Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 39
Текст из файла (страница 39)
— (У, — У )= —.— (1 — Уг). Ж ~ 2в й Внося это соотношение в (5Л.23), получим г а1„а„а — 1 1' . — и (1 — У ~ —. дх ду 2й ЯК ' ~д (5Л.24) Производя замену вихря по этому выражению в (5.1.15), найдем дифференциальное уравнение для функции тока: дуг + агЪ ( Г~) ] 1 *( Уг)" )у (а У) 8 У 2в Ип (5.1.25) мчтъкл окись-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 В ил задача кошм Уравнения (5.1.8) для потенциала скоростей и (5.!.25) для функции тока являются нелинейными уравнениями в частных производных второго порядка.
Так как в этих уравнениях кроме членов со вторыми частными производными имеются свободные члены, не содержащие этих производных, то они будут неоднородными. Рен1ения уравнений ~р=~р(х, у) и ф=ф(х, у) геометрически изображаются интегральными поверхностями в пространстве, определяемом координатными системами х, у, ~р илн х, у, ф В этих системах плоскость х, у рассматривается как основная н называется физнческои плоскостью илн плоскостью независимых переменных Отыскание этих решений в окрестности некоторой исходной (начальной) кривой у=у(х), удовлетворяющих заданным на этой кривой дополнительным условиям, составляет содержание задачи Коши. Такими дополнительными условиями являются значения искомой функции ~р(х, у) илн ~(х, у) и первых производных ~р„Я,) нли щ(~„), называемые начальными данными Коши.
Отметим, что задание на начальной кривой у(х) самой функции, например фх, у(х)1, и одной нз ее первых производных ~р„=дфду автомати- 198 чески определяет другую производную ~„=дфдх. Эго следует из соотношения ~у~х, у(х)1 да[», у(х)1 ду1». У(х)1 ~У Их дх ду их ' (5.2.1» где и= р (или ф ), з=~р.„(нли ф~), 1=~р„, (нли ~,-„) являются нторымн частными производными; значения А, В и С равны коэффициентам прн соответствующих вторых частных производных; величина Н определяется свободными членами в уравнениях (5.1.8), (5.1.25) . Будем искать решение уравнения (5.2.1) в окрестности начальной кривой АВ (рнс.
5.2 1) в виде ряда. В некоторой точке М (хо, уо) искомая функция Ч(хо, уо)=т(х, у)+~ — 'Г(Ьх)" ' + — "(Ьх) 'Лу ' + ~Ы 1 1 д» 1 д„— 1ду и-1 ( ) ~) „, + +(~) (5.2.2) где Ф(х. у) — значение этой функции в заданной точке М(х, у) на начальной кривой; Лх=хо — х; Ау=у — у. Вместо ~р в (5.2.2) может фигурировать функция ь. Ряд (5.2.2) дает искомое решение, если на заданной крнвой су'цествуют н известны значения функций ~р (или ~у), а также их им и л оиЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 которое получается из формулы для полной производной от сложной функции двух переменных х и у в предположении, что начальная кривая задана и, следовательно, известна зависимость у от х.
С геометрической точки зрения задача Коши заключается в отыска- н нии интегральной поверхности в пространстве х, у, ~р (или х, у, ф), проходящей через некоторую заданную Яр д пространственную кривую. Проекция С'Ц этой кривой на плоскость у, х и пред- '~Ра Ур) ставляет собой упомянутую начальную кривую у=у(х) на этой плоскости. Решение задачи Коши применительно к исследованию сверхзвука- х вых течений газа н разработка состветствуюшего метода характеристик иаи дю, ии которой нэаестпринадлежат советскому ученому иы искании функции, а такпроф. Ф. И.
Франклю. же ее перине производные Чтобы рассмотреть задачу Коши, представим уравнения (5.1.8) и (5.1.25) в общем виде: Аи+ 2Вз+С1+Н=О, производные любого порядка. Так как на этой кривой первые производные (обозначим их через р=~р (нли ф,) и д=щ (или ф„и заданы, то необходимо дополнительно найти на ией вторые прайзводные, а также производные более высокого порядка. Таким образом, решение задачи Коши связано с отысканием условий, при которых возможно определение старших производных на заданной кривой. В дальнейшем ограничимся определением вторых производных Так как этих производных три (и„з и г), то нужно составить столько же независимых уравнений для их нахождения. Первым из них будет уравнение (5.2.2), которое удовлетворяется нз начальной кривой АВ.
