Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Кроме того,информация на карте также дается в инерциальной системе отсчета.Одна система координат преобразуется в другую с помощью двух базовыхопераций: поворота и сдвига. В разделе 2.1 приводятся описание матриц вращения и их использование в преобразовании систем координат. В разделе 2.2описываются специфические системы координат, используемые для миниатюрных летательных систем. В разделе 2.3 дается определение воздушной скорости, скорости относительно Земли и скорости ветра, а также демонстрируемсвязь между этими величинами.
Это приводит к более детальному описанию вразделе 2.4 навигационного треугольника скоростей. В разделе 2.5 выводитсявыражение для дифференцирования вектора во вращающейся и перемещающейся системе координат.2.1. Матрицы вращения232.1. Ìàòðèöû âðàùåíèÿРассмотрим две системы координат,представленных на рис.
2.1. Вектор pможет быть выражен в системе координат F0 (заданной (i0, j0, k0)) и в системе координат F1 (заданной (i1, j1,k1)). В системе координат F0 имеемp = p x0 i 0 + p y0 j 0 + p z0 k 0 .Альтернативно этому в системеотсчета F1 имеемp=p 1x i 1+p 1y j 1+Рис. 2.1. Вращение в двумерном пространствеp 1z k 1 .Системы векторов (i0, j0, k0) и (i1, j1, k1) по отдельности взаимно перпендикулярны системе единичных базисных векторов.Приравнивая оба эти выражения друг другу, получимp 1x i 1 + p 1y j 1 + p 1z k 1 = p x0 i 0 + p 0y j 0 + p z0 k 0 .Взяв скалярное произведение обеих сторон с i1, j1 и k1 соответственно исформировав полученные результаты в матричном виде, получим10æ p 1x ö æç i × iç÷p 1 @ ç p 1y ÷ = ç j 1 × i 0ç p 1 ÷ çç 1 0è z ø èk ×ii1 × j 0j1 × j 0k1 × j0i 1 × k 0 ö÷ æ p x0 öç ÷j 1 × k 0 ÷ ç p y0 ÷÷ç 0÷k 1 × k 0 ÷ è pz øøИз геометрии на рис.
2.1 получимp 1 = R 10 p 0 ,(2.1)гдеæ cos q sin q 0 öR 10 @ ç - sin q cos q 0 ÷.ç 001 ÷øèСимвол R 10 используется для обозначения поворота из системы координатв систему координат F1.Продолжая аналогичным образом, поворот системы координат по часовойстрелке вокруг оси y даетF0æ cos q 0 - sin q öR 10 @ ç 010 ÷,ç sin q 0 cos q ÷èø24Глава 2.
Системы координати поворот по часовой стрелки системы координат вокруг оси x дает00 öæ1R 10 @ ç 0 cos q sin q ÷.ç 0 - sin q cos q ÷èøКак отмечалось в [7], отрицательный знак у синусов появляется над линией с одними нулями и единицами.Матрица R 10 в приведенных выше уравнениях является примером болееобщего класса ортонормальных матриц поворота, которые имеют следующиесвойства:P.1. (R ab ) -1 = (R ab )T = R ba ,P.2. R bc R ab = R ac ,P.3.
det(R ab ) = 1,где det(×) является детерминантом матрицы.При выводе уравнения (2.1) следуетотметить, что вектор p остается постоянным и что новая система координатF1 была получена поворотом системыF0 по часовой стрелке на угол q. Альтернативно этому матрицы вращений могут быть использованы для поворотавектора на заданный угол в неподвижной системе отсчета. В качестве примера рассмотрим поворот при вращениипротив часовой стрелки вектора p в системе координат F0 вокруг оси k0 на уголq, как это показано на рис. 2.2.Рис. 2.2.
Поворот p вокруг оси k0Предположив, что p и q находятся вплоскости i0-j0, можно записать компоненты p и q в видеæ p cos(q + f) ö æ p cos q cos f - p sin q sin föp = ç p sin(q + f) ÷ = ç p sin q cos f - p cos q sin f÷÷÷ çç00øø èè(2.2)æ q cos föq = ç q sin f ÷,÷çè 0 ø(2.3)игде p @ |p| = q @ |q|.2.2. Системы координат МБЛА25Выражая уравнение (2.2) в терминах (2.3), получимæ cos q - sin q 0 öp = ç sin q cos q 0 ÷ q = (R 10 ) T qç 001 ÷øèиq = R 10 p.В этом случае матрица вращения R 10 может быть интерпретирована какповорот против часовой стрелки вектора p на угол q на место нового вектора qв той же системе координат.
Заметьте, что поворот вектора по часовой стрелке(в этом случае из q в p) можно получить с помощью (R 10 )T. Эта интерпретацияотличается от нашего первоначального использования матрицы вращения дляпреобразования неподвижного вектора p из его представления в системе координат F0 в его представление в системе координат F1, где F1 была получена изF0 поворотом по часовой стрелке.2.2. Ñèñòåìû êîîðäèíàò ÌÁËÀЧтобы получить и понять динамическое поведение МБЛА, потребуется несколько систем координат. В этом разделе определены и описаны следующиесистемы координат: инерциальная система координат, система координат летательного аппарата, система координат летательного аппарата-1, система координат летательного аппарата-2, связанная система координат, полусвязаннаясистема координат и скоростная система координат.
