Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(6.1.7) Таким образом, (6.1 6) можно записать в виде ь 2 с„= у(х) ых, ~„ь Аналогично вычисляется коэффициент момента: ь 2 Г о (6.1,9) В соответствии с формулами (6.1.8) и (6.1.9) коэффициенты подьемной силы и момента от давления зависят от распределения вдоль профиля интенсивности циркуляции. Это означает, чта обтекание профиля можно рассчитать, заменив его системой непрерывно распределенных вихрей. По формуле Бно — Савара (2 7. 12) элемент распределенного вихря с циркуляцией ИГ=у(х)дх индуцирует в точке с абсциссой 229 ммчкл о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими рукниит1 Рассмотрим циркуляцию скорости по контуру, имеющему форму прямоугольника с измерениями йх, ау и охватывающему элемент профиля.
Б соответствии с рис. 6.1.1 циркуляция $ (рис. 6.1.1) вертикальную скорость до=ай'/[2тс(х — Ц)=у (х) Ых/[2п(х — Ц]. Ско ость, иид ци ованная в этой точке всеми вих ямн 1 у(х1нк Зв к — ~ (6.1.1О) где ун=ув(х), у«=у«(х) — соответственно уравнения верхнего и нижнего контуров профиля. Таким образам, интенсивность распределения вихрей у(х) определяется интегральным уравнением А%' х — $ ~1х (6.1. 12) Введем вместо к новую независимую переменную 6, определяемую равенством х=(Ь!2) (1 — созЪ). (6.1,13) Будем искать решение уравнения (6.1.12) в виде тригонометриче- ского ряда Фурье; Ао АД ~ + Ая в1п (л9о) «1 т(В,)=2~ „ (6.1.
14) в котором переменная ео в соответствии с (6.1.13) связана с координатой х=5 уравнением ~=(Ь/2) (1 — В,). (6.1.15) Произведем замену переменных в (6 1.12). Диффеоенцируя (6.1.13), находим Ак=(ф/2) а1п ОН6. (6,1.16) Осуществляя подстановки, получаем А, г"е1~(е/21а1п ме 1 " ~ а1а(«е)апм ~, 11 и ~ сааба — ео«Н и «1 со«во 6 = (о ° о где р(6,) — фу,Мх) . 230 мяча о$Ф-1алрь.га — Самолет своими руками?1 Согласно граничному условию, и/(Ь' +др/дх) =ду/дх. Учитывая, что профиль тонкий, можно принять Р +дфдх 1~, а производную пу/дх вычислить по заданному уравнению средней линии у=у(х)=О.Б(у,+ у„), (6.1.11) Так как сф(6/2)=(1+соэ6)/э1п 6, то л л л ' с19 (О/2) в1п ОИЭ (' 49 (' сов ОФО сов 9~ — сов 9 .) сов Оо — сов 9,) сов Оо — сов 6 Ь о о Преобразуем второй интеграл в (6.1 17): я вЫ (лО) в(а ЫО 1 сов 1(л — 1) 9] оО сов ОΠ— сов О 2 сов Оо — сов 9 Можно также убедиться в тоы 1Ц, что л 1 сов 1(л + 1» О] ~О 2 сов Оо — сов 9 Л ~ с ОЛ =-О; 1 = — ПФ сов Оо — сов 6 .) сов 6о — сов 6 о В этой же работе 1Ц показано, что при целом гп имеет место формула л сов (т9) ИВ Юо (шВа) сов Ов — сов 6 в)п 66 Следовательно, л в)п (л6) в1п ЫО м )' в1п 1(л — 1) Оо] сов96 — сов 9 2 1 Ип Оо О в!и 1(л+ 1) Оо] в~п Оо После подстанавок значений интегралов в (6.1,17) найдем — Ац+~ А,сов(аВ,)=~(6,).
