Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Идеальной системе сообщается отклонение от положения равновесия. При зтом рассматриваются отклонения, которые ие только являются малыми, но могут быть сделаны меньше любой наперед заданной малой величины. Если после устранения причин, вы- Рис. 43! звавших отклонение, система возвращается к исходному состоянию равновесия, то последнее считается устойчивым. Если не возвращается, то положение равновесия считается неустойчивым. Силы инерции, возникающие при движении системы, не учитываются.
Такая расчетная схема дает возможность поставить явление потери устойчивости на расчетную основу и определять условия перехода от устойчивого состояния к неустойчивому. Параметры, характеризующие такой переход, называются критцческими. В частности, обобщенная сила, превышение которой приводит к переходу от устойчивого равновесия к неустойчивому, называется критической силой. При расчете на устойчивость рабочая нагрузка назначается как и-я доля критической.
Под и понимается коаф4~и- 4!6 ГЛ. ИЬ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ циент запаса устойчивости, значение которого, как и при расчетах на прочность, назначается в зависимости от конкретных обстоятельств, связанных со спецификой технологии, с условиями эксплуатации, а также со степенью ответственности конструкции. Естественно, что расчет на устойчивость по коэффициенту запаса не исключает, а даже предполагает необходимость одновременной проверки конструкции по условиям прочности. $82, Определение критических нагрузок Чтобы более наглядно показать особенности подхода, который обычно используется при анализе устойчивости упругих систем, мы рассмотрим для начала простейшую механическую модель.
На конце жесткого стержня (перевернутого маятника, показанного на рис. 432) укреплен груз Р. Внизу стержень Р имеет шарнир и удерживается в вертикальном положении упругой пружиной, имеющей линейную характеристику. Это значит, что при повороте стержня на угол ~р в шарннре возникает момент, равный с~р, где с — жесткость пружины. Эта модель, обладая предель~1=г)э ной простотой, сохраняет в себе все основные свойства, характерные для более сложных задач, а) в) которые будут рассмотрены в дальРис.
432 нейшем. Интуитивно представляется, что при достаточно большой силе Р или достаточно большой высоте расположения груза положение равновесия обращенного маятника станет неустойчивым; при малом отклонении стержня от вертикали пружина не сможет восстановить исходное состояние равновесия. В основе анализа устойчивости упругих систем лежит поиск условий существования соседних форм равновесия.
Сообщим системе небольшое возмущение, т. е. примем, что маятник отклонился от вертикали на некоторый малый угол 4Р (рис. 432, б). По какой причине это произошло, не имеет никакого значения. Это — своего рода воображаемая проба, средство проверки на устойчивость.
1 82 ОПРЕДГЛЕИИЕ КРИТИЧЕСКИХ Ь<АГРУЗОК 41> Приравнивая момент силы Р шарнирному моменту, получим (12.1) Р1 з(п <р=с<р, Так как угол <р мал, то ейп Ч<=<р; тогда (12.2) (Р1 — с) р=О и мы получаем два возможных решения. Первое из них, <р=О, означает, что при вертикальном положении маятника условие равновесия выполняется при любом значении силы Р, что совершенно очевидно. Такое решение называют обычно тривиальньи.
Имеется вторая возможность. Пусть <р~О, и маятник, следовательно, отклонен от вертикали. Тогда условие равновесия выполняется при Р=СЛ, и вблизи исходного состояния равновесия обнаруживается второе состояние равновесия, сколь угодно близкое к первому. Силу, соответствующую этой, кзк говорят, бифуркации форм равновесия, мы принимаем за критическую. Результат представляется весьма правдоподобным. Лей.
ствнтельно, чем меньше жесткость пру>кипы с и чем больше высота маятника 1, тем при меньшем значении силы Р произойдет потеря устойчивости. Но вместе с тем возникают очевидные неясности, Во-первых, мы привыкли считать, что между действующими силами и возникающими перемещениями всегда существует определенная зависимость. В данном же случае, определив силу Р, мы не нашли углового перемещения <р.
