Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений (3-е изд., 2012) (1246138), страница 62
Текст из файла (страница 62)
4.13(б) изображена центральная часть спектра. Как и в одномерномслучае, положения нулей спектра обратно пропорциональны значениям T и Z.Так, чем больше значения T и Z, тем более «сжатым» будет выглядеть спектр,и наоборот.■4.5.3. Двумерная дискретизация и двумерная теорема отсчетовАналогично одномерному случаю двумерная дискретизация может быть описана с помощью следующей функции дискретизации (двумерной последовательности импульсов):sΔT ΔZ (t , z ) =∞∞∑ ∑ δ(t − mΔT , z − nΔZ ) ,(4.5-9)m=−∞ n =−∞где ΔT и ΔZ — промежутки (шаги) между отсчетами по осям t и z непрерывнойфункции f(t, z). Выражение (4.5-9) описывает набор периодически расположенных импульсов, продолжающихся в бесконечность по обеим осям (рис.
4.14).Как и в одномерном случае, иллюстрированном рис. 4.5, умножение f(t, z)на sΔTΔZ (t, z) дает в результате дискретизованную функцию.Говорят, что f(t, z) является функцией с ограниченной полосой частот, если ееФурье-образ равен 0 вне некоторого прямоугольника, заданного интервалами[–μmax, μmax] и [–vmax, vmax], т. е.а б|F (μ, ν)|ATZf(t, z)TtT/2Рис. 4.13.ZAZ/ 2zμν(а) Двумерная функция и (б) центральная часть спектра (не в масштабе). Параллелепипед более вытянут вдоль оси t, поэтому его спектрболее сжат вдоль оси μ.
Сравните с рис. 4.44.5. Расширение на функции двух переменных275sΔTΔZ (t, z)......tz...Рис. 4.14.ΔZΔT...Двумерная бесконечная последовательность импульсовF (μ,v ) = 0 для μ ≥ μmax и v ≥ vmax .(4.5-10)Двумерная теорема отсчетов утверждает, что непрерывная функция с ограниченной полосой частот f(t, z) может быть точно восстановлена из набора своихотсчетов, если шаги дискретизации удовлетворяют следующим неравенствам:иΔT <12μmax(4.5-11)ΔZ <1,2vmax(4.5-12)или, выражая результат в терминах частоты дискретизации, еслии1> 2μmaxΔT(4.5-13)1> 2vmax .ΔZ(4.5-14)Другими словами, если двумерная непрерывная функция с ограниченной полосой частот представляется набором своих отсчетов, сделанных с частотой, превышающей удвоенную верхнюю частоту сигнала функции по каждому из направлений μ и v, то потери информации не происходит.а бКонтур идеальногонизкочастотногофильтраvμ maxvmaxμРис. 4.15.vμДвумерное преобразование Фурье функции с ограниченной полосойчастот: (а) передискретизация, (б) субдискретизация276Глава 4.
Фильтрация в частотной областиНа рис. 4.15 представлен двумерный эквивалент рис. 4.6(б) и (г). Идеальный двумерный прямоугольный фильтр имеет вид, показанный на рис. 4.13(а).Обведенный пунктиром прямоугольник на рис. 4.15(а) показывает границыфильтра, требуемые для выделения одного периода преобразования, чтобывосстановить функцию с ограниченной полосой частот по своим отсчетам (каки в разделе 4.3.3). Из раздела 4.3.4 известно, что если функция является субдискретизованной, то периоды ее Фурье-образа накладываются и выделениеодного периода становится невозможным, что иллюстрируется на рис. 4.15(б).Результатом таких условий будет наложение спектров.4.5.4.
Наложение спектров при преобразовании изображенийВ данном разделе мы расширим концепции наложения (спектров) применительно к задаче обработки изображений и рассмотрим некоторые аспекты, связанные с дискретизацией и передискретизацией (повторной дискретизацией).Расширение по сравнению с одномерным наложениемКак и в одномерном случае, непрерывная функция f(t, z) двух переменных t и zможет иметь ограниченную полосу частот, вообще говоря, только в случае, еслиона продолжается бесконечно в обоих координатных направлениях.
Само ограничение длительности функции вызывает искажение частотных компонент,продолжающееся в частотной области в бесконечность, как это объяснялосьв разделе 4.3.4. Поскольку мы не можем дискретизовать функцию на бесконечности, наложение спектров всегда присутствует в цифровых изображениях, каки в дискретизованных одномерных функциях.Имеются два принципиальных проявления наложения спектров в изображениях: пространственное и временнóе. Пространственное наложение спектров,как обсуждалось в разделе 4.3.4, возникает из-за субдискретизации. Временнóеналожение спектров связано с интервалом времени между кадрами изображений в видеопоследовательности. Одним из наиболее известных примероввременнóго наложения является эффект «колеса повозки», при котором колесосо спицами на видеопоследовательности (например в кино) выглядит как бывращающимся назад.
