Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 38
Текст из файла (страница 38)
На рис 4 9.5 видна, чта протяженность неравновесной зоны сравнительм» невелика н составляет примерно 8 —:1О мм чгчгчгл оЫ>-1алрЬ.гп — Саьголет своими рукаииЛ С в уравнении (49.14) можно определять для кислорода, поскольку коэффмцнен. скорости рекомбинации Фл известен более достоверна нз экспсрнлшнтальных ды ных для этого газа. Все астальмые парачстры, а частности степсмь равновесное диссоциацни п„характсрнстическнс плотность, давление н др., находят дл: двухатоммой модели воздуха Определяемые указанным спасобоч неравновесмые параметры саответств.
ют условию, при катаром газовая среда в начальном (неднссацинрованном) с. стоянии имеет возбужденные калеоь- 1Х тельные уровни и для такого газа Й= =с,(с. =1,ЗЗ. Если вместо уравнения (49.13) прь женить уравнение энергии в виде аза +$"',~2=с~, то можно избавиться ат об зательнага условия, чтобы в мачальнох состоянии газ был предварительно раз» 020 грет. Тогда можно исследовать повел ние неравновесных параметров в эан — (Й релаксации вне зависимости от тога, ва.- х ~ буж ~емы первоначально лалебательны" Ц(б 6 уровни илн нет Результаты таких иссл» М даваний для воздушной смеси ннслар~- да и азата приведены на рис. 4,9Л Жар ая магна Сплошные «риные получены в предпол» жепни мгновеннога колебательного вабуждсмня, штриханые — при отсутствие возбуждения.
Из этих результатов сл Рнс. 4.9.4. Изменение степени нс- дует, чта колебания имеют существе . Равновесной диссоциация и плот- ное зна ение а непосредственной близ». ности кислорода за УдаРмой в»~л- стн к скачку. Например, без учета ва:- бужденнй температура за скачкам равм' 12ООО К, а длн полностью назбуждемн . го состояния — около 9800 К, т.
е. змь чительно ниже В конце замы релаксации колебательное возбуждение практнч скн не имеет значения. Поэтому в расчетах равновесной диссоциацни можн» ГЛАВА Ч МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК $ $Л. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ 71ОтеНЦИАлА сНОРОстей И ФУНКЦИИ ТОКА В аэродинамике важное место занимает м ет од х а р а к т ер и с т и к, который позволяет рассчитать возмущенное течение идеального (иевязкого) газа. Прн помощи этого метода можно правильно рассчитать контуры сопл для сверхзвуковых аэродинамических труб, определить параметры сверхзвукового обтекания крыловых профилей и корпусов летательных аппаратов.
Метод характеристик всесторонне разработан для решения системы уравнений установившихся сверхзвуковых двухмерных (плоских или пространственных осесимметрнчных) вихревых и безвихреных газовых течений. Широкий размах приобретают исследования, связанные с применением метода характеристик для расчета обтекания тел трехмерными потоками. В настоящей главе будет рассмотрен метод характеристик и его приложение к задачам о сверхзвуковых двухмерных течениях.
Уравнения двухмерного плоского установившегося движения невязкого газа получаются нз (ЗЛ.20) при условии, что р.=0, д~„/д1=д$'„/д1=0, и имеют следующий вид: д а1„1 др в+у д дх ду р дх Ь' + $' — = —— д1„. д1„1 др дх ду р ду Для двухмерного осесимметричного потока уравнения движения, получаемые из (3.1.36) при аналогичных условиях (т =О, дУ„/И=д$' /д1=0), записываютсн в форме: дух + ~, ~~'х 1 дР . дх д р дх 1,, ~~ т дЪ'г, Жт 1 дР дх дг р дг Уравнения неразрывности для плоского н осесимметричного течений, имеюи1ие соответственно вид (2,4.5) и (2.432), можно за- 7 — 707 193 вмяв ось-1алрь.гп — СамолЕт своими рукаии71 писать в обобщенном виде: д(рК у')/дх+ д (РК„у')/ду =О.
