Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Значит, в практических расчетах, прежде чем поверить результату, полученному по формуле Эйлера, следует еще определить и критическое напряжение, а затем со- $ 89. О пРРДелАх пРименимОсти ФОРмулы эйлеРА 449 поставить его не только с пределом текучести, но и с пределом пропорциональности. Не велик труд, конечно, но беда в том, что предел пропорциональности не относится к числу справочных характеристик.
При малой гибкости, для весьма коротких образцов, ограничением служит, конечно, предел текучести, а по мер е увеличения гибкости ограничивающая по напряжениям кривая должна быть нисходящей (кривая !11), сливающейся с линией 1 при некотором напряжении, меньшем предела пропорциональности. Высказанные соображения реализуются в методе расчета сжатых стоек по коэффициенту снижения допускаемых напряжений. Идея метода простая. Если для весьма и весьма короткого сжатого стержня допускаемое напряжение на сжатие есть [о], то по мере увеличения гибкости его следует уменьшать, умножая на некоторый ноэффиниент снижения допускаемого напряжения ер, меныпий единицы.
Значения коэффициента ~р даются в зависимости от Х таблицами, помещенными в Строительных нормах и правилах (ч. П, нормы проектирования, 1982). Для каждой стали, характеризуемой своим пределом текучести о„дается своя таблица. Ее содержимое ~р(А) качественно повторяет ход кривых П, !!1, 1 (рис. 489). В табл. 13 приведены значения коэффициента ер только для одчой стали, имеющей предел текучести о,=400 МПа.
При значениях Х)220 Таблица 13 15 а. И. Феодоеьев 450 ГЛ. 12. УСТОЙЧИВОСТЬ РЛВИОВВСИЯ можно безо всяких опасений вести расчет по Эйлеру; прч меньших )ь — по коэффициенту снижения допускаемых напряжений. Рассмотрим примеры. П р и м е р 12.5. Определить допускаемую сжимающую силу для шарнирно закрепленного стержня.
Длина стержня 1=2 и. Поперечное сечение — двутавр Рй 30а (см. сортамент прокатной стали в конце книги), 1„„=2,95 см, Р=49,9 см'. Допускаемое напряжение на сжатие [о) 200 МПа. Находим гибкосттп Р!((=200/2,95=67,8. Из табл. !3 следует, что ~=0,645. Далее определяем до~усхаемую нагрузку: Р(Р=[о) Чг) Р= =643 кН.
П р и м е р 12.6. Найти диаметр стойки, защемленной одним концом, а на другом имеющей шарнирное опирание. Стойка нагружена силой Р=20 кН. Длина 1=1 м. Допускаемое напряжение [о)=200 МПа. Задача решается путем последовательных проб, поскольку гибкость стержня неизвестна. Если бы стержень был совсем коротким, диаметр 4Р определялся бы из обычного соотношения — = [о); 4=1,13 см.
пг[х Теперь же, задаваясь несколькими значениями о, ббльшимн чем 1,13 см, подсчитываем гибкость )г: 0,7! 0,7! 22,87 Затем, как и в предыдущей задаче, для нескольких о находим допускаемую нагрузку Р. То значение, при котором эта нагрузка окажется равной заданной (20 кН), н будет искомым.
В рассматриваемой задаче оказывается о=2,3 см. $90. Продольно-поперечный изгиб Рассмотрим нагружение прямого стержня продольной силой и системой поперечных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно-поперечным изгибом. При составлении дифференциального уравнения упругой линии изгибающий момент может рассматриваться как сумма момента поперечных сил М„и момента продольной силы Ру. При этом, поскольку прогибы считаются малыми, момент М, зависит в явном виде только от г и не зависит ни от д, ни от продольной силы Р: Еау"= — Ру+М„. (12.35) Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид р +йер а (12.36) 4 99. пРОдольно-попвРвчный изГиБ 45! откуда у=СГБ!Пйг+С,сойг+ус, где у* — частное решение уравнения (12.36), зависящее от функции М„, т.
е. от вида поперечной нагрузки. Напри,4 г Щ ! Рис. 460 мер, для двухопорной равномерно загруженной балки (рис. 460) имеем 91 огс Е)у' = — г — — — Ру. 2 2 Тогда у" + й'у ~ (1г — г'), у' = ~ ( — + 1г — гз ) 2Ег ' 2ЕИ9 ( )сс и, следовательно, у = С, з!и йг+ С; соз йг + —, ( — „, + 1г — г') . Постоянные С, и С, подбираются с таким расчетом, чтобы прогиб у при г=О и г=1 обращался в нуль.
