Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Аналогичным образом имеются три угловыхположения и три угловых составляющих скорости, связанных с вращательнымдвижением. Переменные состояния перечислены в табл. 3.1.Переменные состояния схематически представлены на рис. 3.1. В системекоординат на север — на восток — вниз положения МБЛА (pn, pe, pd) определяется относительно инерциальной системы координат. Иногда для обозначениявысоты будет использоваться выражение h = pd.
Линейные скорости (u, v, w)и угловые скорости МБЛА (p, q, r) определяются относительно связанной42Глава 3. Кинематика и динамикаТаблица 3.1.ОбозначениеОписаниеpnpepdИнерциальная северная координата положения МБЛА, измеренная вдоль ib в F iИнерциальная восточная координата положения МБЛА, измеренная вдоль ji в F iКоордината МБЛА по оси, направленной к центру Земли в инерциальной системекоординат (отрицательная высота), измеренная вдоль ki в F iСкорость в связанной системе, измеренная вдоль ib в F bСкорость в связанной системе, измеренная вдоль jb в F bСкорость в связанной системе, измеренная вдоль kb в F bУгол крена, заданный относительно F u2Угол тангажа, заданный относительно F u1Путевой угол (угол рысканья), заданный относительно F uСкорость крена, измеренная вдоль ib в F bСкорость тангажа, измеренная вдоль jb в F bСкорость рысканья, измеренная вдоль kb в F buvwцишpqrОсь кренаОсь тангажаОсь рысканьяРис.
3.1. Определение координат перемещениясистемы координат. Углы Эйлера — угол крена ц, угол тангажа и и курсовой(рыскания) угол ш определяются относительно системы координат транспортного средства-2, системы координат транспортного средства-1 и системы координат транспортного средства соответственно.Поскольку эйлеровы углы заданы относительно инерциальных систем координат, нельзя сказать, что угловые скорости (p, q, r) просто являются производными по времени углов положения в пространстве (ц, и, ш).& , q = q& и r = y& только в случае, когдаВ следующем разделе показано, что p = jf = q = 0. В общем случае угловые скорости p, q и r являются функциями произ& , q& и y,& а также угловводных по времени углов пространственного положения, jf и q. Оставшаяся часть этой главы посвящена составлению уравнений движения, соответствующих каждому из состояний, перечисленных в табл.
3.1.3.2. Кинематика433.2. ÊèíåìàòèêàСкорость поступательного движения МБЛА обычно выражается в терминахкомпонент скорости вдоль каждой оси в связанной системе координат. Компоненты u, v и w соответствуют инерциальной скорости летательного аппарата, спроектированной на оси ib, jb и kb, соответственно. С другой стороны, положение МБЛА при прямолинейном движении обычно измеряют и выражаютв инерциальной системе координат. Для установления связи между скоростьюпрямолинейного движения и положением требуются дифференциальное ивращательное преобразованиеæpdç npedt ç pè dö÷ = R u æç uv ö÷ = (R b ) T æç uv ö÷,ubç ÷÷çw÷èwøè øøкоторые с использованием (2.5) даютæ p& nç p&ç eè p& dö æç c q c y÷= c s÷ çç q yø è -s qs f s q cy - cf s ys f s q s y + cf cys f cqcf s q cy + s f s ycf s q s y - s f cycf cqö æu ö÷ç ÷÷ ç v ÷,÷ èwøø(3.1)где использовались условное обозначение cx @ cos x и sx @ sin x.
Эта кинематическая связь состоит в том, что она связывает производные положения со скоростью: силы или ускорения не учитываются.Связь между угловыми положениями f, q, и y и угловыми скоростями p, q иr также усложняется из-за того, что эти величины определяются в разных системах координат. Угловые скорости определяются в связанной системе координатF b . Угловые положения же (углы Эйлера) определяются в трех различных системах координат: угол крена f представляет собой угол поворота из F u2 в F bвокруг оси iv2 = ib; угол тангажа q является углом поворота из F u1 в F u2 вокругоси jv1 = jv2; а угол рысканья ш — угол поворота из F u в F u1 вокруг оси kv = kv1.Угловые скорости в связанной системе координат могут быть выраженычерез производные эйлеровых углов при условии, что будут выполнены следующие надлежащие вращательные преобразования:æ p ö æ &föæ0 ööç q ÷ = ç 0 ÷ + R b (f) ç q& ÷ + R b (f)R u 2 (q) æç 00÷=u2u2u1ç ÷ çç 0 ÷÷çç÷& ÷øèyè0 øèrø è ø&öæf00 ö æ 0 ö æ100 ö æ cos q 0 - sin q ö æ 0 öç ÷ æ1= ç 0 ÷ + ç 0 cos f sin f ÷ ç q& ÷ + ç 0 cos f sin f ÷ ç 010 ÷ç0÷ =& ÷øç 0 ÷ çè 0 - sin f cos f÷ø çè 0 ÷ø çè 0 - sin f cos f÷ø çè sin q 0 cos q ÷ø çè yè ø&æ1- sin q ö æç f ö÷0ç÷= 0 cos f sin f cos q ç q& ÷.ç÷ &è 0 - sin f cos f cos q ø çè y ÷ø(3.2)44Глава 3.
