Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Эта прямая перпен(икулярна линии РИ, но не проходит через точку Р'. имеющую коюдинаты рс. до, на что указывает наличие свободного члена в уравнении (5.3.9'), Поэтому для построения элемента характеристики ыобходимо по правилам аналитической геометрии определить вназле расстояние о1 от точки Р' до него. Аналогично строится хауакеристнка первого семейства в плоскости р, д, перпендикулярная тимой РМ н удаленная от точки Р' на расстояние бр (рнс. 5.3.2). х В ~ ) Рис.
5.3.2. Свойство ортогональностн ха- рактеристик .вонство ортогональиостн характеристик разных семейств имет место в случае потенциального потока для плоскостей х, у и , 5'~ (плоскость годографа), а также в случае вихревого течения, ;ля которого плоскость р, д заменяется той же плоскостью годорафа $~ Преобразование уравнений дам мауектарюкткк ° ниоскести годографа киерасти Преобразуем уравнение (5.3,1О) к такому виду, чтобы оно опрееляло характеристики в плоскости годографа, где координатамн .'ли независимыми переменными служат компоненты скорости 1' 'р. С этой целью, дифференцируя выражения (5.1.9') по х, вычис.им производные Йр~йх и йд)Нх: 'х Их~ дх / Их Их ~У' 1, (1 У2)и~ — 1) — 17 ~~'.
й — 1 юсеф вмяв о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими руквиит! (5.3. 12) (5.З.»З) Носле подстановки (5.311) —:(5.3.13) в (5.310), замены величины ыу/дх угловыми коэффициентами характеристик хт,2, а функции 1а 9~у,) — соответствующими значениями Х2,~ получич еу' '3ч 2(1 — 1/~)~д~ Ц($~ 321 — »l )+у' (1 — $/2)~д~ ~~ Х 2 Х ~ ~ ) У )+ (1 ~,72)142 — ч1 — ~17 (»Г $/ 1 ) + 4х 1,.2 В »~маак (1 ~~~ ЙДФ вЂ” Ц ( 2»~2) сЫ И~ ~1~2 Производя необходимые сокращения и вводя безразмерные вели- ° чины Г„=ЪГ /Ъ' „, ЪР,у — Ь;/»'„„, У=1l/Ъ',„, ЪГ/ы=»~1, у 1 Ф'~ (5.3.15)- ' У,=Р соя~, $~р — — из»п В.
мам л оЫ>-1алрЬ.гп — Самолет своими р~ч~Йми?! Й Из уравнения (5.1.25) видно, что 1Р 2й Ю~ Р2)ВЛ2 — Ц, 2 2 СЫ 1 2 Ыл Р2 22 2А перепишем это уравнение в следующем виде: — — ~~х ~Уу 2Р ~1,2 (»~,к~4>1»~у)+ ~2,1 + Х у ' " ' дх ' Нх й — 1 Х »~У вЂ” 1'. "2,1 Н~ Я »~с й 1 Х 1 -2 М2-1 ~8 Х (1 Р 2) — .
=О. РР 1 1Р/~2 Ип Введя полярный угол р, напищем для проекций вектора следующие выражения. (5.3. 14) скорости Дифференцируем эти выражения по х: гй' /ЫХ=(дР/ИХ) Саа ~ — Ра1П о ЩфХ); НГ~„фх = фГ/Ых) з1п ~+ Г сов ЦЩ/44х), (5.3.16) Внося (5.3.15) и (5.3.16) в (5314) и учитывая, что 1дзр,=(М2— — 1), 510 1$ = М, ПОлуЧИм д17 цд З(П р — 1( 1СОБ ~ +12,1 созе — ял ~)— ~» й — 1 1 — Р2 4Я~ + ~ ()~2 1 Б)п р+ сОБ р) Щ2~4 4Ы» У Х2,1созр — Б1Л р у Е Б~л2рсоз ~ [ 2 + ()(2,1 соз 8 — з1п (1) (Б(л2 р, — сазз ~) ~ + —.
— О. (5.3.17) АЯ (з(л21а — созз ф) (3(2,1 соз р — з(л р) Ил Произведя замены Е2д —— 1д ф~р) и К1 2=1д (р ~-р), преобразуем отдельные выражения, входящие в (5.3.17), к следу1ощему виду: 3(21 Яп р+созр 1Я р ~ Я) ыл р+созф 1 5 3 8) А2,1соза — Б1п р фф +1)соз р — з!л р Т Щр Б1п2р. соз р Б1пф~р) + 1,2 (Х2,1соБ р — ап ~)(Б1п2р — созз р) соз(ф + р) + Б1изр Соз р Б1Л (Р ~ ~) + 11кф+ р) созр — з1п Ясозф+р) соз(Р— р) соз(ф+ Р) з1л2рсоз фсозф ~ р) з!и ф ~ р) яппи созф + + ЯЛ 1 Соз (р+ Р)СОБ(~ — и) СОБР + Р) СОБ(д( ~ И з(п 'р соз~ (5.3.19) соз (р ~ р) Б1Л4Р (Б]Л2 р, соз2 Д (Х2,1 СОБ р — Б1п р) ЯЛ41 саз (а + р) соз ф — о.) (а и а — 1о (а + о) соз Я 4- фп414созф ~ 1~) Б(пЗ~ соз (р ~- р) соз (р — р) яп р.
