Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Значит, С,=О и С, з)п)21=0. Как и для шарнирно защемленного стержня, С,=О, з!и й1=0. Наименьшее, отличное от нуля значение критического момента определяется нз условия И=п. Согласно выражению (12.14) находим 8)1„~= — Р СУ„Е.(. Выражение (12.15) принимает вид пз ~р=Стз!ив Рис.
448 (см. рнс. 448, а). Воспользовавшись методом приведения длины, как зто делалось для сжатых стержней, можно установить, что в случае защемленных концов (рис. 448, 6). а„,= — '," ~'и. ау„. $ 88. Устойчивость колец и труб при нагружении их внешним давлением Рассмотрим задачу об ус ойчивости кольца, сжатого радиальной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности д (рис. 449). При некотором значении этой нагрузки круговая форма кольца становится неустойчивой, и кольцо изгибается, принимая примерно эллиптическую форму (рпс, 449). Задачи об устойчивости плоской формы изгиба прн нагружении бруса поперечными силами оказываются существенно более сложными, чем рассмотренная выше, поскольку изгибающий момент в плоскости нагружения меняется вдоль оси.
э аз. устоичиБОсть кОлец и тРуб Выделим вз изогнутого кольца элементарный участок длиной пз (рис. 450). Местный радиус кривизны обозначим через р. Вудсы считать, что эта величиаз мало отличается от начального радиуса кривизны Й. В поперечных сечениях изогнутого нольца вознихают нормальные силы и изгибающие моменты. Нормальную силу представим состоящей Ри . 450 Рис.
449 нз двух частей; из слагаемого Ме, т. е. той силы, которая возникла в поперечных сечениях кольца до потери устойчивости, и из слагаемого Ф, представляющего собой малое изменение нормальной силы вследствие изгиба кольца. Таким образом, нормальная сила равна й!е+Ф. Из условий равновесия в докритнческом состоянии очевидно, что Ме=Ф Теперь составим уравнения равновесия для изогнутого элемента (рис.
450). Проецируя все силы на направление нормали, получаем пз оцэ+лΠ— ()у„+Ф) — =О, р или, учитывая выражение (12.16), У 1 11 ! г(() )У ,( )+— )с р г' Й г(5 рй Изменение кривизны обозначим через х: 1 ! — — — = х. Я (12.17) Далее, поскольку рее й, получим ! ия йг — ох -(- — — — — = О. )т г(з )та Составляем еще два уравнения равновесия: Е цй им — + — =О, — +() =О.
)т Лз ' пз Из трех уравнений равновесия исключаем величины Я н И. Тогда их 1,(э54 1 г(5! д — + — — + —.—. -=О, пз !1 пзз !се пз Ф 434 ГЛ. !З. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ или после интегрирования 1 г(зМ 1 еи+ — — + — М=Е!. Р гнз )эз (12.18) Ио момент М связан с изменением хривизны (12.17) известным соотношением Исключая из выражения !12.18) момент М, получаем уравнение относительно одного неизвестного к ззк , Е +дан=С, Пзз Еу (!2.!9) где дз = — + —. 1 е)7 Ез Еч' ' Решаем уравнение (!2.!9); и=С, +Сз з!и Ъ+Ез соз йк Е (12.21) Для замкнутого кольца критическую нагрузку проще нсего определить из условия периодичности решения (12.21).
Действительно, если переменное з увеличить на полную длину дуги кольца, т. е. на Рис 452 Рис. 45! 2к)9, функция к должна остаться неизменной. Иа для этого необходимо, чтобы Зз изменилось на величину, кратную 2п. Танин образом, й(з+2пй) — яз=2пп, где л — любое целое число. Тогда ВЕ=л. Согласно обозначению (12.20) получаем (пз — !) Еу Очр= )эз (12 22) Наименьшее значение, отличное от нуля, дар имеет при п=2: 8ЕУ (12.23) В этом случае кривизна к при обходе кольца получает два полных периш а изменения, как это видно на рис.
449. Кольцо изгибается по четырем полуволнам, принимая форму, близкую к эллипсу. 4 ат. энергети«1еский метод Если кольцо подкрепить четным числам 2л (п>2) равноотстоящих друг от друга опар (рис. 451), то изгиб произойдет по 2я полувалнам, и критическое значение 4 будет определяться выражением (12.22] для заданного п.
Результаты, полученные для кольца, без труда распространяются на случай длинных труб, нагруженных внешним давлением р (рис. 452). еач В данном случае 4= р!, а жесткость оболочки иа изгиб будет 12(1 — р ) ' где множитель 1 — р' в знаменателе является следствием «стесненносттп изгиба,— предположения, что образующие цилиндра (рис. 452) не искривляются. Таким об азам, (пз — 1) Ела Р«а=12(1 а) х(з' Более сложно выглядит задача определения критического давления в случае короткой оболочки, когда искрцвляется образующая цилиндра Точно так же сложнее определяются критические нагрузки для незамкнутых колец, т.