Кинематика и динамикаОбращение этого выражения дает&öæfç & ÷ æç 1 sin f tan q cos f tan q ö÷ æç p ö÷qcos f- sin fç q ÷ = ç0÷ç ÷&÷çy0sinsecqcosfsecqføèrøè ø è(3.3)и выражает производные трех состояний угловых положений через угловыеположения f и q и угловые скорости летательного аппарата p, q и r.3.3. Äèíàìèêà íåèçìåíÿåìûõ ñèñòåìДля того чтобы вывести динамические уравнения движения МБЛА, применяем второй закон Ньютона сначала к поступательным степеням свободы, а затем к вращательным степеням свободы. Законы Ньютона выполняются тольков инерциальных системах координат, т.е. движение представляющего интерестела должно быть привязано к фиксированной (т.e. инерциальной) системеотсчета, чем в нашем случае является Земля.
Представим плоскую модельЗемли, которая подходит для малых и миниатюрных воздушных аппаратов.Даже если движение привязано к фиксированной системе координат, оно может быть выражено с помощью компонент вектора, связанных с другими системами, такими как связанная система координат.Применим это к вектору скорости Vg МБЛА, который чаще всего выражается в связанной системе координат как V gb = (u, v, w)Т. V gb является скоростью МБЛА относительно Земли, выраженной в связанной системе отсчета.3.3.1.
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèåВторой закон Ньютона применительно к телу, совершающему поступательноедвижение, может быть записан в видеmгде m является массой МБЛА1,d Vgdt i= f,(3.4)dпредставляет собой производную по времеdt iни в инерциальной системе координат, а f — сумма всех внешних сил, действующих на МБЛА. К внешним силам относится сила гравитации, аэродинамические силы и движущие силы.1 Масса обозначена прямым начертанием m, чтобы ее можно было различать от m, которая будет введена как сумма моментов вокруг оси jb связанной системы координат.3.3. Динамика неизменяемых систем45Производная скорости, взятая в инерциальной системе, может быть записана через производную в связанной системе координат и угловую скорость всоответствии с уравнением (2.17) в видеd Vgdt i=d Vgdt b+ wb / i ´ V g ,(3.5)где wb/i — угловая скорость МБЛА относительно инерциальной системы.
Сложение (3.4) и (3.5) дает альтернативное представление второго закона Ньютона с дифференцированием, выполненным в связанной системе координат:æ d Vg+ wb / i ´ V gm ççè dt bö÷÷ = f .øВ случае маневрирующего самолета проще всего применить второй законНьютона, выражая силы и скорости в связанной системе координат:æ d V gb+ wbb / i ´ V gbmçç dt bèö÷ = f b,÷ø(3.6)где V gb = (u, v, w)т, а wbb / i = (p, q, r)T. Вектор fb представляет сумму приложенных внешних сил и определяется через его компоненты в связанной системе fb @ (fx, fy, fz)T.d V gbпредставляет скорость изменения скорости, выраженнойВыражениеdt bв связанной системе координат, с точки зрения наблюдателя, находящегося надвижущемся теле.
Поскольку u, v и w являются мгновенными проекциями V gbна оси ib, jb и kb, отсюда следует, чтоd V gbdt bæ u& ö= ç v& ÷.ç w& ÷è øРасписывая подробно векторное произведение в (3.6) и перегруппируячлены, получимæ u& ö æç rv - qw ö÷ 1 æç f x ö÷ç v& ÷ = pw - ru +(3.7)ç f y ÷.÷ç w& ÷ çè ø è qu - pv ø m çè f z ÷ø3.3.2. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèåДля вращательного движения второй закон Ньютона утверждает, чтоdh= m,dt iгде h является вращательным моментом в векторной форме, а m — суммойвсех приложенных извне моментов.
