Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Взяв от обеих частей уравнения (2.9)квадрат нормы, получим следующее выражение:V g2 - 2V gæ cos c cos g öç sin c cos g ÷÷çè - sin g øTæ wnçwç eè wdö÷ + V 2 - V 2 = 0,wa÷ø(2.10)где V w = V w = w n2 + w e2 + w d2 является скоростью ветра. Если даны c, g и компоненты скорости ветра, уравнение (2.10) может быть разрешено для Va, еслиизвестно Vg, или относительно Vg, если известно Va, в зависимости от того, чтонеобходимо. При разрешении квадратичного уравнения для Vg берется положительное значение корня, поскольку Vg должно быть положительным.Когда известны Va и Vg, третья строка уравнения (2.9) может быть разрешена относительно гa:æ V g sin g + w d ö÷÷.(2.11)g a = sin -1 ççVaèøЧтобы получить выражение для ш, умножьте обе части уравнения (2.9) на(-sin ч, cos ч, 0) и получите выражениеæ wn0 = V a cos g a (- sin c cos y + cos c sin y) + ççè weö÷÷øTæ - sin c ö÷÷.ççè cos c øРешая его относительно ш, получимy =c-æ1 æ wnçç V a cos çè w eèsin -1 çö÷÷øTæ - sin c ö ÷ö÷÷ .ççè cos c ø ÷ø(2.12)Используя уравнения (2.10)—(2.12), можно вычислить ш и g при условии,что известны компоненты скорости ветра и либо Vg, либо Va.
Аналогичные выражения, позволяют определить c и g из ш и ga, могут быть полученыиз (2.9).Поскольку ветер обычно оказывает важное влияние на летные характеристики небольших беспилотных летательных аппаратов, постараемся тщательноучитывать влияние ветра на протяжении всего учебника. Однако если влиянием2.5. Дифференцирование вектора37ветра пренебречь, то это приведет к важным упрощениям.
Например, когдаVw = 0, тогда получим Va = Vg, u = ur, v = vr, w = wr, y = c (полагая также, чтов = 0), а g = ga.2.5. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðàВ процессе вывода уравнений движениядля МБЛА важно рассчитывать производные векторов в системах отсчета, которые двигаются относительно другдруга. Предположим, что даны две системы координат, F i и F b , как показанона рис. 2.13. Например, F i может бытьинерциальной системой, а F b — связанной системой МБЛА. Предположим,что вектор p движется в системе координат F b и что F b вращается (но неперемещается по прямой линии) отноРис.
2.13. Вектор во вращающейся системесительно F i . Наша цель состоит в том, координатчтобы найти производную по времениp, если смотреть из системы координатF i . Для этого обозначим угловую скорость системы координат F b в F i какwb/i и выразим вектор p через его векторные компоненты:p = px ib + py jb + pz kb.(2.13)Производная по времени p относительно системы координат F i можетбыть найдена дифференцированием уравнения (2.13):dd bd bd bp = p& x i b + p& y j b + p& z k b + p xi + pyj + pzk ,dt idt idt idt i(2.14)где d/dti представляет собой символ операции дифференцирования по времениотносительно инерциальной системы координат.
Первые три члена в правойчасти уравнения (2.14) представляют изменение p, которое видит наблюдательиз вращающейся системы F b . Таким образом, дифференцирование выполняется в движущейся системе координат. Обозначим этот член частной производной какdp = p& x i b + p& y j b + p& z k b .dt b(2.15)38Глава 2. Системы координатСледующие три члена в правой части уравнения (2.14) представляют изменение p, вызванное вращением системы F b относительно F i . Полагая, что ib,jb и kb зафиксированы в системе координат F b , их производные можно вычислить, как это показано в [9]:&i b = wb / i ´ i b ,&j b = wb / i ´ j b ,k& b = wb / i ´ k b .Перепишем последние три члена уравнения (2.14) в следующем виде:p x&i b + p y &j b + p z k& b = p x (wb / i ´ i b ) + p y (wb / i ´ j b ) + p z (wb / i ´ k b ) = wb / i ´ p.
(2.16)Суммируя результаты из уравнений (2.14), (2.15) и (2.16), получим требуемое соотношениеddp=p + wb / i ´ p,dt idt b(2.17)выражающее производную вектора p в системе координат F i через его изменения, которые можно наблюдать из системы координат F b и через относительное вращение этих двух систем отсчета. Воспользуемся этим соотношением при выводе уравнений движения для МБЛА в гл.
