Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 66
Текст из файла (страница 66)
аф Если приравнять производную нулю, то мы придем к уравнению равновесия (12.1), на основе которого построены кривые, показанные на рис. 433. Значит, положение равновесия определяется экстремумом потенциальной энергии. Остается только решить, какие точки на построенных кривых соответствуют максимуму, а какие — минимуму потенциальной энергии.
После второго дифференцирования получаем условие минимума (условие устойчивости) в виде следующего неравенства: с — Р! соз ф)0. (!2.3) Сначала рассмотрим вертикальяое поло>кение маятника (ф=-О). Условие устойчивости выполняется при Р =.сЛ. Прн силе, большей с!1, вертикальное положение маятника оказывается неустойчивым. Таким образом, все точки оси ординат, расположенные ниже точки бифуркации А, отражают устойчивое положение равновесия, а выше — неустойчивое. При фчь0 условие устойчивости (12.3) удобно преобразовать с учетом уравнения равновесия (!2.!). Искл>очая силу Р, получим — ) С05 ф. 5!П ф ф Легко установить, что на участке от — и до +л это условие выполняется. Следовательно, ветвь кривой ВАС, расположенная внутри этого интервала, отражает устойчивые положения равновесия, и по достижении силой критического значения происходит переход от неустойчивого вертикального положения к новому, устойчивому положению с отклоненной от вертикали осью.
Другие ветви, показанные на рис. 433, в свою очередь также имеют участки как устойчивого, так и неустойчивого положения равновесия. Теперь мы получили ответ на все поставленные ранее вопросы. Если задача решается в малых перемещениях, а это, как мы увидим в дальнейшем, существенно упрощает дело, то мы можем определить критическую силу, но не определяем самих перемещений и не в состоянии исследовать вопрос о закритическом поведении системы. Для последнего необходимо привлекать нелинейные соотношения. И, наконец, из рассмотренной энергетической оценки вы- » 83 ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА 421 текает, что нагрузка, соответствующая условию бифуркации форм равновесия, действительно является критической.
Это можно считать общим правилом, из которого возможны лишь редкие исключения. й 83. Задача Эйлера Теперь мы можем перейти непосредственно к некоторым задачам об устойчивости упругих систем. Начнем с простейшей задачи о равновесии стержня, сжатого центральными силами Р (рис.
436). Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине ХУП1 века. Поэтому часто, когда говорят об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражения: «задача Эйлера» или «устойчивость стержня по Эйлеру».
Положим, что по какой- Рас 436 то причине сжатый стержень несколько изогнулся (рис. 436). Рассмотрим условия, при которых возможно равновесие стержня с изогнутой осью. Координаты точек упругой линии стержня обозначим через г и у. При малых прогибах Е«'у"=М. (12.4) Изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под величиной >' понимается минимальный момент инерции сечения. Изгибающий момент М по абсолютной величине равен, очевидно, Ру.
Вопрос о знаке изгибающего момента в подобных случаях требует особого обсуждения. Условимся считать положительным тот момент, который увеличивает кривизну. Рассматривая упругую линию, изображенную на рис. 436, замечаем, что сжимающая сила Р в алгебраическом смысле кривизну уменьшает. Действителыю, при положительном у упругая линия имеет выпуклость вверх. Кривизна упругой линии, следовательно, отрицательна. !!омент силы Р направлен так, что еще сильнее искривляет упругую линию, делает кривизну «еще более отрицательной», т, е. уменьшает ее.
Таким образом, ЕУу" = — Ру. (12.5) ГЛ. 1К УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ Для того чтобы в подобных случаях не ошибаться в знаках, можно руководствоваться следующим простым правилом: необходимо, не предугадывая формы упругой линии, изобразить ее на чертеже формально так, чтобы функция у и ее первая и вторая производные были положительны (см. штриховую линию на рис. 436).
Тогда, рассматривая рисунок, можно безошибочно выписать моменты сил со знаком плюс или минус, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается кривизна упругой линни под действием внешних снл. Обозначим — =- /г'. Р Е,! Тогда уравнение (12.5) примет вид д"+й у=О, (12.
