Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Посмотрим, однако, что дает приближенный прием в этом случае. Подставляя принятую функцию (12.29) в выи'Еу ражение (12.28), вместо Р„р = —, находим 12ЕУ нр =,з Даже прн этом, довольно грубом, приближении ошибка, как видим, не столь велика. Точность решения может быть резко увеличена, если учесть характер изменения изгибающего момента по длине стержня. Можно, например, принять, что по закону квадратной параболы изменяется не прогиб, а кривизна. Тогда у"=СЕ(1 — г). После интегрирования получим 1<з зз у' =С ~ — — — +а). 2 3 Постоянную а подбираем так, чтобы у' обратилось в пуль посередине стержня. Тогда у = — С(8(гз 4гз (з) 12 Подставляем у' и у" в выражение (12,28) и после интегрирования находим 168 Еу нр 1т 1з 4 Зг. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД что только в третьем знаке отличается от точного значения критической силы.
Если вернуться к достаточно громоздкому примеру 12.2, то и для него можно довольно легко получить значение критической силы энергетическим методом. Поскольку сила приложена посередине длины стержня (рис. 444), интегрирование величины д (12.27) следует вести от 172 до 1, и взал:ен выражения (12.28) получаем ~ Е/р"' Иа о Ро= с ~ амсга 717 Примем, что у=- С ь(п —. Тогда после интегрирова- ла ХлаЕ3 нпя находим Реа = —,—.
Точное решение давало Р,аее (З,ТЕ1 13 Рассмотренные примеры убеждают нас в том, что приближенным методом можно без особого труда получить достаточно точное значение критических сил. Рассмотрим в заключение еще один пример. П р и м е р !2.4. Определить критическую наго)зку для защемленного стержня, находяшегося под действием сил собственного веса д Нсм (рис. 455). Задаемся уравнением упругой линии изогнутого Да сгержня в виде у=С (1 — соз— 21 1'' Легко убедиться в том, что зто выражение удовлетворяет граничным услооиям. Определяем знергпю изгиба: Рнс. 455 (счзг = — 1 Еур"'с(а= — Е/Ез1( — ~ о Для того чтобы найти работу сил О при переходе от прямолинейной Формы к криволинейной, подсчитаем, согласно выражению (!2.2?), величину Х» (рис.
455): г 23 о гл. 1э. устойчивость РАВнОВесия 440 Работа сил 4 будет следующая: а ~ оа ах= — дС ( — ) ~ — — — -) . а Приравнивая эту работу энергии нагиба, находим Еа' иа 8,29ЕУ 2Р иа — 4 1а точное решение дает У,ВЗЕа чав= га Характерной особенностью энергетического метода является то, что ошибка в определении критических нагрузок всегда имеет один знак. Приближенное значение критической силы оказывается завышенным по сравнению с точным. Объясняется это тем, что, задаваясь приближенно формой упругой линии, мы как бы накладываем на систему лишние связи, заставляем ее деформироваться несвойственным ей образом и тем самым увеличиваем в среднем ее жесткость.
8 88. Метод начальных параметров Остановимся иа одном из наиболее распространенных машинных методов определения критических нагрузок— методе начальных параметров. Рис, 456 Выберем для наглядности какой-нибудь достаточно простой пример и опишем алгоритм вычислений с таким расчетом, чтобы просматривались возможности экстраполяции метода и на более сложные задачи. Положим, нам необходимо определить критическую силу для стержня, имеющего промежуточную упругую опору с коэффициентом жесткости с (рис.
458). Это означает, что 4 ее мвтод нлчлльных плвлметгов 44! реакция промежуточной опоры в точке А прн'положительном перемещении ул будет направлена вниз и имеет величину сул. Жесткость стержня на изгиб будем считать переменной. Поместим начало координат иа левой опоре. Ее отбросим, а реакцию обозначим Р,. Напишем уравнение упругой линии: Е./у"= М = — Ру+ Рог 1,— Рл(г — 1,) (ш (12.30) Вертикальные разграничительные линии показывают, какие слагаемые для каких участков необходимо брать при вычислении изгибающего момента.
Для первого участка надо взять два слагаемых, для второго — три. Такой способ записи может быть приеленен при любом числе участков. Введем обозначение у'=О и запишем уравнение (12.30) в форме двух уравнений первого порядка О = — ~~ у+ ег г ~ — —,( (г — 1,)~, у =О. (12.31) Далее надо выбрать шаг интегрирования Лг, затем необходимо предусмотреть процедуру вычисления ЕУ для текущего значения г и, наконец, в программе должен быть ключ к переходу от первого участка ко второму. При этом вычисляется сила Р„=сух, а затем при вычислении правой части первого уравнения (12.31) вместо двух берутся все три слагаемых.
