Биард Р.У., МакЛэйн Т.У. Малые БЛА - теория и практика (2015) (1245764), страница 7
Текст из файла (страница 7)
они дают наглядные средние для представления ориентации тела в трехмерном пространстве. Последовательность поворотов y-q-f обычно используется для летательного аппарата и просто являетсяодной из нескольких используемых систем углов Эйлера [8].Физическая интерпретация углов Эйлера очевидна, и это способствует ихширокому использованию. Представление в виде эйлеровых углов, однако,2.2. Системы координат МБЛА29имеет математическую сингулярность, которая может вызвать неустойчивостьпри расчетах.
Для последовательности углов Эйлера y-q-f имеется сингулярность, когда угол тангажа q равен ±90°, а угол рыскания не определен. Этусингулярность обычно называют закливанием карданова подвеса. Распространенной альтернативой эйлеровым углам является кватернион. В то время какпредставлению кватерниона не хватает интуитивной привлекательности угловЭйлера, оно свободно от математических сингулярностей и в вычислительномплане более эффективно. Подход кватерниона обсуждается в приложении B.2.2.6.
Ïîëóñâÿçàííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò F sАэродинамические силы создаются по мере перемещения летательного аппарата через окружающий его воздух. Скорость самолета относительно окружающего его воздуха называется вектором скорости воздуха и обозначается как Va.Величина вектора скорости воздуха именуется воздушной скоростью, Va. Длясоздания подъемной силы крылья самолета должны быть установлены под положительным углом относительно вектора скорости ветра. Этот угол называютуглом атаки и обозначают б. Как показано на рис.
2.8, угол атаки определяется как угол поворота против часовой стрелки вокруг оси jb, такой, что is совпадает с проекцией Va на плоскость, натянутую на ib и kb. Необходимость поворота против часовой стрелки вызвана определением положительного углаатаки, который положителен для поворота по часовой стрелке из оси полусвязанной системы координат is к оси ib связанной системы.Рис.
2.8. Полусвязанная система координат. Ось is направлена вдоль проекции вектора скорости воздушного потока на плоскость ib-kb связанной системы координат, ось jsсовпадает с осью jb связанной системы координат, а ось ks построена, чтобы получить правостороннюю систему координат. Заметьте, что угол атаки определен какповорот против часовой стрелки вокруг оси jb связанной системы координат30Глава 2. Системы координатПоскольку б получается поворотом против часовой стрелки, то преобразование из F b в F s задается выражениемp s = R bs (a) p b ,гдеæ cos a 0 sin a ö10 ÷.R bs (a) = ç 0ç - sin a 0 cos a ÷èø2.2.7.
Ñêîðîñòíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò F wУгол между вектором скорости ветра и плоскостью, образуемой осями ib и kb,носит название угол скольжения и обозначается в. Как показано на рис. 2.9,скоростная система координат получается поворотом полусвязанной системыкоординат по часовой стрелке на угол в вокруг оси ks. Единичный вектор iwсовпадает с вектором скорости ветра Va.Рис. 2.9. Скоростная система координат. Ось iw направлена вдоль вектора скорости ветраПреобразование из F s в F w дается выражениемp w = R sw (b) p s ,гдеæ cos b sin b 0 öR sw (b) = ç - sin b cos b 0 ÷.÷ç01øè 02.3. Воздушная скорость, скорость ветра и скорость относительно Земли31Преобразование поворота из связанной системы координат в скоростнуюсистему координат дается выражениемR bw (a, b) = R sw (b)R bs (a) =æ cos b sin b 0 ö æ cos a 0 sin a ö æ cos b cos a sin b cos b sin a ö10 ÷ ç - sin b cos a cos b - sin b sin a ÷.= ç - sin b cos b 0 ÷ ç 0÷ ç - sin a 0 cos a ÷ çç÷01ø è0cos a øø è - sin aè 0Альтернативно этому преобразование из скоростной системы координатв связанную систему координат определяется выражением:æ cos b cos a - sin b cos a - sin a öR wb (a, b) = (R bw ) T (a, b) = ç sin bcos b0 ÷.÷çè cos b sin a - sin b sin a cos a ø2.3.