В итоге ч Г Зто Ьг 99 у = — ~ — (1 — соз я1) —. + 1 — соз |гг + — (1г — г') 1. егь9 ~ Гип Ы 2 Изгибающий момент М = Еуу" = 9 ! (! — созlг1) — '" ' + соз йг — 1~, 92 З~П Ы Наибольший изгибающий момент имеет место при г=112: 1 — соз (Ы12) (12.37) 99 соз (Ы12) При малых значениях сжимающей силы Р (при малом л) зто выражение после раскрытия неопределенности обращается, как и следовало ожидать, в М,„=дР18, т.е. максимальный момент совпадает с тем, который дает поперечная нагрузка у. По мере роста силы Р максимальный изгибающий момент резко возрастает.
452 Гл. 1г. устОйчиВОсть РАВнОВесия При более сложных видах поперечной нагрузки, например при нескольких поперечных силах, определение изгибающих моментов описанным выше способом становится затруднительным, поскольку изгибающий момент на различных участках описывается различными функциями. В таких случаях удобным оказывается применять приближенные, менее точные, но более простые приемы расчета. Один из таких весьма распространенных способов мы сейчас и рассмотрим.
Обратимся к выражению (12.35) ЕУу" = ̄— Ру. При отсутствии продольной силы оно принимает вид Е/у",, = М„, где индекс «п» соответствует нагружению стержня только поперечными силами. Исключая М„, получим Е г У = Е 3 у", — Р у. (12.38) Теперь примем, что форма упругой линии как при наличии продольных сил, так и без пих близка к синусоиде: аг аг у=1 з!и —, у„=(„з!п'— .
Подставляем у и у„в уравнение (12,38). Тогда Ег) — г = Е1~, — »+ Р~, откуда (12.39) ! Р~Р р В случае других способов закрепления стержня часто пользуются той же формулой (12.39), но соответственно подставляют другое значение критической силы. Предполагая изгибающие моменты пропорциональными прогибам, можно написать М= РР (12.
40) 1 Р1Р«р Проверим полученную формулу на примере рассмотренной выше балки с равномерно распределенной нагрузкой д. Пусть Р=Р„»12. Тогда по приближенной формуле М= =2М„. Но поперечная нагрузка дает изгибающий момент 9 90. ПРОДОЛЬНО. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ М„=д(9/8, Таким образом, в зтом случае имеем М,„= =0,25д(9. Теперь посмотрим, что дает точная формула (12.37). Выражение для величины л, входящей в зту формулу, принимает при заданном значении Р следующий вид: / р 2ЕГ 1У' 2 ' Тогда, согласно выражению (12.37), 1 — С05— д2Р 2р 2 — 0,252д(5.
С05 = 29' 2 Сопоставляя полученные значения М,„, видим, что они практически совпадают. Хуже обстоит дело при явно несимметричных видах распределения поперечных сил. Но в подобных случаях основное внимание следует уделять не уточнению расчетных формул, а поиску средств, с помощью которых можно было бы вообще избавиться от подобных видов нагружения. ГЛАВА 13 ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ $91. О статическом и динамическом нагружениях Вернемся к началу 5 10. Там говорилось, что работа А внешних сил, действующих на твердое тело, преобразуется в потенциальную У и кинетическую энергию К: А = У+К.
(13.1) В тех случаях, когда силы изменяются весьма медленно, кинетическая энергия в этом балансе с полным основанием считается пренебрежимо малой, и такой вид нагружения называется статическим. Такая расчетная схема нам знакома, и мы ею постоянно и с успехом пользовались. В практике инженерных расчетов в противоположность статическому принято говорить о динамическом нагружении. Это — силовое воздействие, при котором кинетическая энергия оказывается соизмеримой с потенциальной.
Значит, если силы изменяются достаточно медленно— нагружение статическое. В противном случае — динамическое. «Достаточно медленно» вЂ” понятие неопределенное, но в данном случае есть простая и вполне очевидная мера. Если промежуток времени, в течение которого сила заметно меняет свое значение, существенно больше периода собственных колебаний системы, нагружение можно считать статическим.
Это следует воспринимать как правило, хотя из него возможны и исключения. Поначалу кажется, что высказанные сравнительные оценки справедливы только для кинематически неизменяемых систем, иначе свобода перемещений создала бы произвол не только в самих перемещениях, но и в кинетической энергии тела, движущегося как жесткое целое. Однако зто ограничение оказывается не таким уж и серьезным, если выделить и отбросить не относящуюся к делу кинети- $91.
О стАтическОм и динАмическОм ИАГеужениях 456 ческую энергию переносного движения. А это, как правило, всегда удается сделать. Рассмотрим, например, раму, вращающуюся с постоянной угловой скоростью сз относительно вертикальной оси (рис. 461). Система кинематически изменяемая и в зависимости от угловой скорости может обладать сколь угодно Рис.
46! большой кинетической энергией. Но, понятно, это — не та кинетическая энергия, которую мы обозначили буквой К в уравнении (13.1). Легко сообразить, что напряжения и упругие перемещения в рассматриваемой раме определяются с помощью схемы статического нагружения, даже в том случае, если угловая скорость меняется, но не слишком быстро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