Интегрирование может проводиться любым из доступных для машины способом: Рунге — Кутта, Адамса... Можно обойтись и бесхитростным интегрированием по Эйлеру: ЛО;= ( — ) Лг, Лу;= О; Лг. /М~ Как бы то ни было, но, чтобы двигаться по оси г, необходимо знать начальные параметры; те самые, именем которых назван метод. В рассматриваемом примере известно, что в начале интегрирования, т. е.
при г=О, перемещение у, равно нулю, а начальные параметры О, и Р, остаются неопределенными. Они должны быть выбраны так, чтобы выполнялись условия закрепления на правом конце стержня: при г=1,+1е=й перемещение уь и угол Оь должны обращаться в нуль. Но чтобы найти критическую силу, незачем определять О, и Р„, а надо следовать уже известным нам следующим традиционным рассуждениям. Гл, 1а устой~1ивость РАВноввсия Так как мы рассматриваем линейную задачу, то конечные параметры линейно зависят от начальных: У~= 1'У'+ " ~ (12.32) Ос =а„у,+а„О„ где ам — неизвестные пока коэффициенты. Если граничные условия в конце интервала интегрирования удовлетворяются, то а„у,+а„в.=о, а„у,+а„О,=О. Эта система однородных уравнений дает для у, н О, нулевые значения, что соответствует тривиальной прямолинейной форме равновесия стержня. Чтобы система имела ненулевые решения, надо, чтобы определитель (12.33) был равен нулю. Из этого условия и определяется значение критической силы.
Кажется непонятным, как найти значения коэффициентов ам. Делается это очень просто. Зададимся прежде всего некоторым значением силы Р, заведомо меньшим критического. Можно, например, отбросить промежуточную опору, а наименьшую жесткость принять постоянной по всей длине стержня. Критическая сила в таком случае известна, и она несомненно меньше ее истинного значения для рассматриваемой системы. Далее проведем интегрирование уравнений (12.31), положив у=1, а 0,=0.
Тогда, согласно выражениям (12.32), полученное уь и есть агь а Ос=а„. Затем надо повторить интегрирование при У,=О и О,=!. Этим будут определены а„н аао Остается найти определитель (12.33). Он, конечно, в нуль не обращается. И неудивительно. Сила Р не равна критической. Дальнейшее понятно. Даем силе Р небольшое приращение ЛР и многократно повторяем описанные операции, пока не сменится знак Р. Это означает, что определитель прошел через нуль, а сила — через свое критическое значение. Дальше, естественно, можно последний интервал ЬР пройти с меньшим шагом, еще с меньшим, проинтерполировать...
Словом, можно приблизиться к критическому значению силы с необходимой точностью. Описанная последовательность операций типична для численного определения критических сил, и такого рода процедуры широко используются, особенно в тех случаях, где 5 88. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 443 необходимо не просто найти критическую силу, но и выбрать оптимальное конструктивное решение. Тогда процедура определения критических сил рассматривается как подпрограмма, входящая в некоторую более общую программу.
Решение подобных задач, как, впрочем, и вообще любых задач, требует от учащегося определенного навыка. Надо не только свободно владеть машиной — это подразумевается само собой... Необходима еще и культура в обращении с уравнениями. Перед выходом на машину их следует должным образом преобразовать.
Приемы бывают разные, но универсальный и почти обязательный — сведение уравнений к безразмерной форме. Было бы, например, в высшей степени нерационально при интегрировании уравнений (12.31) координату г подставлять в метрах или сантиметрах, а критическую силу определять в ньютонах. Такое решение было бы лишено не только элегантности, но и минимально требуемой общности.
Обратимся к уравнениям и посмотрим, что можно с ними сделать. Прежде всего, вместо переменной г удобно ввести безразмерную переменную ь=г/Ь, где Е=1,+1, (рис. 456). Переменная ь меняется от нуля до единицы. Безразмерная координата точки А будет ьд —— 1,!Е. Вместо у введем переменную 81=уй.. Тогда уравнения (12.31) примут вид ЛО РЬ' Р818 ! 8А8 1 Еч 81 + 1 ~ '14 (ь ьА)~ Аь е/ ез 11 е.г - 111' По условию жесткость стержня на изгиб ЕУ есть величина переменная, зависящая от ь. Представим ее в виде безразмерной функции с размерным коэффициентом, т.
е. в следующем виде: Е1 Е~8 ~~ ЕУ8 '(Я где Е1,— жесткость стержня на изгиб в точке ь=О, т. е. на левой опоре. Теперь уравнения примут окончательный вид: РЧ у~ — — )(г) 1 — (Тч+)у8ь( — Е"1А (ь — ВА) И где П=РЕт(Е38), П,=Р,ь*ЦЕ(,), С=сЕ8!(Е/8). С помощью описанного выше алгоритма критическая сила определяется теп«рь в безразмерной форме РЕЦЕ(8), 444 Гл, 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