3.2.6. Êðàòêîå èçëîæåíèå ãëàâûВ этой главе введены системы координат, которые важны для описания ориентации МБЛА. Проиллюстрировано, как можно использовать матрицы вращения для преобразования координат в одной системе отсчета относительнокоординат в другой системе отсчета. Введены эйлеровы углы (y, q и f) каксредства для поворота координат из инерциальной системы в связанную систему. Также введены угол атаки б и угол бокового скольжения в для описанияотносительной ориентации связанной системы координат, полусвязанной системы и скоростной системы координат.
Понимание их ориентации важно длявывода уравнений движения и моделирования аэродинамических сил, задействованных при полете МБЛА. Введен навигационный треугольник скоростей иустановили связи между воздушной скоростью, скоростью относительно Земли, скоростью ветра, путевым, курсовым углом, углом наклона траектории полета и углом наклона траектории относительно воздушной массы в явномвиде. Получено также выражение для дифференцирования вектора во вращающейся системе отсчета.2.6.
Краткое изложение главы39Замечания и ссылкиИмеется много ссылок на системы координат и матрицы вращения. Особенно хороший обзор по матрицам вращения приводится в [10]. Обзоры попредставлениям положения летательного аппарата в воздухе можно найти в [8,11]. Определение различных систем координат летательных аппаратов дано в[4, 1, 7, 12]. Особенно хорошее объяснение приводится в [13].
Дифференцирование вектора обсуждается в большинстве учебников по механике, включая[14, 15, 16, 9].а) Корпус летательного аппаратаФюзеляж_I3Фюзеляж_I1Фюзеляж_I2Хвостовоеоперение_hКрыло_IФюзеляж_hХвостовоеоперение_Iб) Вид сбокуФюзеляж_wФюзеляж_I1Фюзеляж_I2Крыло_IФюзеляж_I3Крыло_wХвостовоеоперение_IХвостовое оперение_wв) Вид сверхуРис. 2.14. Технические характеристики для анимации летательного аппарата, предназначенные для опытно-конструкторской разработки40Глава 2. Системы координат2.7.
Îïûòíî-êîíñòðóêòîðñêàÿ ðàçðàáîòêàЦелью этого задания является создание трехмерного графического представления МБЛА, которое правильно совершает поворот и сдвиг в требуемую конфигурацию. Создание анимации в модели Simulink описано в приложении C,а файлы с примерами содержатся на веб-сайте этого учебника.2.1. Прочтите приложение C и внимательно изучите анимацию летательного аппарата, используя вершины и поверхности, приведенные на веб-сайтеучебника.2.2. Разработайте анимационный чертеж летательного аппарата, показанный на рис.
2.14.2.3. Используя модель Simulink, подобную той, что приведена на веб-сайте, проверьте, чтобы летательный аппарат в анимации правильно поворачивался и перемещался.2.4. В файле анимации измените порядок поворота и перемещения по прямой, чтобы летательный аппарат сначала совершал перемещение по прямой, азатем поворот, и проследите результат.ÃËÀÂÀ 3ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ È ÄÈÍÀÌÈÊÀПервым шагом в разработке стратегий навигации и управления для МБЛА является разработка соответствующих динамических моделей. Вывод нелинейных уравнений движения для МБЛА выполнен в гл. 3 и 4.
В гл. 5 линеаризованы уравнения движения для создания передаточной функции и моделейпространственных состояний, пригодных для проектирования управления.В данной главе также были получены выражения для кинематики и динамики абсолютно твердого тела. Для этого использовались законы Ньютона,например f = mv& для случая поступательного движения. В этой главе былиустановлены связи между положениями и скоростями (кинематика) и связимежду силами и их моментами, а также с количеством движения (динамика).В гл. 4 было дано определение задействованных сил и моментов сил, в частности по аэродинамическим силам и моментам сил. В гл. 5 все эти связи былиобъединены для формирования полной системы нелинейных уравнений движения. Несмотря на то, что выражения, выведенные в этой главе, являютсяобщими для любого абсолютно твердого тела, использовались условные обозначения и системы координат, которые типичны для литературы по аэродинамики.
В частности, в разделе 3.1 даны условные обозначения, которыеиспользуются для переменных состояния МБЛА. В разделе 3.2 были полученыкинематические, а в разделе 3.3 — динамические уравнения.3.1. Ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿВ выводе уравнений движения для МБЛА будут введены двенадцать переменных состояния МБЛА. С поступательным движением МБЛА связаны три составляющие положения и три составляющие скорости, связанные с поступательным движением МБЛА.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