Это вызывается тем, что частота кадров слишком низкапо сравнению со скоростью вращения колеса в видеопоследовательности.В данной главе наше внимание будет уделено пространственному наложению. Основной интерес к пространственному наложению спектров на изображениях вызывается появлением таких артефактов, как рубчатость линейныхдеталей, ложные блики, муар, которые не имелись на исходном изображении.Артефакты, вызываемые наложением при работе с изображениями, иллюстрируются следующим примером.Пример 4.6. Наложение спектров при работе с изображениями.■ Вообразим систему регистрации изображений, являющуюся идеальной в томсмысле, что она не добавляет шумов и возвращает изображение, точно повторяющее то, которое она «видит», однако допустимый размер изображения в данной системе фиксирован и составляет 96×96 пикселей.
Если подать ей на входизображение шахматной доски, то она сможет разрешить рисунки размерамидо 96×96 клеток, когда каждая клетка занимает один пиксель; в этом случае4.5. Расширение на функции двух переменных277каждый пиксель результирующего изображения соответствует одному квадратуисходного рисунка. Интересно проверить, что произойдет, если детали рисунка(клетки шахматной доски) составят размер меньше одного пикселя, т. е. когдана вход системы подается изображение, в котором больше, чем 96×96 клеток.Данный пример не следует интерпретировать как нереальный. Дискретизация«идеальной» сцены в условиях отсутствия шумов и искажений является обычным случаем конвертирования компьютерных моделей и векторных рисунковв дискретное изображение.На рис.
4.16(а) и (б) показаны результаты дискретизации шахматной доски,клетки которой отображаются квадратами размерами 16×16 и 6×6 пикселей соответственно. Данные результаты выглядят, как и можно было ожидать. Однако если размеры одной клетки оказываются слегка меньше одного пикселя,возникают сильные артефакты наложения, как это показано на рис. 4.16(в). Наконец, уменьшая размер клетки слегка меньше 0,5×0,5 пикселя, получим изображение, представленное на рис. 4.16(г).
В этом случае результат с наложениемвыглядит как нормальный рисунок шахматной доски. Фактически результатоказывается таким же, как если дискретизовать шахматную доску с клеткамиразмерами 12×12 пикселей. Последнее изображение является хорошим примером того, что наложение спектров может дать результат, который окажется■весьма обманчивым.Артефакты наложения могут быть уменьшены при помощи небольшой расфокусировки дискретизуемой сцены так, чтобы ослабить высокие частоты.Как объяснялось в разделе 4.3.4, сглаживающая фильтрация должна выполняться самой первой операцией, до дискретизации изображения. После дискретизации уже не существует способа или программного алгоритма, позволяющеа бв гРис.
4.16.Наложение спектров при работе с изображениями. На (а) и (б) размерстороны клетки 16 и 6 пикселей и артефакты наложения неощутимы.На (в) и (г) размеры клеток составляют 0,9174 и 0,4798 пикселя соответственно и на результате видны значительные артефакты наложения. Заметим, что (г) «имитирует» нормальное изображение278Глава 4.
Фильтрация в частотной областиго уменьшить артефакты наложения, вызванные нарушением условия теоремыотсчетов. Большинство коммерческих пакетов и программ обработки изображений включают операцию, называемую «устранение артефактов наложения»(в оригинале «anti-aliasing» — прим. перев.). Однако, как показано в примерах 4.7и 4.8, данный термин имеет отношение к сглаживанию цифрового изображенияс целью уменьшения дополнительных искажений, вызываемых передискретизацией; он не имеет отношения к уменьшению артефактов наложения, ужеимеющихся на исходном дискретизованном изображении. Значительное числопромышленных цифровых камер имеют надлежащий сглаживающий фильтр,либо встроенный в объектив, либо находящийся на самой поверхности сенсоров.
По этой причине затруднительно иллюстрировать артефакты наложенияна изображениях, полученных при помощи таких камер.Интерполяция и передискретизация изображенияКак и в одномерном случае, идеальное восстановление по отсчетам функции изображения с ограниченной полосой частот требует двумерной свертки(в пространственной области) с функцией sinc. Как пояснялось в разделе 4.3.5,такое теоретически идеальное восстановление требует интерполяции, в которой используется бесконечный ряд суммирования, что на практике заставляетприбегать к приближениям.
Одним из наиболее общих приложений двумернойинтерполяции является задача изменения размеров изображения (увеличенияи уменьшения). Увеличение предполагает взятие более частых отсчетов, поэтому может рассматриваться как избыточная дискретизация, а уменьшение (более редкие отсчеты) — как субдискретизация. Основная разница между этимидвумя операциями и концепцией дискретизации, обсуждавшейся в предыдущем разделе, заключается в том, что увеличение и уменьшение применяютсяпо отношению к уже дискретизованным изображениям.Интерполяция рассматривалась в разделе 2.4.4. Там наш интерес сводилсяк иллюстрации работы различных видов интерполяции — билинейной, бикубической и по ближайшему соседу. В настоящем разделе приводятся некоторыедополнительные примеры, в которых акцент сделан на результатах дискретизации и сглаживания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
