Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 40
Текст из файла (страница 40)
$ %.3. ХАРЛКтЕРЙСТННН Усновни совместности ммчкл оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Уравнения (5.2.5) и (5.2.10), определяющие условия, при которых решения для и, я и 1 существуют, хотя и неоднозначные, называются у с л о в н я и н с а в и е с т н о с т н. Геометрически первое нэ этих уравнений представляет собой два семейства кривых— характеристик в физической плоскости х, у, а второе уравнение— два семейства кривых — характеристик в плоскости р, д. .Всякое решение задачи о сверхзвуковом движении газа, найденное путем решения уравнений характеристик (нли условий совместности), и является решением основного уравнения г а з о д н н а м н к и ф.1.8) нли (5.1,25) . Доказательства вытекает иэ так называемой т еа р е и ы э к в н в а л е н т н а с т и, в соответствии с которой уравнения характеристик ~5.2.5) н (5.9.10) эквивалентны основному уравнению ф.1.8) илн ~5.125) ~доказательство этой теоремы приводится в 120]).
С геометрической тачки зрения доказанная эквивалентность означает, что решение уравнений характеристик дает также отображение некоторой плоскости х, у на плоскость р, д, прн котором точки кривых, определяемых дифференциальным уравнением 15.1.8), соответствуют тачкам кривых, определяемых дифференциальным уравнением (5.1.25). Таким образом, каждой точке на характеристике в плоскости х, у соответствует определенная точка на характеристике в плоскости р, д. Очевидно, указанное соответствие может быть установлено разлнчнымн способами в зависимости от заданных граничных усло2о2 называть сопряженными.
Учитывая выражения ~5.3.1) и (53.2), получим для характеристик в плоскости х, у уравнение Э.,2=кХу/Их=~ 1ДЪ" — а')1 (Ь' 1'„+ а ~~ ~ ~ — а'). ~5.3.3) Характеристики в плоскости х, у имеют определенный физический смысл, который можно установить, если определить угол р~ между вектором скорости У в некоторой точке патока (рис. 5.3.1) и направлением характеристики в той же тачке. Этот угол определяется при помощи уравнения (5.3.3), если отнести его к местной системе координат хь у1 с началом в точке А и с осью х,, совпада- Рис. 53.1. Схема к опредечениы фиаического смысла харак- теристик: 1 — направление характеристики верного семейства в точке Л; 2— характеристика первого семейства с угловым коэффициентом Ан,т— направление характеристики второго семейства и точке А; 4 — характеристика второго семейства с угловым ковффициеитом га ющей с направлением вектора К При таком выборе осей координат 1' = У, К„= О и, следовательно, 112 1КР12 ~ (М~ Ц Ю ° Отсюда видно, что и представляет собой угол Маха.
Таким образом, установлено важное свойство характеристик, заключающееся в том, что в каждой точке, принадлежащей характеристике, угол между направлением касательной к ней и вектором скорости в этой точке равен углу Ма х а. Следовательно, сама характеристика представляет собой линию сл а б ы х возмущений (или л и н и ю М а х а), имеющую в общем случае форму кривой. Определение характеристики как линии Маха имеет непосредственное приложение к двухмерному плоскому сверхзвуковому потоку. Если же имеется в виду двухмерное пространственное (осесимметричное) сверхзвуковое течение, то линии Маха (характеристики) следует рассматривать как а б р а з у ю щ и е и о в е р х н ости вращения, являющейся огибающей конусов Маха с вершинамн в точках возмущения ~иа характеристиках).
Поверхность, ограничивающая некоторую область возмущения, называется волновой поверхность ю или пространствен н ой волной Ма х а. В гл. 1Ъ' были рассмотрены волны сжатия, вознчкаю1пие в газе, сверхзвуковое движение которого характеризуется п он ы ш ен и ем да в л е н и я. Однако такое движение может сопровождаться и он и ж е н и е и д а в л е н и я, т. е. сверхзвуковое течение будет происходить с расширением, а линии Маха будут характеризовать 204 тгтттт л оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 где р — угол наклона вектора скорости к оси х; знак плюс относится к характеристике первого семейства, а минус — к характеристике второго семейства.
Уравнение (5.3,4) является дифференциальным уравнением для характеристик в физической плоскости. Характеристйки в плоскости р, д. Если в уравнении (5.2.10) величину у' заменить первым корнем характеристического уравнения (5.2.5), равным у'=Е~, та полученное уравнение (5,3.5) АУ ~ — р) 2вд — и=О будет представлять собой первое семейства характеристик в плоско- сти р, о.
