Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 42
Текст из файла (страница 42)
5.3.3.), Постоянная интегрирования ~~ и знак плюс ПЕрад фу11КцИЕй Н Щ СаатВЕт- Ряс. 53.3. Э~ацаклмды — харак ствуют ха актеристике первого тсРастики в,юского свсрхзвукоао ютх р го амока; СЕМЕйетна, а ПОСтаяииая р2 И ~ рвлтвриствва первого семейстзиан МИНУС вЂ” ВТОРОГО СЕМЕЙ- ва: 2 — харавтеристваа второго семей- ства ства. Эти кривме являются 3 и и ц и к л о и д а и и, которые можно получить, следя за движением точек окружности радиуса О.5Х (Х в — 1) (рис. 5.3.3). Полярными координатами точек эпициклоиды являются угол ~ наклона вектора скорости и относительная скорость Х 213 вчтъкл оИ>-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Анализируя график, на котором изображена сетка эпициклаид, можно сделать вывод, что возрастанию скорости, обусловленному расширением потока, соответствуют ббльшие по абсолютной величине углы р, т.
е. более значительное отклонение течения ат первоначального направления. При меньших скоростях будет меньшим и отклонение потока, Угол наклона вектора скорости непосредственна определяется беглом со, физический смысл которого можно установить из ~5.3,37). Предположим, что постоянные интегрирования ~, р=0. Эта означает, что расширение потока начинается от условий р=0 и И=1. В соответствии с этим величина р= .+-н(И) будет представлять собой угол отклонения потока при его изэнтропическом расширении от точки, где И=1, до состояния, «арактернзуемого некоторым произвольным числам М)1, которое равна верхнему пределу при вычислении интеграла ~5 327') Из сказанного видна разница между углом отклонения патока с числом И)1 от некоторого первоначальнога направления и углом ф= -+-о, определяющим полный поворот потока при ега расширении от состояния, характеризуемого числам И=1.
Угол отклонения потока в некотором произвольном сечении можно определить следующим образам. Предположим, что известно начальное число И1~1, которое в результате расширения потока увеличилось и достигло величины Ир>И~. Числам И и И~ соответствуют углы а~ и е2 отклонения потока от направления течения в точке с числам И=1, которые могут быть определены графически при помощи одной какай-либо эпнциклоиды из выражения ~5.3.31) или табл. 5.3.1 Па значениям нь е2 находим углы наклона векторов скорости Рассматривая, в частности, характеристику первого семейства, получим ~~ — — он~И~), р2 — — саа(Иа).
Следовательно, угол о1клонения ат начального направления ЛР— ~, — ~~, =~, (И,) — ~, ~И,). 1 ~5.3.39) l Расчеты можно проводить в обратном порядке, определяя по известному углу Лр отклонения потока и начальному числу И~ состветствующее местное число Иг, С этой целью из (5.3 39) ~в данном примере также рассматривается характеристика первого семейства) вычисляем ,'5.3 40) ы2(И2)= лЗ+а), (И,). дится по формуле ~5.3.31), в которой необходимо принять значение, ммчкл оиЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукаиит1 Из графика или табл. 5.3,1 па величине ьа находим соответствующие значения Хг или И~. Представляет интерес вычисление п р е д е л ь н о г о у г л а ате клонения потока, неабхаднмога для получения максимальиои скорости У,„„.
Предположим, что отклонение начинается от началь-; ного числа И=1 В этом случае предельный угол отклонения нахо- Я, соответствующее У ~ равным бесконечности: для А=1,4 угол Дпщ~ — — 130,46' — а~М). Прн гиперзвуковых скоростях расчет функции а и, следовательно, углов отклонения упрощается. Действительна, для М."~1 члены. входящие в (5,3.31), можно с точностью до величин более высокого порядка малости представить в виде агсФд уГМ2 — ) =я!2 — 1/М, В соответствии с этим ~5.3.43) Формула, соответствующая (5.3.39), примет внд ~5.З,З9 ). Все полученные зависимости найдены для с а в е р ш е и н о г а газа.