(5.1.3) При е=О это уравнение совпадает с уравнением неразрывности для двухмерного плоского движения в прямоугольных декартовых координатах х, у. Если в=1, то имеем уравнение неразрывности длн двухмерного асеснмметричного потока в цилиндрических координатах у(г), х В соответствии с этим для обоих видов течения уравнения движения (5Л.1) можно считагь записанными в обобщенном виде. Взяв частные производные в уравнении неразрывности (5.1.3), получим с в +У вЂ” ) у'+ ру' ~ — + — )+рУ„ву' — ' =О- (5.1.4) ар др ~,,~д ту~ . д ' ду ) ~ д ду ) Частную производную др/дх можно заменить выражением др/дх= = (др/др) (др/дх), в котором др/др=1/а~, а производная др/дх находится из (5.1Л) в виде дР /~,, дК.к У дЪ'х ~ дх ~ дх ду / С учетом этого Аналогично находится выражение для производной др/ду: (5.1.6) После подстановка значений этих производных в (5.1.4) получим (К,— а ) — +У У„~ — + — ~+(ӄ— а ) — — =О. д$7д / д$1~ дну ~ ь 2 дУр а~Ууа дх - "~ ду дх/ " ду у (5.1.7) Это уравнение является о с н о в н ы м д и ф ф е р е н ц н а л ь н ы м уравнением газовой динамики для двухмерного- (плоско го или нр остр анственного осесн и и етричиого) установившегося потока, которому должны удовлетворять составляющие скорости 1~ $'„, Так как это уравнение связывает между собой скорости, то его называют также основным кннематическн м уравнением.
Если течение и о т е н ц и а л ь н о е, то $~ =д<р/дх, У =ду/ду, дУ /ду=дУ,/дх=д%~р/дну, следовательно, уравнение (5Л.7) можно преобразовать к виду (К~ -а') — ~+ 2У„Ь'„~ +(У'„— а') — ~ =О, (5.1,8); дхР " дхду ду2 у !94 вмяв оКЬ-1алрь.гп — Сжаолет своими руквиит1 где аг= — Ь", Уравнение (5Л.8) является о с н о в н ы м д и ф ф е р е н ц и а л ьным уравнением газовой динамики для двухм ер ного потенциального уста нов и в ш его с я те ч ения и называется уравнением для потенциал а скор о ст ей Таким образом, в отличие от (5Л.7) это уравнение применяется только для исследования безвихревых газовых течений. Если двухмерный газовый поток в их р е в о й, то для его исследования надо воспользоваться ф у н к ц и е й т о к а ф Составляющие скорости, выраженные через функцию ~, имеют внд (2.5.5) Заменяя р по формуле (3 6.31), в которой плотность торможения ро вдоль данной линии така принимается величиной постоянной, выражения (2.5.5) можно представить в виде 1,г у — с ( 1 уг) — )ЛФ вЂ” 1) (дуду),у у в ( 1 $,~2) — 1/(Й вЂ” ~) (д~ дд.) (5.1.9» где Р=У/Р', Расчет вихревого газового потока состоит в решении дифференциального уравнения для функции тока ф.
Чтобы получить это уравнение, проднфференцируем У„и У„(5Л.9) соответственно по у и х: у — а — (1 ~Р) — + — г — Ща Ц дФ ау Ду +у-' — ~1 — Г ) —.— +у-(1 — Г) 1 / — г~ 1Л~1) ~ дЛ -, г — ~д — И ) ду ду дуг д$~~, 1 ( 1 р) ~(р ц 1 дР~ 4' ( 1,,г) ~(~ 1) ~~+ дх Ф вЂ” 1 дх д дхг Принимая во внимание выражение (3.6.22) для квадрата скорости звука. а также соотношения (5.1.9), полученные зависимости для производных дУ /ду и дЩдх можно написать в виде. ~~'л' ~ 1,~ + 1~х ~~~ +у,(1 ~Р2)-ъ(Р— 1) Н' .
