Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 70
Текст из файла (страница 70)
устоичивость РАВнОВесия а ее значение в ньютонах может быть легко найдено в дальнейшем, когда уже произведен окончательный выбор размеров для сжатой стойки как элемента создаваемой конструкции. Рассмотрим еще пример определения критической силы с помощью машинного алгоритма и особое внимание обратим на приведение уравнений к безразмерной форме. Рис.
467. К упругой полосе с узким прямоугольным сечением (рис. 457) подвешен груз Р. Требуется определить силу Р„„ при которой теряется устойчивость плоской формы изгйба. Точка подвеса груза смещена на величину а относительно центра тяжести сечения.
Ясно, что если сила смещена вниз, критическая сила будет больше, нежели при более высоком расположении точки подаеса. Задача известная. Она давно решена с применением функций Бесселя, но на машине решение получается более простым. Начало координат х, у, г выберем в заделке, а в произвольно взятом сечении А введем следящие оси х„уи гь Оси х, и уз лежат в плоскости повернутого сечения, а ось г, нормальна к сечению и соответственно направлена по касательной к упругой линии изогнутого стержня. Ее направление составляет угол 0 с осью з. $8В.
МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ 445 Угол поворота сечения относительно оси г обозначим через ф, а перемещение по направлению оси у — через у, Е/„ун = Е),О' = М„„, Ж„ф' = М„, М„„и М„определяются как моменты силы Р относительно осей хт и г,: М„„= Р (1 — з) ф, М„= Р [у,— у — 0(1 — г) — тр а). Здесь у, и ф, — перемещение и угол поворота концевого сечения стержня (при я=1). Уравнения имеют вид Р Р О' = —. (1 — г) ф, ф' =- — [у,— у — О (1 — г) — ф,а[, х ~~н у' = О. Это — размерная форма, показывающая, что критическая сила, выраженная в ньютонах, зависит от множества пара- метров. Но перейдем к безразмерной форме.
Примем, что г=(ь, у=(Ч, а=1а, Р(н1(Е3„)=Рн. Отношение жесткости на изгиб к жесткости иа кручение Еу„~(63„) для прямоугольного поперечного сечения может т вв быть написано в виде Е, „,, где Р— табличный коэф- фициент, зависящий от отношения сторон прямоугольника (см. табл. 3 на с. 107). При большом отношении сторон [)=О,ЗЗЗ. Так как 6=Е1[2(1+)т)1, то отношение жесткостей оказывается равным Е/„1(6У„) =(1+р)12ж0,65. Теперь уравнения принимают безразмерную форму: ав „-~=Р,(1 — 1) ф, аф нч — =-0,65Р[т),— т1 — 0(1 — ~) — аф [, —.=О. с' ат= Переписываем их в конечно-разностном виде: ЛО;=Р,(1 — гч)ф,,Л~, Лтр,= 0,65Р, [т),— т);,— О;, (1 — Г,) — атр,[ Л', ЛЧ,=О, ТЛР, О =Π— +ЛО 'р ='рт — +Лфт Ч =Ч вЂ” +ЛЧ .
Интегрирование ведется по ь от нуля до единицы с шагом, равным 0,01 или 0,005. Этого вполне достаточно. Когда интегрирование начинается, необходимо принять тр=О=-Ч=О и задаться величинами Ч, н фп Это — линейное ГЛ. ИЬ УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ '446 и угловое перемещения концевого сечения стержня. Закончив интегрирование, мы на конце интервала интегрироваНня, т. Е. Прн Ь"=1, ПОЛУЧИМ Т), И Ч~ь КОТОРЫЕ С ПрниятЫМИ заранее значениями т(, и <ГО естественно, не совпадают, но зависят от них линейно: П,=лиц,+амро К=амтй+В„Ч (А) Для определения коэффициентов а;,, как и в предыдущей задаче, надо провести интегрирование два раза. Сначала пусть т(,= ! и Ч~,=О. Тогда, согласно выражениям (А), аи Равно Дь а а„ Равно найденномУ в РезУльтате интегрирования ~,. Затем интегрирование производится второй раз.