Однако при очень низких давлениях свойства совершенного газа теряются, поэтому вычисленные предельные углы отклонения не реализуюгся и имеют лишь теоретическое значение. $ ЮА. СХЕМА РЕШЕНИ% ГАЗОДЙНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ пО МетОДУ ХАРАКТЕРИСТИК Определение параметров возмущенного сверхзвукового течения связано с решением системы уравнений для характеристик в физической плоскости н в плоскости годографа, если начальные условия некоторым образом заданы в виде условий Коши. В общем случае двухмерного неизэнтропнческого потока эта система имеет внд: для характеристик первого семейства Ф вЂ” а'~ ~а Р+Г); ~6.4. Ц 21Ь ммчкл оИ>-1алрь.гп — Сжаолет своими рукаиит1 ю,„= ~я/2) (~Г(А+ ЦД~ — 1) — 1); для 1=1,4 значение а 8~= 0,726 и= 1 30,46 .
Таким образом, сверхзвуковой поток ие может повернуться на угол, больший и~~~, и теоретически часть пространства остается- не заполненной газом. Если начальное число И, от которого начинается отклонение„ больше единицы, то угол этого отклонения, отсчитываемый ат направления при И= 1, будет н~М), а предельный угол отклонения. соответствующий этому числу, Р = „— 1М)=С /2) В (А+ 1)!И вЂ” 1) — 1) — 1М)' Й(а — 5) — е~йх(у)~+ фх/йЩй3фа) = О; ф.4.2) для характеристик второго семейства а~у =а~х $д Д вЂ” р); й ~в+ ٠— в фх~у) т — фх/И~) ~бБ~бв) 1=0, где коэфф.ициенты: 1=ып ~ яп р/соз Д+р), с=япер,созе/созф+р); ~5.4,5) т= яп ~ мп ~ь/соз ф — р), 1= яп2 р, соз ф~соз Д вЂ” р.).
(5.4,Б) (5.4.3] ~5.4.4) Для двухмерного иээнтропического потока ФБфл=О, поэтому система уравнений упрощается: для характеристик первого семейства Фу =с~х ф ф+ р.); Ф ~ о — р) — е фхтр) 1= 0; ~5.4.8.) для характеристик второго семейства Мв= ~хв ~к Рв+ Рв)' С5.4.10) ~""а — Й вЂ” (Ьх ул)Ь+ЫхаЖ)М1Юса=0: Р 4 ~~) для второго семейства (5.4.12) Мл= ~хм ФРл — ~л) -с ,М~ю ° йФ ммчкл ось-1алрь.гп — сжаолет своими рукниит1 Фу=Фх~~ф — р); г~ ~" +  — Ых!у) т =0- ~5 А.9) Для плоского потока в уравнениях принимают е=О, для пространственного осесимметричного в=1, а вместо у подставляют г.
Решение по методу характеристик любой задачи об обтекании тела складывается из решения трех частных задач. Первая задача связана с определением скорости и других параметров в точке пересечения характеристик различных семейств, выходящих из двух близко расположенных точек Предположим, что определяются параметры н точке С (скорость Ус, число Ис, угол отклонения потока Рс, энтропия 5с и др.), лежащей на пересечении элементов характеристик первого и второго семейств, проведенных нз точек А и В (рнс.
5.4.1, и). Б этих точках, расположенных на разных линиях гака, известны скорости Р.~, ~в и другие параметры, в том числе энтропии 5~ и Бв. Все расчеты основаны на использовании уравнений для характеристик (5.4.1) —: (5А.4). которые записываются в конечных разностях: для первого семейства +,у,.~дх„/У„) т„— ~~х /~рииБ/иф1А — — О, (5.4.13) где 1ф — — Ус — УВ, Ахл=хс — В. '"В="с "В Ь вЂ” ~ с В ~5 4 И) ЩА УС УАт Ы~А ХС ХА в ~~А ~С А™вА ~'С ° А' 8 =~ З. ~ ь З1П р З1П 1а ~СОЗДВ+р,л), СВ=З1П~рВСОЗрВ/СОЗРВ+рл); В= В ф.4.15) тА — З1П рА З1 и р, /СОЗ фА — 1аА), 1А — — З1П р А СОЗ рА/СОЗ ДА — р.А). Уравнения (5.4,Ю) —:(5АЛЗ) записаны в предположении, что коэффициенты 1, и, с и ~ сохраняются постоянными при переме- а' "л лв "с Рве.