л-1 (6.1. 18) Проинтегрировав обе части равенства (6.1.18) от О до л, получим зависимость для коэффициента Ао ряда Фурье: Ао= — — 1 1(6) сй. л (6.1.19) Умножая поочередно на соэ О, соа 20, найдем выражения соответст- венно для коэффициентов Аь Ав и т. д. Таким образом, я А„= — ' О(6) (п6И6. зй (6.1.20) м)и)и'л оКЬ-1а.ч)ь.гп — Самолет своими руками?1 Рассмотрим зависимость (6.1.8) для коэффициента подъемной силы. Переходя в ней к переменной О и производя подстановку 2И (6.1,16), получим сарж ) у(8) в~п ~~8- 1 Г а (6.1.21) С учетом (61.14) ОО Я с„„=2А,~ с1~ — з1п на+2 А„з1. (.В) з1п Ив, 6 2 о и-ю о Интегрирование дает (6.1.22) с„„,=2ж(А +А,/2).
Чакнм образом, коэффициент подъемной силы зависит ат первых двух коэффициентов ряда. Подставляя в (6.1.22) выражение (6 1 19) и формулу (б 1.20), в которой п=1, найдем с„„,= — 2 ~~(3)(1 — совол. (6.1.23) Произведя замену переменных в (6.1.9) для коэффициента момен- та, получим щ,„.= — ~у(о(1 — соя1) в!и ы1. о С учетам выражения (6.1,14) для у(6) З ВЭ Ф А, (1 сов Е)Ч — А„з1п (пе)(1 — саз 6) з1п Ыа. и 1 В результате интегрирования ю = — (и/2) (Аа+ А~ — А2/2).
16.1.24) (6.1.25) С учетам (6.1 22) щ „,= — (л/4)(А~ — А2) — (1/4) с „,. (6 1.26) Определяя А~ и А~ из (6 1.2О) и производя подстановку и (6.1,26), получим м щ, = — — ) ~ (8) (саз 8 — сов 28) дб — — с„„,, (6.1.27) 1 Р 1 а экие'л оИ>-1алрь.гп — Самолет своими руками?! Рассмотрим связанные с профилем координаты хь уь в которых уравнение средней линии будет у~=у~(х~), а угол наклона касательной определяется производной Ну~/~Ь~. Этот угол (рис.
6.1.2) ф~— - р+а, где рмФу/Фх. Определяя отсюда угол ф=~~ — а и внося ега 232 ся,™(с+ао); (6.1.30) Из (6.1,28) следует, что при а= — ао коэффициент подъемной -.илы равен нулю. Угол а= — ао называется углом атаки н ул е~ой подъемной силы. Коэффициенты во и п~ вычисляются Рне. 6.1.2. Средняя лнння профиля 1о заданному уравнению средней линии профиля при условии, что ~ выражении для функции Р~ (х~) переменная х1 — — х1/Ь заменяется огласка (6.1,13) зависимостью х1 —— (1/2) (1 — ооз 8), В соответствии с (6.1,28), (6.1.29), а также (1 3 12) и (1.3.18) 1ожно опРеделнть коэффициент центРа давлениЯ с„.я=ля/Ь и отюсительную координату фокуса х~ =х~/Ь: '1з этих соотношений следует, что координата центра давления зависит от угла атаки и формы профиля, в го время как фокус размещается в фиксированной точке, удаленной от передней кромки на >дну четверть хорды. Для симметричного профиля ео=ро=О ччто ледует нз формул (6,1.30), в которых р1=дуцЫх1=0).
поэтому величина с„„как и относительная координата фокуса, равна '/4. мяча о$Ф-1алрь.гп — Самолет своими руками?1 ..качение в (6 1.23) и (6.1.27), получим; (6.1 28) (6.1.29) или Ю'=у+ сф= — Й~'(л+ юу) = — Й~о. Нетрудно показать, что конформная функция (6.2.3) преобразует поставленный вдоль патока отрезок прямой на плоско- сти а в окружность на плоскости ~ (рис. 6.2,1, в, а). Лействнтель- но, нз (6.2.3) следует, чта так как для точек, расположенных на отрезке, а=~у( — 2й~у(2Я, а=О), то «=~+юЧ=~у/2 ~ ~ГХ~2 у~!4 Разделяя вещественную и мнимую части, получим: Ч=Ф2, $=~- ~Р— у'14.
откуда ~'+т1'=Й~. Таким образом, тачкам, располагающимся в плоскости о на вертикальном отрезке, соответствуют точки, находящиеся на окружности в плоскости ~. Заменяя и в (6.2.2) на значение из (6 2.3), получим комплексный потенциал потока около кругового цилиндра радиуса Я, обтекаемого плоскопараллельныы потоком со скоростью У: Ю'= — й~'(« — Х~/«).