6) (1 2.7) откуда у = С1 з1 и /гг+С, соз Ип (12.8) Постоянные С, и С, должны бь1ть выбраны так, чтобы были удовлетворены граничные условия: при а=О у=О и при г=1у=О. Из первого условна вытекает, что С,=О, а из второго — что С, з1п И=О. (!2.9) Эта сила носит название зйлероаой силы. Она же — критическая. При и=! имеем И=п, и уравнение упругой линии (12.8) принимает вид ла у=С з)п —. 1 Стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом С1. Это уравнение имеет два решения: С,=О и з(п И=О.
В первом случае (С,=С,='О) перемещения у (12.8) обращаются тождественно в нуль, и стержень, следовательно, имеет прямолинейную форму, Этот случай нас не интересует. Во втором случае И=пи, где и — произвольное целое число. Учитывая выражение (!2.6), получаем Р=и'л'В(116 Это означает, что для того чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила Р принимала определенное значение.
Наименьшая сила Р, отличная от нуля, будет при а=1 тРЕ7 Р кР= Р 423 4 Вх 3АДАчА эйлеРА При любом целочисленном значении а л>м у=С,З1п— и упругая линия стержня изображается кривой в виде а полуволн (рис. 437). Как и в рассмотренной ранее задаче об устойчивости обращенного маятника, мы видим, что константа С, в выражении для упругой линии осталась неопределенной. Перемещения найдены, как говорят, с точностью до постоянного множителя. Кроме того, как и в задаче с маятником, П > Рис. 437 увеличение силы сверх критической снова приводит нас к тривиальному решению.
Действительно, в этом случае И~>т; тогда из уравнения (!2.9) вытекаег, что С,=С,=О, поскольку ИэьО. Это означает, что функция (12,8) тождественно равна нулю и стержень остается прямым. Получается, что при Р= Р„, стержень принимает криволинейную форму, а при значении Р, несколько большем Р„„снова становится прямым, что не вяжется с представлейиями о механике изгиба стержня. Но теперь эти невязки нас смутить не могут. Мы знаем, что они являются следствием линеаризации уравнения упругой линии. Оно является приближенным н верно лишь при малых прогибах.
Если же это уравнение написать точно, то получим ЕУ вЂ” = 1 Е7у' = — Ру. Р (1+ „е) э/> При силе Р, большей критической, перемещения столь велики, что пренебрегать величиной у" в знаменателе нельзя. Наконец, из рассмотренного примера мы видим, что у сжатого стержня существуют высшие формы равновесия (п=2, 3, ...), которым соответствуют и ббльшие значения сил. Эти формы в чистом виде не реализуются. Они неустойчивы. Но если стержень снабдить промежуточными равноотстоящими друг от друга опорами, то соответственно числу пролетов л определяется и критическая сила. Гл.
!а. устОйчиВОсть РАВнОВесия 424 5 84. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня В пределах малых перемещений для стержня, шарнирно закрепленного по концам, изгиб при потере устойчивости происходит по полуволпе синусоиды, и критическая сила равна лаЕ2 ка Используя особенности упругой линии, мы можем довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления стержня. Так, например, если Рис. 438 стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом— свободен (рис. 438), то упругую линию стержня путем зеркального отображения относительно заделки легко привести к упругой линии шарнирно закрепленного стержня.
Очевидно, критическая сила для защемленного одним концом Рис. 439 стержня длины 1 равна будет критической силе шарнирно закрепленного стержня, имею;цего длину 28 Таким образом, в рассматриваемом случае лаЕ2 (21)а Шарнирно закрепленный стержень, имеющий посредине опору (рис. 439), при потере устойчивости изогнется по двум полуволнам. Следовательно, каждая его половина теряет устойчивость как шарнирно опертый стержень, имеющий длину )/2. Позтому лиЕ! «Р == д2)а 4 84 ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ ЗАКРЕПЛЕНИЯ 425 Обобщая полученные формулы, можно написать общее выражение критической силы для слгатого стержня в виде Р„= —,, (12.11) где 14 — так называемый коэффициент приведения длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