Âîçäóøíàÿ ñêîðîñòü, ñêîðîñòü âåòðàè ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî ÇåìëèПри получении динамических уравнений движения для МБЛА важно помнить, что инерционные силы, испытываемые МБЛА, зависят от скоростей иускорений относительно фиксированной (инерциальной) системы координат.Аэродинамические силы, однако, зависят от скорости самолета относительноокружающего воздуха.
При отсутствии ветра эти скорости совпадают. Однаковетер присутствует с МБЛА практически всегда, и необходимо тщательно различать воздушную скорость, определяемую скоростью относительно окружающего воздуха Va, и скорость относительно Земли, определяемую скоростьюотносительно инерциальной системы координат Vg. Эти скорости связны выражениемVa = Vg Vw,(2.6)где Vw является скоростью ветра относительно инерциальной системы координат.Скорость МБЛА Vg может быть выражена в терминах компонент вдольосей ib, jb и kb:æu öV gb = ç v ÷,çw÷è øгде V gb является скоростью МБЛА относительно инерциальной системы координат, как это выражено в связанной системе.
Аналогичным образом определимсеверную, восточную и направленную вниз компоненты скорости ветра как32Глава 2. Системы координатwn, we и wd соответственно, то можно записать выражение для скорости ветрав связанной системе координат как:æ uwV wb = ç v wçè wwöæ wn÷ = R b (f, q, y) ç wu÷ç eøè wdö÷.÷øУчитывая, что вектор воздушной скорости Va является скоростью МБЛА относительно ветра, он может быть выражен в скоростной системе координат какæV a öV aw = ç 0 ÷.ç0 ÷è øОпределяя ur, vr и wr как компоненты в фиксированной системе координатвектора воздушной скорости1, это выражение можно переписать в фиксированной системе координат какæ urV ab = ç v rçè wrö æ u - uw÷ =ç v -vw÷ çø è w - wwö÷.÷øПри разработке имитационной модели МБЛА ur,vr и wr используются длявычисления аэродинамических сил и моментов сил, действующих на МБЛА.Компоненты скорости в связанной системе координат u, v и w характеризуютсостояния системы МБЛА и могут быть без труда получены из решения уравнений движения.
Компоненты скорости ветра uw, vw и ww обычно поступают измодели ветра в качестве исходных данных для уравнений движения. Объединяя выражения, можно выразить вектор воздушной скорости в связанной системе координат в терминах модуля вектора воздушной скорости, угла атаки иугла бокового увода какæ urV ab = ç v rçè wrö÷ = Rbw÷ø- sin a ö æV a öæV a ö æ cos b cos a - sin b cos aç 0 ÷ = ç sin bcos b- sin b sin a ÷ ç 0 ÷,÷ç ÷ç0 ÷ ç0cos a ø è 0 øè ø è cos b sin aчто подразумеваетæ urçvç rè wr1Вæ cos a cos b öö÷ = V ç sin b ÷.a÷ç÷øè sin a cos b ø(2.7)некоторых учебниках по механике полета u, v и w определяются как компонентывектора воздушной скорости в связанной системе координат.
Авторы книги определяютu, v и w как компоненты вектора скорости относительно Земли в связанной системе координат, а ur, vr и wr — как компоненты вектора воздушной скорости в связанной системекоординат, чтобы четко разделять их друг от друга.2.4. Ветровой треугольник33Обращая эти соотношения, получимV a = u r2 + v r2 + w r2 ,æw öa = tan -1 ç r ÷,è ur øævrb = sin -1 çç u2 + v2 + w2rrè r(2.8)ö÷.÷øС учетом того, что аэродинамические моменты и моменты сил обычно выражаются в терминах Va, б и в, эти выражения важны для формулировки уравнений движения МБЛА.2.4. Âåòðîâîé òðåóãîëüíèêВ случае МБЛА скорость ветра часто находится в диапазоне от 20 до 50 % воздушной скорости. Важно понять, что ветер оказывает на МБЛА значительнобольшее воздействие, чем на крупные традиционные летательные аппараты,воздушная скорость которых обычно намного больше, чем скорость ветра.Введя понятие систем координат, скорости самолета, скорости ветра и векторавоздушной скорости, можно обсудить некоторые важные определения, относящиеся к навигации МБЛА.Направление вектора скорости относительно Земли в инерциальной системе координат задается двумя углами.