Мы только приняли, что ч>~О, но пока не видно, как этот угол может быть найден. Во-вторых, если принять, что при силе, равной критической (при Р=с11), маятник начинает отклоняться от вертикали, то здравый смысл подскажет нам, что при Р)с(1 он отклонится еще сильнее. Между тем мы видим, что при Рчьсй уравнение (12.2) удовлетворяется только при <р=О.
Следовательно, маятник, начавший было отклоняться от вертикали, должен при увеличении силы снова вернуться к исходному состоянию. И, наконец, в-третьих: почему мы решили, что нашли критическую силу? Почему мы полагаем, что при силе, меньшей сй, вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, а при большей — неустойчиво? Ведь мы нашли только условие существования новой формы равновесия, и 14 в. и. Феодосьев гл. сь тстончивость влвновесня 413 ниоткуда не следует, что зто условие можно отождествлять с признаками критического состояния. В данном случае на все зти вопросы можно довольно просто получить исчерпывающий ответ. В основе возникающих недоумений лежит проведенная выше линеаризацня уравнения равновесия.
Мы рассмотрели малое отклонение стержня от вертикали и приняли з(п ржср. Если же быть более последовательными и точными, то следует' вернуться к уравнению (12.1), которое дает вполне определенную зависимость между действующей силой и возникающим угловым перемещением. Рис. 433 Рис. 434 Построим график зависимости РПс=~(у) (рис. 433). Прежде всего мы видим, что при ср=О уравнение (!2Л) удовлетворяется при любых значениях силы Р.
Значит, ось ординат принадлежит исследуемому графику. Остальные ветви кривой определяются выражением Р! е с вйн~' которое будет верным, пока пружина сохраняет линейность характеристики. При значениях ~р, кратных я, график терпит разрыв, и происходит смена знака Р через бесконечность. Оно и понятно. Когда угол поворота маятника приближается к я (рис. 434), плечо силы уменьшается до нуля, а сама сила должна неограниченно возрастать. Если маятник протолкнуть через мертвую точку, то для того чтобы 4 88.
ОИРеделение кРитических нАГРузОк 419 удержать его в новом положении равновесия, следует приложить силу обратного знака. Таким образом, каждой точке кривой соответствует определенное положение равновесия. Лннеаризуя уравнение, мы, естественно, не можем охватить всего многообразия форм равновесия. При малом значении <р мы получаем только ту часть графика, которая непосредственно примыкает к оси ординат. Мы смотрим на зту картину как бы через узкую щель — через чуть приоткрытую дверь — и видим только ось ординат и часть кривой, проходящей через точку бифуркации А.
Но в пределах малых значений <р эта кривая представляется нам как горизонтальная прямая, и определить угол <р при силе Р=с(! мы не можем. Перемещение оказывается неопределенным, угол <р может быть любой малой величиной. При силе, большей с<<, упрощенное линеаризованное уравнение дает нам только форму равновесия, соответствующую точкам, расположенным на оси ординат, т. е.
тривиальную форму равновесия. Теперь обратимся к вопросу, какие точки на построенных кривых отражают устойчивые и какие — неустойчивые положения равновесия. Основнь<8< критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями.
Если шарик расположен на вершине выпуклости или на седловине (рис. 435), его положение равновесия будет неустойчивым. Зтот критерий применим, естественно, и к упругим системам,— конечно, с учетом потенциальной энергии деформации. В нашем случае потенциальная энергия системы состоит из двух слагаемых: из потенциальной энергии груза Р1 соз <р (рис. 432) и потенциальной энергии деформации пружины — с<р . Таким образом, 1 и= — „я+Р(с р. 1 2 14" 420 ГЛ. ИЬ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ Дифференцируя это выражение по ф, получим аи — = сф — Р! яп ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
