Краснов Н.Ф. Аэродинамика. Часть I (1976) (1245221), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В плоакости ~ потенциал циркуляционного потока определяется в соответствии с (29.22) выражением (6.3.4) И,= — (Г~Р ) 1пС. Поставив сюда значение ~ иэ (6.2 5), получим (6.3.5) Суммируя (6.3.1) н (6,35), найдем комплексный потенциал цирк ул я ц ион и о-поступ а тел ь но г о и о т о к а около наклонной пластинки; у у1+ Иу 2+ уа с + тан' Ус с'-' — 4,9з — 1н — + — — ттт . (6.3.6~ 23т 2 4 Циркуляцию Г определим на основе гипотезы Жуковскогоо — Ч а и л ы г и и а, в соответствии с которой скорость в точке схода иа задней кромке пластинки имеют конечное зна чение.
Это значение скорости можно получить, как уже извес~но из теории конформного преобразования, в виде производной Л~фо от 237 мчтъкл оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими руквмите дФ'/Ы~= фифа) (Нофа), (6.3.7) где Й' ~и И~ — соответственно комплексные потенциалы для цилинд- ра и пластинки. Согласно гипотезе 7Куковского — Чаплыгина вели- чина ИЦЫНА ограничена по модулю. Так как производная й~~Щ, выч,исляемая согласно (6.2,1) по формуле равна нулю на цилиндре в точке ~=К, соответствующей точке на задней кромке пластинки, то, следовательно, производная юг=О.
Комплексный потенциал для цилиндра 1~=1~~+1~з+ 1~з Потенциал ЯГ, характеризует течение в направлении оси, соответ- ствующее потоку около .пластинки в там же направлении со око- ростью $~ . Он получается путем замены в формуле ЯГ~= Р о ве- личины о на значение (6.2.1): К, = $~'„(~+/Р/Ц. Коыплексные потенциалы ~р и й'з определяются соответственно ура'вненнями (62.4) и (6.3.4).
Заменим л первом из иих Ф' на оХ н найдеы суммарный комплексный потенциал: (6.3.8) Вычислны производную: — =Ъ' ~1 — — ) — га$~' (1+ — ~ — . (6.3.8') Для координаты ~=Я, соответствующей точке на задней кромке пластинки, производная сЛУЩ равна нулю, т. е. 2Ы ' — П'/(2лд) =О. Отсюда (6.3.9) Г= — 4яий$~', или, так птак 2й=а, Г= — 2яца$' . (6.3.9') После постановки этого результата в (63.6) н дифференцирова- гзн ммчкл о$Ф-1алрь.гп — Сжаолет своими рукаиит1 комплексного потенциала Й для цилиндра. В свою очередь этот потейциал позволяет найти в соответствующей точке на цилиндре комплексную скорость как производную дЮЩ, которая согласно правилам дифференцировании сложной функции равна ния по а найдем комплексную скорость: ~Ф ййР о =Ъ' — й~',=1г" + + ф а2 — 4Я2 2чшаУ 2 ] 6 + ~ — + а~Фа — ж 1 У" — 4и! После простых преобразований и замени 21=а получаем — =Ь' — И~' =К 1+ юа а+а На поверхности аластинки (а=х) аЧР х — а 4а =У' — й'„=$с' 1+ 1а х+й Так как ~х~(а, то — =Ь'„— Й~' =$~' 1+ а ~6.3.1О) [6.3.11) (6.3.11') откуда следует, что полная скорость на пластинке $~'=$с' = $г' 1 ~ а (6.3.12) — р(з1п 6+ ю соз 6) аз= — ~ ре — 'еаза, (6.3,13) вмяв оКЬ-1алрь.гп — Самолет своими рукамит1 знак плюс отвосится к верхней поверхности, а знак минус — к нижней.
На задней кромке (х=а=2Й) скорость ранна Ф', а на передней кромке (х= — а) скорость получается бесконечно большой. В реальных случаях толщина передней кромки не равна нулю, в частности, носок может иметь хотя и небольшой, но конечный радиус кривизны. По этой причине скорости иа такой кромке»ринвыают 6ольшйе, но к о н е ч н ы е зйачения.
Для определения силы, действующей на пластинку, воспользуемся общим выражением для главного вектора сил гидродинамических давлений, приложенных к неподвижному цилиндрическому телу произвольной формы, обтекаемому установившимся потоком несжимаемой жидкости. Введем по аналогии с комплексной ско- РОСтьЮ пОНЯтИЕ О КОМпЛЕКСНОй СИЛЕ У=Х вЂ” 1У, ОПРЕДЕЛЯЯ ЭтУ СИЛУ как зеркальное отражение главного вектора У сил давлений от действительной осн.
Рассматриваемый вектор Р определяется по формулам (1Л.2) и (1-3.3), в которых коэффициент трения с~„принят равным нулю, в следующем виде: Р=л а~: — у р!С05~й1 — 1С05~ЛУМЫ с где и — направление внешней нормали к контуру С обтекаемого тела, а 9 — угол между элементом контура ~я и осью х (рис. 6.3.2). Так как йо=йх+Ыу=йз(сов 6+ю э1п Н~=еМз; ай=Их — Ыу=Ия(сов о — ю з!и 8)=г-"Мю, а давление определяется по уравнению Бернулли то Г= — 3С УШ + е Х $ Ь= Р Х Г2Ш 2 ~ 2 с с Учитывая, что на основании (6.3.14) й~=е-а'аЫа, а также прини- Рнс. 6.3.2. Контур н потоке несжнмаемой жидко- сти мая во внимание, что в соответствии с условием безотрыиного об- текания комплексная скорость в рассматриваемой точке контура Р— Х т — ю ~ Раеь 2 У С (6,3.17) 11оскольку для потенциального потока комплексная скорость Г=ЮГ/й~, то Р =Х вЂ” 0'= — — аЬ.