Д 1 ду у 2аг ду дуг д1"д 1д д~ у .(1 у,г)-~~И вЂ” 1) ~'Ф 5 1 11» дх 2аг дх дхг Входящие сюда производные д7г/ду н дГгфх определим при помощи соотношении (БЛ.9) Объединяя эти соотношения, получим (д,рудл.)г+ ур~ду)г 1,ггуге (1 ~л)г!Р— ~) (5 1 1 ~ ~ дифференцируя (5Л. 12) по х и у, найдем соответственно зависимости: мчтъкл ось-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 2 ~Ф дЧ~ ~ 2 дФ Ю~ д1'г г.( 1,,г)г(р — 1) дх дхг ду дхду дх дгд~ ,.г„2 — ггпу~ ц ~ айаг ~ дЧ, ~ Ф Ф вЂ” 1 дх дх дхду ду дуг гр ( 1 $/))где — 2) + 2 1» г г~ 1(1 Дг)г/Р— 1) дд 1~г гф 2 (1 уф)Э(г — 1) — 1 А'г й — 1 ду Эти зависимости преобразуем, учитывая уравнение (3.6.22) для квадрата скорости звука и соотношения (5.1.9): (5.1 14) Вычитая из второго уравнения первое, найдем зависимость для вихря: дх ду аг — Рг у' ~ дхг дзвиду / у' дхг аг уг у' ~ дхду дуг,~ Х(1 — Гг)-'"' " — — '.
(1 — Гг) '" " '~+ — '. " Ь'.. (5.1.15) у дуг у аг уг Вихрь можно также определить при помощи уравнения (3.1.22'), преобразованного для условий установившегося движения идеаль- 196 мяча о$Ф-1алрь.гп — Самолет своими руками?! В +1. дгч' У' д1'г (1 1;г)Чг — ~)~1 ~~' ~, (5 1 И» дхг "ахар 2 ' дх аг 1' 1,г +У (1 1,г) дЧ дЧ Ю д1 — 1Л.,) дхду " дуг 2 ду >, 1 г + ' 1, (1 ~л)~Л вЂ” О Я Определяя отса)да производные дУг/ду, д1~г/дх и подставляя их соответственно в (5.1.10) и (БЛЛ1), получим У (1 дг)~!И 1) 1 1 ~ х у (1 уг»ЧР 1) 2 аг / ду 21~4 — а аг )1 2аг 1 "дхд~ х дуг М ного газа и имеющего вид или в векторной форме Тентад $=~дай1 — (1/р) дай р.
(5.1.19) Комбинируя (БЛЛ8) и (БЛ.19), получим го$ У ~ Ч =Т акай 3. (б. 1.2О) Вычислим нектарное произведение го1 ГХГ, имея в виду, что в соответствии с (2.2.12) вектор го$ У=(д$1»/дх — дЬ' /ду) ~3, а следовательно, проекции (ге Г) = (ге Р)» — — О. Используя определитель третьего порядка, найдем ~1 г2 ~3 О О (го1 У) У„У» О го1 У )~ У= в котором проекция (го1 У), =д~'»/дх — д$~„/ду. Вычисления дают (5.1.21) В соатвет соответствии с этим для проекции вектора га$ ГХГ на нормаль и к линии тока получим соотношение (го1РХ У)',=(го$ У Х У)'„+(го$У Х У)»= = Ка (дУ»/дх — дУ /ду)а.
(5.1.22) 197 мяча оКЬ-1алрь.га — Самолет своими руками?1 а~аЯУ'/2)+гоЯ К У= — (1/р) КгаК р. (5.1.1б) Применяя операцию дгаИ к уравнению энергии (3.4.14), получим дта11 (Ь"/2) = — раб Е. (5.1.17) Следовательно, уравнение (5.1.16) мщкно переписать в форме го$ У Х Р=цга11 г — (1/р)огай р. (5.1.18) Вихревые сверхзвуковые течения газа термодинамически могут быть охарактеризованы изменением энтропии при переходе от одной линки така к другой, Поэтому удобно в расчеты ввести такой параметр, который бы отражал указанное изменение эит опии как особенность вихревых течений.
соответствии со вторым законам термодинамики Т~~= ~1 — фр/р), Из (5.12О) следует, что эту проекцию можно представить также в виде (пМ У Х У),=Т (с~З~сИ) нли, учитывая (5.!.22), У(дУ„,'дх — д$~„/ду) = Т(сЖфа). (5.1.23) Так как аг=АЯТ, то отсюда, принимая во внимание (3.6.22), найдем выражение для температуры: ~г А — 1 1 г г Й вЂ” 1 Клаа г Т== —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