Это выражение справедливо, если моменты46Глава 3. Кинематика и динамикасуммируются вокруг центра масс МБЛА. Производная вращательного момента,взятая в инерциальной системе, может быть выражена с помощью (2.17) какdhdh=+ wb / i ´ h = m.dt idt bКак и в случае поступательного движения, удобней всего выразить этоуравнение в связанной системе координат, что даетdhb+ wbb / i ´ h b = m b .dt b(3.8)Для абсолютно твердого тела вращательный момент определяется как произведение матрицы инерции J и вектора угловой скорости: hb @ Jwbb / i , где J дается выражениемæ - ( y 2 + z 2 )d mç òJ =ç-ò xy d mçç-ò xzd mè-ò-ò xy d m(x 2+ö÷ æ Jx÷ @ ç -J xy-ò yzd m÷ çç-ò ( x 2 + y 2 ) d m ÷ è -J xzø-ò xzd mz 2 )d m-ò yzd m-J xyJy-J yz-J xz-J yzJzö÷÷. (3.9)÷øДиагональные элементы J называют моментами инерции, а внедиагональные элементы называют центробежным моментом инерции.
Моменты инерцииявляются мерами тенденции самолета препятствовать ускорению вокруг определенных осей вращения. Например, Jx может концептуально рассматриватьсякак произведение массы каждого элемента, составляющего самолет (dm), наквадрат расстояния центра масс элемента от оси x связанной системы координат (y2 + z2) и их суммирования. Чем больше Jx по величине, тем больше самолет противодействует угловому ускорению вокруг оси x. Эта линия рассуждений, безусловно, также применима к моментам инерции Jy и Jz.
На практикематрицу инерции не вычисляют с помощью (3.9). Вместо этого ее численнорассчитывают из массовых характеристик, используя модели САПР, или ееопределяют экспериментально, используя для этого измерения аппаратурой,аналогичной бифилярному маятнику [17,18].Поскольку интегралы в (3.9) вычисляются относительно осей ib, jb и kb, зафиксированных в (твердом) теле, то для наблюдателя в связанной системе коdJординат J является константой, поэтому= 0. Взяв производные и подстаdt bвив их в уравнение (3.8), получимJВыражениеd wbb / idt bd wbb / idt b+ wbb / i ´ (Jwbb / i ) = m b .(3.10)представляет скорость изменения угловой скорости, вы-раженной в связанной системе отсчета для наблюдателя, находящегося в дви-473.3. Динамика неизменяемых системжущемся теле.
Поскольку p, q и r являются мгновенными проекциями wbb / i наоси ib, jb и kb, отсюда следует, что& bb / i =wd wbb / idt bæ p& ö= ç q& ÷.ç ÷è r& øПерегруппируя уравнение (3.10), получим& bb / i = J-1 [- wbb / i ´ (Jwbb / i ) + m b ].w(3.11)Летательные аппараты часто симметричны относительно плоскости, натянутой на оси ib и kb. В этом случае Jxy = Jyz = 0, что подразумеваетæ JxçJ =ç 0ç -Jè xz0Jy0-J xz0Jzö÷÷÷.øПри таком предположении симметрии обращение J дается выражениемJ -10J y J xzæ J yJzç20JJJ0xzxzçç J xz J y0JJyxadj(J) è==2det(J)J x J y J z - J xz J yö æJ÷ ç z÷ ç G÷ø =ç 0ççç J xzçè G01Jy0ö÷÷÷÷,÷Jx ÷÷G øJ xzG0где G @ J x J z - J xz2 .Задавая компоненты приложенных извне моментов вокруг осей ib, jb и kb ввиде m b @ (l, m, n)Т, можно переписать (3.11) в виде компонент какæ p& öç q& ÷ç ÷è r& øæ Jzçç Gç=ç 0çç J xzçè Gæ Jzçç Gç=ç 0çç J xzçè G01Jy001Jy0ö÷÷÷÷÷Jx ÷÷G øJ xzG0ö÷÷÷÷÷Jx ÷÷G øJ xzG0éæ 0êç -rêç qëèr -q ö æ J xç0p ÷ç 0÷ç- p 0 ø è -J xz0Jy0-J xz0Jzö æ p ö æ l öù÷ ç ÷ ç ÷ú=÷÷ ç q ÷ + ç mn ÷úø è r ø è øûéæJ xz pq + (J y - J z )qrö æ l öùêç J xz (r 2 - p 2 ) + (J z - J x ) pr ÷ + ç m ÷ú =÷ ç n ÷úêçç÷ è ø(J x - J y ) pq - J xz qrøûëèæ G1 pq - G 2 qr + G 3 l + G4 n öç÷1 ÷m ,= ç G 5 pr - G 6 ( p 2 - r 2 ) +çJy ÷ç G pq - G qr + G l + G n ÷481è 7ø(3.12)48Глава 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