(6.2.4) Чтобы получить комплексный потенциал для теченчя окала пластинки, расположенной поперек потока (рис. 6,2,1, 6), внесеы в (6.2.4) вместо ~ следующее значение, полученное нз конфармной формулы (6,2,1): С=лф + ф~Уу'4 — Я~- (6.2.5) Тогда / цг — У~2 2 4 /2~1 Ч4 — И 235 ммчкл оКЬ-1алрь.гп — Сжаолет своими рукниит1 + Ь =$+ й+~Ф вЂ” й)((8+ ч'). Так как Р=;2+ф то после разделения на вещественную и мнимую части получим. я=2$, у=О.
Таким образом, точкам окружности радиуса Я в нлоскасти ~ соответствуют точки на отрезке горизонтальной прямой длиной 2а=4Я в плоскости а. Теперь определим комплексный потенциал для течения около кругового цилиндра. Для этой цели вновь воспользуемся методам конфар много преобразования, использовав известную функцию комплексного потенциала для потока около пластинки, расположенной вдоль патока. Эта функция имеет вид Так как для точек, расположенных на пластинке, о=а, гд~ — а(я(а (а=2Й), то 4 м72 -1- 1 И вЂ” ~Ф(4 Отсюда потенциальная функция +1;~(4У д2 ~1; ~/~а ~г" (6.2.~) где знак плюс соответсввует верхней поверхности, а минус — нижней.
Вычисляя производные ду/дв, можно найти скорость на нластинке и рассчитать давление. Из полученных данных следует, что давление на верхней и нижней сторонах пластинми одинаковое. Следователы1о, в рассматриваемом случае безотрывного обтекания пластинки поперечным аотаком идеальной (невяэкай) жидкости сопротивление пластинки отсутствует.
Этот интересный аэродинамический эффект будет рассмотрен иа примере обтекания плоской пластияки, расположен~ной в потоке под некоторым конечным утлом атаки, в $6.3. Поток, характеризуемый потенциальной функцией (6,2.7), наказан иа рис. 6,2 1, б Эта течение приставляет собой б е с ц и ркул яционн ый латок окало пластинки„полученный нри наложении на невозмушенное течение с потенциалом И~ = — П~С (6.2.8) потока от диполя с потенциалом Ф',„„=+ й~ (Л~/О, где ~ определяется конформной функцией (6.2.5), (6.2.9) $ $.3.
ТОНКАЯ ПЛАСТИНКА ПОД УГЛОМ АТАКИ Ф + а2 у 2 ю а2 2 =$г' ~ ~ ~а$/ ф~~2 4р2 16.3.1) ммчкл о$сЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукаиит1 Вычислим потенциальную фувкцию для возмущенного течения несжимаемой жидкости окало тонкой пластинки, находящейся под углом атаки а, используя, как и в предыдущей задаче, метод канформного преобразования.
Расположим пластинку в плоскости комплексного переменного о=х+~у вдоль действительной оси х. Если предположить, что рассматриваемое течение бесциркуляционное, то комплексный потенциал такого течения можно представить как сумму потенциалов продольного ЯГ1 — — Ъ' о и поперечнага 5~2 обтеканий со скоростью невазмущенного потока У=аР' (рис, 6.3.1). Суммарный комплексный потенциал Ф'= Ф'1+ Ф'2 = С учетом формулы (62.7), в которой г заменена на х, суммарный потенциал скоростей на пластинке 4Р— ~,7 А ~ Цфт 1Утни2 Х2 (6,3.2) По этому значению потенциала находим состанлнющую скорости.
'тт ='т' + н'т' хфа — хт (6.3.3) Вторая составлякицая скорости на тонкой пластинке Р„=О. Из (6.3.3) следует, что у передней (х= — а) и задйей (х=а) кромак скорость Р„ бесконечна. Физически такая картина течения неосуакствима. Ограничения скорости у одной из вромок, например у задней, можно добиться, наложив на рассматриваемое течение Рнс. 63.1. Схема обтекания плоской пластивки вод углом атаки ц я р к у л я ця о и и ы й по то к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
