраза изображения и последующем выполнении обратного преобразованиядля получения обработанного результата.
Это утверждение можно сформулировать в виде следующего основного уравнения частотной фильтрации:g ( x, y ) = F −1[H (u, v )F (u,v )] ,(4.7-1)где F(u,v) — ДПФ исходного изображения f(x, y) размерами M×N, H(u,v) —фильтр-функция (также называемая просто фильтром или передаточной функцией фильтра), F–1 — обратное ДПФ, а g(x, y) — результат фильтрации (выходноеизображение). Функции F, H, и g представляют собой массивы размерами M×N,как и исходное изображение. Произведение H(u,v)F(u,v) формируется как поэлементное произведение массивов (см. раздел 2.6.1). Фильтр-функция модифицирует Фурье-преобразование исходного изображения, чтобы получить на выходеобработанное изображение g(x, y).
Задание функции H(u,v) значительно упростится, если использовать функции, симметричные относительно своего центра; это в свою очередь требует, чтобы F(u,v) также была центрирована тем жесамым образом. Как объясняется в разделе 4.6.3, это достигается умножениемисходного изображения на (–1)x+y перед выполнением прямого ДПФ16.Если H является действительной и симметричной, а f — действительной (как этообычно и бывает в реальной ситуации), то обратное ДПФ в (4.7-1) теоретическидолжно в результате давать действительные значения. Однако на практике обратное преобразование обычно имеет паразитные комплексные члены из-за округлений и других неточностей вычислений. Поэтому для формирования g обычноберут действительную часть обратного ДПФ.16Многие программные реализации двумерного ДПФ (например MATLAB) не осуществляют центрирования преобразования Фурье.
Это подразумевает, что фильтрфункция должна быть сформирована соответствующим образом, чтобы совпадатьс форматом данных нецентрированного преобразования (т. е. иметь начало координатслева вверху). Конечным результатом является то, что такой фильтр труднее реализовывать и отображать. В наших обсуждениях мы используем центрирование, чтобы обеспечить более удобную визуализацию — ответственный момент в формировании ясногопонимания концепций фильтрации. На практике возможна реализация и других способов выстраивания данных при условии, что соблюдается единообразие.4.7.
Основы фильтрации в частотной области307Перейдем к детальному рассмотрению процесса фильтрации. Однимиз простейших фильтров, которые можно построить, является фильтр H(u,v),равный 0 в центре, когда u = v = 0, и 1 во всех остальных точках. Такой фильтрпри выполнении произведения H(u,v)F(u,v) будет задерживать член, несущийинформацию о постоянной составляющей, и будет «пропускать» (т.
е. оставлятьнеизменными) все остальные составляющие F(u,v). Как известно из (4.6-21),постоянная составляющая определяет среднюю яркость изображения, так чтоприравнивая ее к нулю, тем самым средняя яркость выходного изображенияуменьшается до нуля. На рис. 4.30 показан результат такой операции, выполненный при использовании выражения (4.7-1). Как и ожидалось, изображениестало много темнее. (Равенство нулю среднего значения предполагает существование отрицательных величин. Но поскольку при отображении все отрицательные значения были «срезаны», т. е.
обнулены, то изображение на рис. 4.30иллюстрирует лишь принцип, но не является точным отображением полученного результата.)Как отмечалось ранее, низкие частоты в преобразовании связаны с областями медленно меняющейся яркости, такими как стены комнаты или безоблачноенебо на изображении пейзажа. Высокие частоты, наоборот, вызываются резкими переходами яркости, такими как контуры и шум. Таким образом, можноожидать, что фильтр H(u,v), подавляющий высокие частоты и пропускающийнизкие и соответственно называемый фильтром низких частот, будет размывать изображение.
В это же время фильтр с противоположными характеристиками (называемый фильтром высоких частот) будет повышать контраст резкихдеталей, но вызовет снижение общего контраста на изображении. Эти эффекты иллюстрируются на рис. 4.31. Отметим сходство изображений на рис. 4.31(д)и рис. 4.30.
Причина заключается в том, что показанный фильтр высоких частотудаляет постоянную составляющую, давая в результате тот же самый основнойэффект, что и на рис. 4.30. Добавление к значениям фильтра небольшой постоянной составляющей не приводит к заметному изменению резкости, но предотвращает полное удаление члена, отвечающего за постоянную составляющую,благодаря чему в определенной степени сохраняет тональности изображения,как это видно на рис. 4.31(е).Рис. 4.30. Результат фильтрации изображения на рис.
4.29(а) обнулением членаF(M/2,N/2) Фурье-преобразования308Глава 4. Фильтрация в частотной областиH(u, v)H(u, v)H(u, v)M/ 2uN/2M/ 2Рис. 4.31.M/ 2N/ 2vuv uа б вг д еN/ 2avВерхний ряд: спектры частотных фильтров. Нижний ряд: изображения после обработки соответствующим фильтром согласно (4.7-1). Высота всех фильтров равна 1. В фильтре (в) при формировании изображения (е) использовалось значение a = 0,85. Сравните (е) и рис. 4.29(а)Согласно выражению (4.7-1), осуществляется перемножение двух функцийв частотной области, которое, согласно теореме о свертке, означает сверткув пространственной области.
Из обсуждения в разделе 4.6.6 известно, что еслифункции не расширены, то можно ожидать возникновения ошибок перехлеста. Рассмотрим на примере, что происходит при фильтрации изображениясогласно (4.7-1) без расширения. На рис. 4.32(а) представлено простое изображение, а на рис. 4.32(б) — результат его низкочастотной фильтрации гаа б вРис. 4.32. (а) Простое изображение. (б) Результат размывания гауссовым низкочастотным фильтром без расширения. (в) Результат размывания гауссовым низкочастотным фильтром с предварительным расширением.Сравните вертикальные контуры светлых областей на (б) и (в)4.7. Основы фильтрации в частотной области309а бРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