Инерциальная системакоординат и система координат летательного аппарата связаны между собойсдвигом, тогда как остальные системы координат — поворотами. Углами, определяющими относительную ориентацию летательного аппарата для системы координат летательного аппарата-1, летательного аппарата-2 и связанной системыкоординат, являются угол крена, угол тангажа и угол рыскания, которые описывают высоту самолета. Эти углы общеизвестны как углы Эйлера. Углы поворота,которые определяют системы координат относительной ориентации тела, егоустойчивость и скорость ветра, являются углом атаки и углом бокового увода.На протяжении всей книги предполагается, что Земля плоская и что она не вращающаяся, что вполне обоснованно для МБЛА.2.2.1. Èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò F 1Инерциальная система координат связана с Землей с началом отсчета в заданном исходном положении.
Как показано на рис. 2.3, единичный вектор iiнаправлен на север, ji направлен на восток, а ki направлен к центру Земли26Глава 2. Системы координат(Север)(Восток)(В центр Земли)Рис. 2.3. Инерциальная система координат. Ось iiуказывает на север, ось ji — на восток, а ось ki нацелена в центр Землиили вниз. Эту систему координатиногда называют системой отсчета север-восток-вниз по вертикали (СВВ). Обычно направлениена север обозначают инерциальным x, на восток — инерциальным у, а направление вниз —инерциальным z.2.2.2. Ñèñòåìà êîîðäèíàò ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà F uНачало отсчета этой системы координат находится в центре тяжести МБЛА.Однако оси системы F u совпадают с осями инерциальной системы координат F i .
Другими словами, единичный вектор iu направлен на север, ju направлен на восток, а ось ku направлена в центр Земли, как показано на рис. 2.4.(Север)(Север)(Восток)(Восток)(В центр Земли)(В центр Земли)Рис. 2.4. Система координат летательного аппарата. Ось iu нацелена на север, ось ju — навосток, а ось ku направлена к центру Земли2.2.3. Ñèñòåìà êîîðäèíàò ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà F u1Начало отсчета системы координат летательного аппарата-1 идентично системе координат летательного аппарата: оно находится в центре тяжести самолета. Однако система F u1 повернута по часовой стрелке вокруг оси ku на путевой угол (или угол рысканья) ш. При отсутствии дополнительных поворотовось iu1 направлена к носу самолета, ось ju1 — на правое крыло, а ku1 совпадаетс ku и направлена к Земле. Система координат летательного аппарата-1 показана на рис.
2.5.Преобразование из F u в F u1 дается выражениемp u1 = R uu1 (y) p u ,2.2. Системы координат МБЛА27(север)гдеæ cos yR uu1 (y) = ç - sin yçè 0sin y 0 öcos y 0 ÷.÷01øРис. 2.5. Система координат летательного аппарата-1. Осьiu1 направлена в носовую часть самолета, ось ju1 нацеленана правое крыло, а ось ku1 направлена к центру Земли2.2.4.
Ñèñòåìà êîîðäèíàò ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà F u2Начало отсчета системы координат-2 снова находится в центре тяжести летательного аппарата и получается поворотом системы координат летательногоаппарата-1 по часовой стрелке вокруг оси ju1 на угол тангажа и. Единичныйвектор iu2 указывает на нос самолета, ось ju2 указывает на правое крыло, а осьku2 указывает на фюзеляж самолета, как это показано на рис. 2.6.Рис. 2.6. Система координат летательного аппарата-2. Ось iv2 указывает на нос самолета,ось jv2 указывает на правое крыло, а ось kv2 указывает на фюзеляжПреобразование из системы координат F u1 в F u2 дается выражениемu2 (q) p u1 ,p u 2 = R u1гдеæ cos q 0 - sin q öu 2 (q) = ç 0R u110 ÷.ç sin q 0 cos q ÷èø28Глава 2. Системы координат2.2.5.
Ñâÿçàííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò F bСвязанная система координат получается поворотом системы координат летательного аппарата-2 по часовой стрелкевокруг оси iu2 на угол крена ц. Поэтомуначало отсчета этой системы находитсяв центре тяжести; ось ib направлена кносу самолета, ось jb направлена направое крыло, а ось kb направлена нафюзеляж. Связанная система координатприведена на рис. 2.7. Направления,Рис. 2.7.
Связанная система координат.указываемые единичными векторами ib,Ось ib направлена к носу самолета, ось jb —bjb и kb, иногда называют направлениямина правое крыло, а ось k — к фюзеляжутела x, y и z.Преобразование системы координатF v2 в систему координат F b дается выражениемp b = R ub 2 (f) p u 2 ,гдеæ100 öR ub 2 (f) = ç 0 cos f sin f ÷.ç÷è 0 - sin f cos føПреобразование системы координат летательного аппарата в связаннуюсистему координат задается выражениемR ub (f, q, y) = R ub 2 (f)R uu12 (q)R uu1 (y) =æ100 ö æ cos q 0 - sin q ö æç cos y= ç 0 cos f sin f ÷ ç 010 ÷ - sin yç÷ ç sin q 0 cos q ÷ ç0sinfcosføè 0èøècq cyæç= ç s f s q cy - cf s yç cf s q cy - s f s yècq s ys f s q s y + cf cycf s q s y - s f cy(2.4)sin y 0 öcos y 0 ÷ =÷01ø-s q ö÷s f c q ÷,c f c q ÷ø(2.5)где cf @ cos f, а s f @ sin f. Углы f, q и y обычно называют эйлеровыми углами.Углы Эйлера используются, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