Аналогичная замена у' вторым корнем у'=Хг дает урав- нение для второго семейства характеристик в тай же плоскости. (5.З.6) Ад,~ — ) — 2Н~ — и=О. Уравнение для характеристик (5.3.5) н (5.3.6) можно преобразо- вать, воспользовавшись свойствам корней квадратного уравнения (5.2.5), согласна которому (5.3.7) л,+3 =2В/А.
Рассматривая первое семейство характеристик и внося в (53,5) соотношение Ат.1 — 2В= — А~А, полученное из (5.3.7), запишем уравнение л рн+ р )+я=о. (5.3 8) 205 ммчкл оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 волны разрежения. С этими линиями Маха совпадают соответствующие характеристики, являющиеся в общем случае кривымн линиями (для плоского патока) или поверхностями, образованными вращением этих линий (для пространственного осесимметричнога течения). Если же в потоке имеются линии Маха (характеристики) в виде прямых линий, та им соответствуют простые в ол н ы р а з реже н и я, скорость распространения которых имеет адно направление.
Линни Маха, соответствующие волнам разрежения, будем в дальнейшем называть линиями слабых возмущений, используя терминологию, принятую для случая слабых волн сжатия. Прн этом нада помнить, что в расширяющемся сверхзвуковом потоке никаких других волн разрежения, кроме слабых, не возникает, иначе следовало бы допустить вазможность образования «сильных» волн разрежения (скачков разрежения), которых, как известно, в реальных условиях течения быть не мажет. Если в некоторой точке физической плоскости известны скорость патака и скорость звука, та указанное свойство характеристик позволяет определить нх направления в этой тачке, вычислив угол Маха по формуле р= -+-агсз1п (1/М). Относительно координат х, у (см. рнс. 53 1) угловые коэффициенты характеристик будут определены нз уравнения ~а,2=~9/~~~=МР+ Р), [5.3.
Ц Аналогично для характеристики второго семейства находйм АР,~ +р )+О=О. (5.3.9) Учитывая выражение (5.3.4), уравнения (5.3.8) и (5.3.9) можно переписать в виде — -~-~аР+ ~) — + — =о, Ир О Ых ох А (5.3ЛО) где знак минус относится к характеристикам первого семеиства, а плюс — к характеристикам второго семейства. Уравнение (5.3 1О) определяет сопряженные ха р а ктернстики в плоскости р, д. «:ио~ств© оРтог~ивиьиОстм хаРакт~Рмстмк Еслп заменить дифференциалы в уравнениях для характеристик конечными разностями, то полученные уравнения будут уравнениями прямых в соответствующих плоскостях х, у н р, д.
Рассмотрим уравнения, в частности, для характеристик первого семейства в плоскости х, у и второго семейства в плоскости р. д. Из (5.3.4) следует, что для элемента характеристики — прямой а плоскости х, у — уравнение имеет внд У вЂ” Уо = («к %о) "1 (5.3.4') где хо, д~ — координаты некоторой фиксированной точки; Х~ — угловой коэффициент, рассчитанный по параметрам газа в этой точке; х, у — текущие координаты. Уравнение для элемента характеристики второго семейства в плоскости р, д запишется в соответствии с (5.3.9) следующим образом.
А~я (д — до)+ А (р — ра)+ Н (х — Х) =О, (5.3.9') где ро, до — значения функций р и у в точке хо, уо физической плоскости; угловой коэффициент Еь а также значения А Н рассчитаны по параметрам газа в этой точке; р и д — текущие координаты. Из уравнений видно, что в плоскости х, у наклон прямои определяется угловым коэффициентом Хь а в плоскости р. д — угловым коэффициентом — 1/Х1 Аналогична доказывается, что элемент характеристики второго семейства в плоскости х. у имеет угловой коэффициент Ц, а элемент характеристики первого семейства в плоскости р, д — угловой коэффициент — )/Хр, Из этого следует, что характеристики разных семейств в обеих плос костях — пер пеяд и куля ры. 1 Указанное свойство позволяет определять направление характеристик в плоскости р, д, если известно направление сопряженных характеристик в физической плоскости.
Предположим, что в некоторой точке Р(хо, уо) плоскости х. у известны составляющие скорости $'..ц, 5'„о и значения функций р,. до. Направления линий Маха в этой точке (рис. 5.3.2) можно определить по уравнению (5.3.4') 20ь ммчкл оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукйзит1 Злементу характеристики РУ первого семейства в плоскости х, у .оответствнт элемент характеристики второго семейства — прямая ~ плоскости р, д, заданная уравнением (5.3.9').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