— ~р /~Я~ ~ (6.3, 18) 240 ямал оКЬ-1алрЬ.гп — Самолет своими рукамит1 Выражение (б 3.18) называется фар м улой Жуковского— Чаплыгина. Интегрирование в (63.18) можно производить по другому контуру, охватывающему заданный контур С обтекаемого тела. В качестве такого контура выберем контур круга К, комплексная скорость для которого в нлоскостн а представляется в виде и'Ж/На = 17„— ю1'/(2ла) -~- А/а~, (6.3.19) пде Г..=У вЂ” Ю„; А — коэффициент, определяемый при помощи уравнения, аналогичного (6.3.8). Квадрат комплексной скорости Е ° + ф2 Подставив это значение в (6.3.18), найдем ~1а Здесь первый н третий интегралы равны нулю. Интеграл вычисляется с учетом формулы о=х+1у=гИ~ (рис. 6.3.2) и равен <~ — !па~, =1л(ге~Ф)~~ =ш. 2г Таким образом, Р=Х вЂ” И'=юру Г или Х вЂ” й'=1рЬ' Ге ", (6.3.2О) где У..— абсолютное значение скоростн набегающего потока.
Если его направление совпадает с горизонтальной осью (6 = =л), то, очевидно, Р=Х вЂ” д'= — юру' Г. (6.3.21) Отсюда следует, что ~Р~ =1 =рК„Г, (бЛ.22) Это выражение называется формулой Жуковского. Из (6,321) следует, что действующая сила представляет собой вектор, перпендикулярный вектору скорости набегающего потока, и является, следовательно, подъемной силой. Ее направление совпадает с направлением вектора, который получается путем поворота вектора скорости Г на угол и/2 навстречу циркуляции. Эта сила называется силой Жуковского Непосредственно из (6.3.21) следует, что Х=О. Таким образом, при безотрывном обтекании поверхности потоком невязкой несжимаемой жидкости сопротивление, связанное с распределением дав- 241 метл оИ~-1алрь.гп — Сныолет своими руками?! леиия, разно нулю, Этот аэродинамический эффект известен как парадокс Эйлера Даламбера Такое название соответствует тому факту, что а действительности сопротивление имеет место, так как всегда происходит соответствующее перераспределение давления, вызванное отрывом потока и воздейспаием трения.
Примеинм формулу (6.3.22) для вычисления подъемной силы плоской пластинки. Принимая ио внимание значение циркуляции (6.3.9'), получим (рис. 6.3.3) У'=2каарУ . (6.3.23) Определим нормальную й' и продольную Й составляющие сллы Жуковского: Я=1 соз а~К=2яаарУ~; (6.3,24) Я= — 3' з1П а — )'а= — 2КааарЪ'~ .
(6.3.25) Возникновение силы 1т, действующей вдоль пластинки против течения, кажется парадоксальным, так как все элементарные силы от давления направлены по у /7 3 нормали к поверхности. Эта Ф. составляющая силы Жуковского называется подсасыва! я ющей сил ой Физическая О природа ее возникновения сои~г стоит в следующем Предста- (Х ~ вим себе, что передняя кромка слегка закруглена. Тогда скорости вблизи нее были бы зиа- 7~ чнтельными, но не бесконечно Рис. 6.3.3- Схема снл, действующих большими, как это имеет мена властинку сто у передней кромки пла- Я вЂ” оодсвсмввмщвв вввв1 стинки. В соответствии с уравнением Бернулли разность между давлением у кромки и давлением на бесконечности будет отрицательной Возникающее разрежение и вызовет подсасывающую силу, предельное значение которой дается выражением (6.3.25) Это выражение для подсасывающей силы относится к тому случаю обтекания плоской пластинки, когда скорость вблизи ее передней кромки определяется по формуле (6.3.12).
В соответствии с этой формулой продольная компонента возмущенной скорости в указанном месте пластинки 11,= ~ аЪ' ф (а — х)/(а х). (6.3,2б) Выражение для подсасывающей силы можно обобщить иа случай произвольного задания скорости вблизи передней кромки. С этой пелью запишем (6,3.25) в виде .Г= — Я=яре', (6,3.27) 242 имел оИ>-1алрь.гп — Самолет своими руками?1 Рассмотрим теперь приближенную схему обтекании к р ы л а к а н е ч н о г о р а з м а х а прямоугольной формы в плане Как установил С.
А. Чаплыгин, присоединенный вихрь вблизи боковых кромок поворачивается и в виде пары вихревых жгутов уходит за крыло, приблизительно совпадая с направлением скорости набегающего потока, Расстояние е ~рис 641, 8) от вихревого жгута да боковой кромки зависит ат геометрических размеров крыла. Трким образам, гидродинамический эффект крыла конечного размаха мажет быть получен путем замены ега присоединенным и ~арой свободных вихрей, напоминающих букву П Эта схема крыла называется П - об р а з н о й с х е м о й Ч а п л ы г и н а.
Вихревая система, эк- О) у!о ф У внвалентная крылу конечного размаха, индуцирует в потоке жидкости д ои о л н.н т е л ь н ы е с к ар о с т н и этим вызывает скос потока, свойственный абтекани~о крыла конечного размаха, В основе вычислений индуци- Ь рованных скоростей и угла скоса патока, вызвансь ных свободпымн вихрями, ю лежат следующие теаре- Ч.. мы Гельмгольца. ПРИжЬюн напряжение вдоль ньй Фикрь вихря не меняется по величине, и, как следствие, Рнс б4,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