соз (р * р) (5.3.20) ж м(издал о$Ф-1а.зрь.гп — Самолет своими руками?! (' — (Хг,, вп ~+ сов Я+ — ('[~, р(Ь! соя~ — Ми ()— И» у СОБ 1 1 А 1 1 (1 Р2) с1Б2( ~5 О СОБ2 р/З1л2р1 2Б ~(~у 1 — сОБ2 р/Б1л2р, БЛ Учитывая, что 1(А — 1)/2](1 — Ъ"/$"„)=а2/Ъ|~ =Г2яп2р, можно найти / С учетом выражений (5,3.18) —:(5.3.20) уравнение (5.317) для характеристик соответственна первого и второго семейств принимает вид: ~У ~~ а Н» 61~» $1п Р 1~» У 6+р) + ~'х з1нз» а'Я М~ ~з ф ~- ») (5.3.21) . — — О. (5.3.22) М сав ф — р) Фл гй~, ~х йи реп р1я~ у соь(р — 1) Вместо градиента энтропии дЯ/юг можно ввести градиент давления торможения дра'(дп. С этой целью воспользуемся зависимостями ~4.3.6) н ~4.3.20), из которых получим для разности энтропий формулу Так как с (А — 1) =Я, то, вычисляя производную па п и обозначая ИЯ~фй Юфану наведем Ф 1 ИЯ 1 ~1Ро Я ~л,' Фп (5.3.24) Таким образам, уравнения для характеристик в плоскости годаграфа можно переписать в виде: 63~ ~~ ~х а1п р 81п р Ых а1п2рсаз1.
4Ъ у саа (~ +») у~,' саа ф -1- ») йп Ф.3-25) с М~ + ~~ ~» Б~п а Б1п 1~ + ~х Б1п~РсаБР ~0 0;5 3 2б) $~ у саз (~ 1~) д саз 1р р) Ип Введем новую переменную Нф~ ш= ( с1~р —, г' Ь' 1Р ~5.3.27) Отношение: с памащыа 216 мчтъкл акь-1алрь.гп — Сжаолет сво которая по смыслу представляет собой некоторый угол. 0К/11 выразим в виде ~МЛ(Я=Та'), а с1д р представим 1,3.б.23) в СЛЕдуЮП1ЕМ ВИДЕ: с1Яр= УЙ1= ();" — 1) 1 — — ЭР . 1+1 Следовательно, Х /„, ~( ~ — ~„,) а [5.3.28) . ф.3.27')4 .е)я Ф Этот интеграл можно вычислить в элементарных функциях. Ис- пользуя подстановку Л рг ц (5.3.29) Е 11+Лг) + — Л' 1+1 или яв л .,=~МЛ )) +е — гУ) ~,ГЛ)11+Л).
й+! о а Интегрируя, найдем . Г~+1 агс$~ А — 1 11г — 1 агс$ц В+1 Ь вЂ” 1 1 — 1,2 1+1 (5.З.ЗО) Имея в виду,что Х = — У /а'= получим Из уравнений (5.3.30') и (5.3.31) видно, что угол а является функцией только числа Л (или М) и, следовательно, заранее может быть вычислен, что облегчает расчеты сверхзвуковых течений газа по методу характеристик.
Значения в для различных чисел М при А= 1,4 представлены в табл. 5.3.1. В этой же таблице приведены углы наклона линии вози)щения, рассчитанные по формуле р=агсяп (1/И). Внося угол ю в (5.321) и (5.3.22) ° получим для характеристик уравнение 3) А.т 5)п 1 а)п1 5~Х З1пг15СоО15 ~5 О (5 3 32 у ссора ~ 1а) М соз1р + 15) ааю Соотввтатвуютцая подстановка в (5.3.25) н (5.3.26) дает У Нх ни ~ а)5) р. ~х япг15 сом 15 5)Ра Д соБ ф + аа) ))~ е (соо ~ + 15) ФЛ 55185гюл о$Ф-1алрЬ.гп — Самолет своими руками? е ~3+1 Р— 1 %+1 Р— 1 атс$К вЂ” агре — .
. (5.3.30') Х~ — Р л' — м меам )май Заменяя в 15.8.85) Х на М в спстветствии с 15.5.58), запишем )) ! е= ~ агс)5:1Мз — Ц вЂ” агс)5 г'Мз — 1. 15.5.31) А — 1 1+1 М'аблвца 5.3.1 щО Уравнения (5332) и [5.3.33) соответствуют наиболее общему случаю сверхзвукового двухмерного (плоского или пространственного) вихревого (иеизэнтронического) потока газа. Уравнения ллв хврвитернстнк в плоскости годвтрафа для частмык еиучаев двнванив гам Вид уравнения для характеристик (5.2,5) в физической плоскости одинаков для всех случаев течения газа, если это течение сверхзвуковое и двухмерное.
