Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурьеа бв гyvuxvu295vuРис. 4.24. (а) Изображение простой прямоугольной функции. (б) Спектр, демонстрирующий яркие пятна в четырех углах. (в) Центрированныйспектр. (г) Результат после логарифмического преобразования, демонстрирующий улучшение видимости деталей. Поскольку прямоугольник вытянут в вертикальном направлении, точки перехода черезноль спектра в вертикальном направлении оказываются значительноближе, чем в горизонтальном.
Как обычно в книге, начала координатпространственной и частотной областей размещены вверху слевабыть различны их фазы. Это подтверждает рис. 4.26. На рис. 4.26(а) и (б) в видеизображений представлены массивы фаз Фурье-образов для изображенийна рис. 4.24(а) и 4.25(а). Обратим внимание на непохожесть фазовых изображений несмотря на то, что единственным различием между исходными изображениями был простой сдвиг.
Вообще визуальный анализ фазовых изображенийдает мало интуитивной информации. Например, из-за того, что на рис. 4.26(а)прослеживается четкий рельеф под углом в 45°, можно было бы заключить, чтоэто фазы изображения на рис. 4.25(в), а не на рис. 4.24(а). Фаза же повернутого изображения, как это видно на рис. 4.26(в), содержит четкие структуры под■углом, существенно меньшим 45°.Компоненты спектра ДПФ задают амплитуды синусоид, из комбинации которых формируется изображение.
На любой выбранной частоте Фурье-спектраизображения бóльшая амплитуда означает больший вклад синусоиды данной296Глава 4. Фильтрация в частотной областиа бв гРис. 4.25. (а) Тот же прямоугольник, что и на рис. 4.24(а), но сдвинутый и (б) соответствующий спектр. (в) Повернутое изображение и (г) соответствующий спектр.
Спектр, соответствующий сдвинутому изображению, идентичен спектру исходного изображениия на рис. 4.24(а)частоты в изображение. И наоборот, малая амплитуда означает малый вкладданной синусоиды в изображение. Хотя, как подтверждает рис. 4.26, картинуфазы трудно интерпретировать, тем не менее она весьма важна. Фаза являетсяхарактеристикой смещения каждой из синусоид по отношению к началу координат.
Таким образом, если амплитуда двумерного ДПФ есть массив, компоненты которого задают интенсивности на изображении, соответствующиефазы составляют массив смещений, который содержит значительную часть информации о том, где видимые объекты размещаются на изображении. Следующий пример помогает прояснить эти концепции.а б вРис. 4.26. Массивы фаз, соответствующие изображениям: (а) центрированного прямоугольника на рис. 4.24(а); (б) сдвинутого прямоугольникана рис.
4.25(а); (в) повернутого прямоугольника на рис. 4.25(в)4.6. Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье297Пример 4.14. Дальнейшая иллюстрация свойств Фурье-спектра и фазы.■ На рис. 4.27(а) представлен портрет, а на рис. 4.27(б) — фаза его ДПФ.На последнем нет никаких деталей, которые бы помогли нашему визуальному анализу ассоциировать их с особенностями исходного изображения(нет даже видимой симметрии фаз). Однако важность фазы в задании формы исходного сигнала становится очевидной из рис.
4.27(в), который полученвычислением обратного ДПФ, используя исключительно фазовую информацию, т. е. подставив |F(u, v)| = 1 в выражение (4.6-15). Хотя информация о яркости и утеряна (напомним, что она содержится в Фурье-спектре), все основные детали на данном изображении безошибочно соответствуют исходномуна рис. 4.27(а).Рис. 4.27(г) был получен с использованием только Фурье-спектра, для чегоэкспоненциальному члену в (4.6-15) присваивалось значение 1 (что эквивалентно установке фазы в 0) и вычислялось обратное ДПФ.
Результат нельзя назватьнеожиданным. Он содержит лишь яркостную информацию, в которой доминирующей является постоянная составляющая. Никакой информации о форменет, поскольку фаза была обнулена.И наконец, рис. 4.27(д) и (е) еще раз демонстрируют главенство фазы в формировании детального содержания изображения. Рис. 4.27(д) был полученвычислением обратного ДПФ, используя в (4.6-15) спектр прямоугольникана рис. 4.24(а) и фазу портрета на рис. 4.27(а). Лицо женщины явно доминируетна результате. Наоборот, использование фазы прямоугольника на рис. 4.24(а)а б вг д еРис. 4.27.(а) Портрет женщины. (б) Фаза. (в) Портрет, восстановленный при использовании только фазы. (г) Портрет, восстановленный при использовании только Фурье-спектра. (д) Восстановление при использовании фазы портрета и Фурье-спектра прямоугольника на рис.
4.24(а).(е) Восстановление при использовании фазы прямоугольникаи Фурье-спектра портрета298Глава 4. Фильтрация в частотной областии спектра портрета дает при обратном ДПФ изображение на рис. 4.27(е), в котором доминирует прямоугольник.■4.6.6. Двумерная теорема о сверткеРаспространяя уравнение (4.4-10) на две переменные, получим в результате следующее выражение для двумерной круговой свертки:M −1 N −1f ( x, y )h( x, y ) = ∑ ∑ f (m,n)h( x − m, y − n)(4.6-23)m =0 n =0для x = 0, 1, 2, ..., M – 1 и y = 0, 1, 2, ..., N – 1. Как и (4.4-10), уравнение (4.6-23)задает один период двумерной периодической последовательности. Двумернаятеорема о свертке задается соотношениямиf ( x, y )h( x, y ) ⇔ F (u,v )H (u,v ) ,(4.6-24)f ( x, y )h( x, y ) ⇔ F (u,v )H (u,v ) ,(4.6-25)и наоборот,где F и H получены с использованием выражения (4.5-15), а двойная стрелка, как и ранее, указывает, что выражения в правой и левой частях образуютФурье-пару. В оставшейся части данного раздела наш интерес будет сконцентрирован на соотношении (4.6-24), которое утверждает, что обратное ДПФпроизведения F(u, v)H(u, v) дает в результате f(x, y)h(x, y) — двумерную пространственную свертку f и h.