е, для арок. й 87. Энергетический метод определения критических нагрузок Энергетический лгетод определения критических нагрузок и энергетический подход к их определению — не совсем одно и то же. Энергетический подход содержит в своей основе поиск условий, при которых энергия равновесной системы сохраняет минимум (система остается устойчивой). Он широко используется в технике машинных расчетов и имеет различные модифика- у ции. О них мы сейчас говорить ие будем.
р Энергетический ме- д тод, название которого Рис. 453 вынесено в заголовок, представляет собой способ приближенного определения критических нагрузок. Он имеет довольно длительную историю развития и до недавнего времени занимал доминирующее положение среди практических расчетов инженерных сооружений.
Сейчас, однако, в связи с развитием вычислительных средств он в том виде, в каком традиционно применялся, потеснен другими, более эффективными методами расчета. Тем не менее о нем надо знать. Он может порой принести ощутимую пользу, и к нему следует во всяком случае относиться с должным уважениелг. Положим, что стержень (рис. 453) сжат силой Р, мень- шей критического значения, В этом случае он находится 436 ГЛ. ИЬ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ в устойчивом положении равновесия. Его можно изогнуть, прикладывая к нему поперечную нагрузку (сила Р,).
При переходе стержня от прямолинейной формы равновесия к криволинейной силы Р и Р, совершат работу, в результате чего увеличится потенциальная энергия изгиба стержня. Энергетический баланс системы можно выразить в виде уравнения У„,„= РА+ А (Р,), (12. 24) где А(Р,) — работа поперечной силы Р„а Х вЂ” перемещение точки приложения продольной силы.
Произведение РХ, в отличие от рассматривавшихся ранее случаев, множителя 1/2 не имеет, поскольку на пути Х сила Р остается неизменной. Одна и та же энергия изгиба У„„может быть получена при различных соотношениях сил Р и Р,. Из уравнения (12.24) видно, что при неизменном У„,„большей силе Р соответствует меньшее значение поперечной силы Р,. Возможен, очевидно, случай, когда переход от прямолинейной формы равновесия к криволинейной произойдет без приложения добавочных поперечных сил. Это имеет место, как Рис.
454 мы знаем, при критическом значении продольной силы. Уравнение (12.24) в этом случае принимает вид У„„= Р„,й. (12. 25) В обычных системах, например при изгибе балки, поперечные нагрузки производят работу на прогибах, являющихся перемещениями первого порядка малости. Полученное выражение (12.25) имеет своей отличительной особенностью то, что в нем учитывается работа внешних сил на перемещениях второго порядка малости Х. Именно это обстоятельство и характерно для задач, связанных с явлением потери устойчивости. Выразим величины У„„и Х через поперечные перемещения стержня у (рис.
454). 437 Е ОТ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД Энергия изгиба выражается через изгибающий момент следующим образом: ( Мизг др ,) 2Е! О Учитывая, что М„,„=Еуу", получим и„,„= —,' ~ Е,(р.*б.. О (12.26) (12. 28) В действительности функция у остается неизвестной до тех пор, пока не решено дифференциальное уравнение упругой линии. Получается, что для определения критической силы надо вернуться к прежнему методу решения. Однако функция у может быть задана приближенно. При этом погрешности в форме упругой линии мало сказываются на величине критической силы. Поэтому можно по- Перемещение Х может быть определено как разность между длиной ! и проекцией изогнутой упругой линии на прямую, соединяющую опоры.
Очевидно (см. рис. 454), Ю = Г(г — бг соз б ж — Г!г. бр 2 Но при малых прогибах 6=у'. Поэтому ),=,' ~д*а.. (12,27) О Таким образом, из.выражения (12.25) находим ~ е'3у"*лг О Р„ ~ е'ег О Если функция у известна, то Р„р определяется без тру- да. Например, для шарнирно закрепленного стержня (рис. 454), как мы уже знаем, р= С з!и —. После подста- новки у в выражение (12.28) находим уже известное зна- чение яре О' Р МР !О 433 Гл. !з. устог1чивость РАВнОВесия лучить достаточно точное решение, задаваясь функцией у из простых физических соображений, т.
е. примерно <угадывая» форму упругой линии. Допустим, нам не известно, что стержень, шарнирно закрепленный по концам, при потере устойчивости изгибается по полуволне синусоиды. Зададимся какой-либо другой «похожей» кривой. Примем, например, что стержень изгибаегся по дуге параболы у= СЕ(1 — г). (12.29) Выбирая функцию, мы, естественно, должны следить за тем, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.
В данном случае при Е=О и г=( перемещение у обращается в нуль, и граничные условия соблюдаются. Вместе с тем можно сказать, что выбранная функция не очень удачна, поскольку у"=сопз1. Это означает, что кривизна стержня при потере устойчивости постоянна, в то время как на самом деле она максимальна посередине и равна нулю по концам стернрня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