Это курсовой угол c и (в инерциальнойсистеме координат) угол наклона траектории полета g. На рис. 2.10 показано,как определяются эти два угла. Угол наклона траектории полета g определяется как угол между горизонтальной плоскостью и вектором скорости относительно Земли Vg, тогда как курсовой угол c является углом между проекциейвектора скорости относительно Земли на горизонтальную плоскость и истинным направлением северного меридиана.Связь между вектором скорости относительно Земли, вектором воздушнойскорости и вектором скорости ветра, которая дается соотношением (2.6), носитназвание «навигационный треугольник скоростей».
Более детальное отображение треугольника скоростей дается на горизонтальной плоскости рис. 2.11 и навертикальной плоскости рис. 2.12. На рис. 2.11 показана скорость летательногоаппарата, следующего по наземной траектории, представленной пунктирнойлинией. Направление на север указывает вектор ii, а направление, на котороенаправлен летательный аппарат, показывает вектор ib, который зафиксирован внаправлении оси x связанной системы координат. Для горизонтального полетапутевой угол (угол рыскания) y представляет собой угол между векторами ii и ib34Глава 2. Системы координат(Север)(Восток)Горизонтальная компонентаскорости относительно Земли(Вниз)Проекция на Землю траектории полетаРис.
2.10. Угол наклона траектории полета g и курсовой угол cСеверЗемная проекция траектории полетаРис. 2.11. Направление полета (путевой угол) — это то направление, в которое в данныймомент нацелен МБЛА. Курсом является направление полета относительно поверхности Земли. Углом сноса является разность между направлением полета икурсом. При отсутствии ветра угол сноса равен нулюи определяет направление, в которое направлен летательный аппарат. Направление летательного аппарата, перемещающееся относительно массы окружающего его воздуха, задается вектором воздушной скорости Va.
В установившемсягоризонтальном полете Va обычно совпадает с ib, означая, что угол скольженияв равен нулю.2.4. Ветровой треугольник35Направление летательного аппарата, перемещающееся относительно Земли, указывается вектором скорости Vg. Угол между направлением на север винерциальной системе координат и проекцией вектора инерциальной скорости на локальную плоскость, образуемую осями, направленными на север и навосток, называют курсовым углом ч. При наличии постоянного ветра в окружающей среде летательному аппарату необходимо будет парировать снос, чтобы следовать земной проекции траектории, которая не совпадает с направлением ветра. Угол сноса чc определяется как разность между курсом инаправлением полета (путевым углом):c c @ c - y.На рис. 2.12 изображена вертикальная компонента навигационного треугольника скоростей.
При наличии направленной вниз компоненты скоростиветра определяем угол от инерциальной плоскости север-восток до Va какугол наклона траектории полета относительно воздушной массы и обозначимего ga. Связь между углом траектории полета относительно воздушной массы, углом атаки и углом тангажа дается выражениемga = q б.При отсутствии ветра ga = g.Рис. 2.12. Проекция навигационного треугольника скоростей на вертикальную плоскостьВектор скорости относительно Земли в инерциальной системе координатвыражается какæ cos c - sin c 0 ö æ cos g 0 sin g ö æV gçV gi = ç sin c cos c 0 ÷ ç 010 ÷ 0ç÷ ç - sin g 0 cos g ÷ çç 001ø èè 0øèö÷÷÷ = V gøæ cos c cos g öç sin c cos g ÷,ç÷è - sin g øгде Vg = ||Vg||. Аналогичным образом вектор воздушной скорости в инерциальной системе координат можно выразить какæ cos y cos g a öV ai = V a ç sin y cos g a ÷,÷çè - sin g a ø36Глава 2.
Системы координатгде Va = ||Va||. Отсюда следует, что навигационный треугольник скоростей можно выразить в инерциальной системе координат какæ cos c cos g ö æ w nV g ç sin c cos g ÷ - ç w e÷ ççè - sin g ø è w dæ cos y cos g a öç sin y cos g ÷.a÷çè - sin g a øö÷ =Va÷ø(2.9)Благодаря уравнению (2.9) можном получить связи между Vg, Va, c, y, g иga. В частности, рассмотрим случай, когда известны c, g, компоненты скорости ветра (wn, we, wd) и либо Vg либо Va.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