Два других получаются из следующих известных соотношений для полных дифференциалов функций двух независимых переменных, имеющих места на этой кривой: Ыр = (др/дх) Ых+ (др/ду) Ыу =пах+ я1у; Хд=(дд/дх) Ь+(дч/дуру=8их+ау Таким образом, система уравнений для определения вторых произ- водных запишется в форме: Аи+2Вз+С1+ Н =О; ~~и+ ауэ+ О -~ — г~р =О; О.
а+ Ыхэ+а~у1 — Ыд= О. (о.2,3) Эта система уравнений решается относительно неизвестных и, з и 1 при помощи определителей. Если для главного и частных опреде- лителей ввести обозначения соответственно Ь и Л~, Л~, Ьь то а = ь„/д, = ь,/л, г = ь /л. Из этих соотношений следует, что если главный определитель Ь не равен нулю на начгльнои кривой АВ, то вторые производные и, к и 1 вычисляются а д н о з н а ч и о. Рассмотрим случай, когда кривая выбрана таким образом, что иа ней главный определитель равен нулю, т е.
А 2В С Ых Фу О О Ых Иу Отсюда следует, что А (йу/с~х)' — 2В фу~'с~х) — ' С =- О. (5.2.5) Из курса математики известно, что при условии равенства нулю главнога определителя Ь системы уравнений (5.2 3) на кривой, выраженной уравнением (52.5), вторые производные и, я, 1 (5.2.4) либо определяются неоднозначно, либо вообще ие могут быть определены через ~р, р н д.
200 вмяв оЫ>-1алрь.гп — Самолет своими руками Рассмотрим квадратное уравнение (5.25). Решая его относительно производной ду~Фх, получим фуфло)1,2=у1,2=~1/А)(В + $  — АС)- (5-2.б) — Н 2В С ~Хр йу 0 — ~,у ~р [ Ну'а 2Ву'р'+ С ~р' — у'д'ф (5.2.7) Фд Фх Иу А — Н С гй~ Ыр О О сУд Ыу =ф~)~~Ау р +Ну +Сд); ~5.2.8) А 2 — Н Ых Ду г~р ~ у ~)2 [А (ук к к) 2Вд~ Н1 (5 2 9) О Ух ад где р'.=йр~йх, д'=г~д~рА.
201 вмяв овЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Это равенство определяет наклон касательной в каждой точке начальной кривой, на которой главный определитель А=О Нетрудно видеть, что (52.б) является дифференциальным уравнением двух семейств вещественных кривых, если В~ — АС>0.
Такие кривые, в каждой точке которых главный определитель системы (52.3) равен нулю, называются характеристиками, а уравнение (5.2.5)— характеристическим. Из сказанного вытекает условие, при котором возможно однозначное определение вторых производных на начальной кривой: никакой элемент дуги этой кривой не должен совпадать с характеристиками В отношении однозначного определения высших производных, входящих в ряд (5,2.2), действует то же условие Ьч~0.
Следовательно, если Ь4'=О, то все коэффициенты ряда 152.2) однозначно определя1отся по даичым на исходной кривой. Таким образом, условие ЛФО является необходимым и достаточным для решения задачи Коши. Эта задача в математической теории дифференциальных уравнений в частных производных имеет основное значение, и формула (5.22), вообще говоря, может быть использована для расчета движения газа Однако с точки зрения физических приложений, в частности расчета сверхзвуковых газовых течений, ббльший интерес представляет задача определения решения по данным на характеристиках, т е.
и е г о д х а р а ктеристи к. Этот метод может быть получен из анализа задачи Коши и заключается в следующем. Предположим, что начальная кривая АВ совпадает с одной из характеристик и вдоль нее равен нулю не только главный определитель системы (5.2.3), но и частные определители Ь„=Ь„=Л~ — — 0 При этом если, например, определители Л и Л~ равны нулю, то равенства нулю остальных определителей удовлетворяется автоматически. Чтобы доказать это, вы:ислим частные определители: Так как сыч~'=О, то нз условия А~ =0 вытекает равенства А (у'~ — р') — 2Вд' — Н =О. (5.2.1О) Из условия А=О налучено уравнение ~5.2.5). Умножая это уравне- ние на (р' — у'д'), а ~5.2.10) — на у" и складывая нх, найдем — Оу' — 2Ву'р +С ~р — у д~=О.
Сравнивая это выражение с (5,2 7), видим, что определитель |5, =О. Если теперь уравнение (52.5) умножить на су', а (5.2.10) — на у', та после вычитания получим Ау р +йц+Сд~ =О, что согласно (5.2.8) соответствует равенству нулю определителя Л,. Равенство нулю главного н всех частных определителей, как доказывается в теории систем алгебраических уравнений, означает, что решения системы 1523), хотя и неоднозначные, могут существовать. Нри этом если одно нз решений, например для и, является конечным, то конечнымн будут н решения для з н ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