Аналогично ДПФ пространственной свертки даетв результате произведение преобразований в частотной области. Соотношение (4.6-24) является фундаментом линейной фильтрации и, как объясняетсяв разделе 4.7, создает основу для всех методов фильтрации, рассматриваемыхв настоящей главе.Поскольку мы здесь имеем дело с дискретными величинами, вычисление Фурье-преобразования выполняется с использованием алгоритма ДПФ.Если мы выбираем вычисление пространственной свертки при помощи обратного ДПФ произведения двух преобразований, во внимание должна приниматься периодичность, обсуждаемая в разделе 4.6.3. Мы приведем пример одномерной ситуации, а затем расширим выводы на двумерный случай. Левый столбецна рис.
4.28 отображает выполнение свертки двух функций f и h (каждая длинойв 400 элементов), используя одномерный эквивалент уравнения (3.4-2), которое,поскольку обе функции имеют одинаковый размер, записывается в виде399f ( x )h( x ) = ∑ f (m)h( x − m) .m =0Эффективные способы вычисления ДПФ будут рассматриваться в разделе 4.11.Это уравнение идентично (4.4-10), но имеется требование к смещению x, ибооно должно быть достаточно большим, обеспечивая возможность перевернутой версии h полностью сдвигаться по f. Иными словами, процедура состоит4.6.
Некоторые свойства двумерного дискретного преобразования Фурье299из (1) зеркального переворота h вокруг начала координат (т. е. поворота на 180°)(рис. 4.28(в)), (2) сдвига перевернутой функции на величину x (рис. 4.28(г))и (3) вычисления полной суммы произведений в правой части предыдущегоуравнения для каждого из значений сдвига x. В обозначениях рис. 4.28 это означает умножение функции на рис. 4.28(а) на функцию на рис. 4.28(г) для каждогоабвгдежзикf(m)f (m)33mm0 200 400h(m)0 200 400h (m)22m0 200 400h(–m)m0 200 400h (–m)m0 200 400h(x – m)m0 200 400h(x – m)xxm0f(x)m0200 400g(x)f (x)12001200600600200 400g (x)x0200 400 600 800x0 200 400Диапазонвычисленияпреобразования ФурьеРис.
4.28. Левый столбец: свертка двух дискретных функций, получаемая прииспользовании подхода, рассмотренного в разделе 3.4.2. Корректнымявляется результат (д). Правый столбец: свертка тех же функций, но сучетом периодичности, являющейся следствием ДПФ. Обратим внимание на (к), где возникают ошибки перехлеста данных из соседнихпериодов, приводящие к неверным результатам свертки. Для получения корректных результатов следует использовать расширение функций (дополнение нулями)300Глава 4.
Фильтрация в частотной областизначения x. Смещение x пробегает весь диапазон значений, требуемых для полного сдвига h по f. На рис. 4.28(д) показана свертка этих двух функций. Заметим,что свертка есть функция переменной смещения x и что для полного сдвига hпо f диапазон изменения x составляет от 0 до 799.Если для получения того же результата, что изображен в левом столбцерис. 4.28, используется ДПФ и теорема о свертке, то необходимо приниматьво внимание периодичность, присущую выражениям, связанным с ДПФ.Это эквивалентно свертке двух периодических функций на рис.
4.28(е) и (ж).Процедура свертки та же самая, что только что рассматривалась, но функциитеперь являются периодическими. Оперируя с этими двумя функциями так же,как и в предыдущем параграфе, получим результат, показанный на рис. 4.28(к),который, очевидно, является неверным. Поскольку в свертке участвуют периодические функции, то свертка также будет периодической. Близость областейданных соседних периодов на рис. 4.28 оказывается таковой, что они интерферируют друг с другом, вызывая так называемые ошибки перехлеста. В соответствии с теоремой о свертке, если вычислить ДПФ двух 400-элементных функцийf и h, перемножить два преобразования и затем найти обратное ДПФ, то результатом был бы 400-элементный сегмент свертки, показанный на рис. 4.28(к) и являющийся неверным.К счастью, имеется сравнительно простое решение проблемы ошибок перехлеста.
Рассмотрим две функции f(x) и h(x) длиной A и B отсчетов соответственно. Можно показать ([Brigham, 1988]), что если мы добавим нули в конце каждой из функций так, чтобы они имели одинаковую длину, обозначаемую P, тоошибки перехлеста пропадают при выбореP ≥ A + B −1.(4.6-26)Нули могут добавляться как в конце, так и в начале каждой из функций или жечасть в начале и часть в конце функции. Но проще добавлять их в конце.В нашем примере каждая из функций имеет по 400 точек, так что минимальноезначение P, которое должно быть для отсутствия перехлеста, составляет P = 799;что означает, что необходимо добавить 399 нулей к концу каждой из функций.Этот процесс называется дополнением нулями. В качестве примера можете убедиться, что если периоды функций на рис. 4.28(е) и (ж) расширить добавлением в каждый из них как минимум 399 нулей, то результатом будет периодическая свертка, в которой каждый период идентичен корректному результатуна рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