Но в плоскости годографа уравнения для характеристик будут различными в зависимости от вида течения. Если двухмерное течение безвихревое, то согласно (5.1,23) во всех точках пространства, занятого газом, энтропия будет ностоянной ф5/да=О) и, следовательно, уравнение для характеристик при- -. нимает более простой вид: яв р нп~~ ~5.3.З ) у соз(р+ р) 212 мм а л ось-1алрь.гп — Самолет своими руками71 1,00 1;да 1,20 1,'30 1',40 1;50 1,60 1,70 1,'ВО 1;90 2,00 2,10 2,'20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,'7О 2,'Во 2,90 3',оо 3,'1О 3',20 3,'за 3.40 3,50 З,'60 3,7О 3',80 3.'90 о,оао 1',336 3,'558 6,'170 8,987 11,905 14,861 17,'810 20,725 23,586 26',380 29,097 31',732 34,'283 36,746 39,124 41,415 43,621 45,746 47,790 49,757 51,'650 53,470 55',222 56,907 58,530 60',091 61,595 63,044 64,'440 9О,ООО 65',380 56,443 50,285 45,585 41,810 38,682 36,032 33,749 31,757 зо,ооо 28,'437 27,036 25,771 24,624 23,578 22,620 21 ° 738 20,925 20,171 19,471 18,819 18,'210 17,'640 17,105 16,602 16,128 15,680 15,258 14,857 4,00 4,'10 4,20 4,30 4,40 4,50 4,60 4,7о 4,80 4,90 5',00 5,10 5,20 5,30 Б,'4О 5,50 5,60 5,70 5,80 5,90 6',ОО 6,10 6',го 6,30 6,40 6,50 6,60 6,'7о 6',80 6',90 65,785 67,082 68',333 69,541 70,*706 71',832 72,'919 73,'970 74,986 75,969 76,920 77,841 78,732 79,596 80,433 81,245 82,032 82,796 ВЗ,'БЗ7 84,256 84,955 85,'635 86,296 86,937 87,561 Вв, '168 88,759 89',335 89,895 90,441 14,478 14,117 Ю,774 13,'448 13, '137 12,814 12,556 12,284 12,025 11,776 И,'БЗ7 11',308 11,087 1О',876 10,672 10,476 10',287 да,104 9,928 9,758 9,594 9,435 9,282 9',1ЗЭ 8,989 8.850 8,715 8,'584 8,457 в,'333 7,00 7,10 7.20 7,30 7,40 7,50 7,60 7,70 7,80 7,90 8,'00 8,20 8,40 8,'60 8,'Ва 9,00 9,'го 9,40 9,60 9,80 10,'оа 10,20 10,'40 10',БО 10,80 11,00 11,20 11,40 11',60 11,80 12',оа 90,973 91,491 91.997 92,490 92,970 93,'440 93,898 94,345 94',781 95,208 95,625 96',4ЗО 97,'200 97,936 98,642 99,3!8 99,967 100,589 101,'188 101,763 102,316 102,649 103,362 103,857 104,335 104,796 105,241 105,671 106,087 106,489 106,879 8,213 в,'097 7,984 7,873 7,776 7,662 7,561 7,462 7,'Збб 7,272 7',181 7,005 6,837 6,677 ь,525 6,379 6',240 6,107 5,979 5,857 5,739 5,626 5,5 18 5,413 5,'313 5,216 5,123 5,032 4,945 4,861 4,780 Для плоского неизэнтропического потока (е=О) а(ш+~)+ ~" .
"" 1""'~ . ~~ О. (5.3.35) М,' сов(р ~ 1а) Аг Б наиболее простом случае плоского безвихревого течения (СБ/1Ь= 0) и( +в)=о. 15,3.3б) Интегрируя (5.3.36), получим Р= +а+сопз1. Вводя вместо константы некотарме постаяннме значения углов ~~ и р2, первый из которых соответствует знаку плюс перед ш, а второй — знаку минус, найдем уравнение для характеристик в виде 1=~ +1,2- (5.3.37) Внося вместо ш зависимость (5.3 ЗО'), получим втвв 1+1 Л2 — 1 — агс1а' — ° + 1ьгА — 1 Л2 — Л2 отав так11м образом, в отличие от уравнения 15.2.5) для характеристик в физической плоскости н уравнений (5.332), [5.3.34) нли (5.3.35) для характеристикстик в плоскости годогра фа, Лу имеющих дифференциальную форму, соответствующее уравнение (5.3.38) для характе- а у ристик плоского изэнтропического потока имеет явную фор- 3 му Геометрически это уравнение определяет ива семейства кривых — характеристик, рас- ой гЬ полагающихся в кольце, внутренний радиус которого 1=1, а наружный Х в,- — — ЦА+ Ц/(й— — 1))1 "2 (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