5,4.1. Схема расчета скорости в точке пересечеаня двух ха- рактеристик раалвчных семейств: а — фкакчеакак плоскость. б — алоскость тадографа щении вдоль элементов характеристик ВС и АС и равны их значениям в начальных точках В и А. Измечение энтропии иа единицу длины нормали ЬЯ/Ьи вычисляется следующим образом. Из рис. 54.1, а видно, что расстояние между точками В и А ~л.=(АС) з1п рА+~ВС) з1п 1аВ, где АС= (хс — хА)/соз [~А — рА), ВС =(хс — хВ)/соМЬ+ РВ) Вводя обозначения а=~хс — х„) з1п рА созе+РВ) Х=Р~с— — х ) з1п о, созе, — 1аА), получим 54 16) 1 ° ° Ьл ~+о Энтропия в точке С определяется из соотношения 3 =ЬЯ +3 = — (Вс) 1 РВ+Я — — ~3" Ы+3 . 15.4.17) Ьа >г+е гп чтттчтл о$Ф-1алрЬ.гп — Самолет своими руками?1 Градиент энтропии можно заменить градиентам давления торможения в соответствии с (5.3.24): д5 1 дрю ~Рюл Рай соз 9в + 1»в) соэ РА Р ~) я да Р,' дл (У+в) Рав Давление торможения в точке С Рюс = ~Дал — Рюв) ~Ц~+ Е)+ Рюв- [5.4.19) Для определения координат хс, ус точки С необходимо решить систему уравнений (5.4.10), (54.12) для элементов характеристик в физической плоскости: Ус Ув= 1хс хв) 1~ ив+1»'в)» Ус Ул=(Хс — Хл) $Я фл 1'л)~ ~»ол = »юс»"л= ~»юв+ о'в о»л» Мл»с»А Ыв+1В»А С учетам этих соотношений уравнение (5.4.13) преобразуется к аиду дх дх дя ~' в+ в — л+ Фв+ ~в — ел — " л — — ".
— ~л= О- (5,4.21) ~А М дв Решая эта уравнение совместно с (5.4.11) относительно переменной А~в, получим 1 1 дВ дхл дхв Ыв= — —. — (~Мл+ ~хвев)+~ — "в л — — '~в— 2 УЯ М ~в — (»ю л) Рв Ь) . [5.4.22) По найденному значению А~в вычисляем из (5.4.11) приращение функции ш дхв дхв д5 Лав= Л8в+ ю ' ~в — в . — с,. йй да ~5.4.23) Теперь можно вычислить для точки С углы: 1»с= Мв+ ев: о»с= ~Фв+о»в.
(5.4.24) Па найденной величине ые определяем из табл. 53 1 число Ис Ф угол Иаха ре в точке С. 218 мяча о$Ф-1алрЬ.гп — Сжаолет своими рфснииЛ Графическое решение этих уравнений показано на рис. 5.4.К а, По найденной величине хс определяются разности Ахв=хс — хв, .Лхл=хе — хл, входящие в уравнения (5.4.11), (5.4.13). Неизвестными в этих уравнениях являются приращения Ьыв, Ьюл, А~в и Ь~лЧисло неизвестных можно сократить до двух в соответствии с количеством уравнений системы. Для этой цели напишем очевидные ~оотнашения: Схема графического решения системы уравнений для характеристик в плоскости годографа, в результате которого определяются .гол ~с н число Хс (Ис), показана на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