Теперь принимаем Й,=О и ч~,=1, а найденные в конце интервала интегрирования значения ги и ~, соответственно равны а„и а„. Коэффициенты а4г, таким образом, найдены. Но так как должны соблюдаться равенства ть=п, и %=% (аи — 1) ги+ а„~р, = О, амт1, + (ам — 1) ср, = О. Ненулевые значения и, и ср, получаются при условии Значит, наша задача заключается в том, чтобы найти такое значение силы Р„при котором определитель 0 обращался бы в нуль. Достигается это следующим образом. Фиксируем параметр а и задаемся значением Р„заведомо меньшим критического значения. Проводим описанную последовательность операций и находим значение определителя О. Важен не сам определитель, а его знак.
Далее повторяем операции, давая силе Р, приращение АР„и все время следим за знаком определителя. Если он сменился, это значит, что мы прошлтг через критическое значение РВ. Последующей интерполяцией или проходом последнего интервала с уменьшенным шагом ЛР, значение критической силы уточняется. Если читатель захочет самостоятельно построить программу и для практики реализовать ее, указываем для проВерки следующие контрольные точки. Прн а=О (а=О) безразмерная критическая сила Р,=4,98, а при и=~0,1 кри. тнческие значения будут 5,34 и 4,52 соответственно.
$ ВВ. О пРеделАх пРименилюсти ФОРмулы эйлеРА 447 $89. 0 пределах применимости формулы Эйлера Когда заходит речь о пределах применимости теории Эйлера, то часто этот вопрос обсуждается в том смысле, что она, эта теория, верна в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, т. е. в рамках закона Гука.
И это верно. Но, с другой стороны, теория изгиба балок, напри- > А мер, также верна только в пределах закона l Гука, по там этот вопрос даже и не поднимает- р ся. В чем же дело? л Представим себе диаграмму испытания материала о=7(е). Сейчас нам нужна только ее начальная часть, где между напряже- « нием и деформацией наблюдается линейная р>м. 45з зависимость, описываемая законом Гука.
Положим, что закон Гука соблюдается пе совсем точно, и между идеальной линейной зависимостью, показанной на рис. 458 штриховой линией, и реальной зависимостью о=?(е) имеется некоторое различие, которое мы на рисунке для наглядности несколько преувеличили. Модуль упругости Е есть постоянный угловой коэффициент схематизированной диагра»пмы испытания материала. Для действительной же диаграммы угловой коэффициент «(ОЫВ зависит от напряжения и может рассматриваться как текущий, переменный модуль упругости. Представим себе, что при сжатии стержня силой Р напряжение достигло значения Р?Р. Стержень сохраняет прямолинейную форму и напряжения распределены равномерно по сечению.
Теперь сообщим системе малое возмущение: отклоним стержень от положения равновесия. Стержень изгибается, и в его сечениях возникает изгибающий момент Е1/р. Спрашивается, какой модуль следует понимать под Е? Обычный модуль нли «мгновенный» модуль Е„=«(ОЫВ, соответствующий точке А диаграммы? Конечно, Е„. И этот мгновенный модуль должен далее войти в выражение эйлеровой критической силы п»ЕАЫВ.
Таким обра. зом, сколь сильно модуль ЕА отличается от модуля -Е, столь же сильно реальная критическая сила отличается от той, которую дает схематизированная линейная диаграмма. Теперь ясно, почему этот вопрос поднимается при определении критической силы по Эйлеру, но не при выводе обычных уравнений теории изгиба балок. В задаче Эйлера стержень весь, целиком, в результате предварительного ГЛ.
М. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ 448 сжатия переводится в область пониженного модуля упругости. При обычном же изгибе ничего подобного не происходит. Итак, снижение текущего модуля упругости определяется напряжением сжатия в критическом состоянии. Посмотрим, от чего зто напряжение зависит. Имеем Рнр ВРЕ1 о нР и 1 к)ни' Обозначим, как зто принято, 11г через 1н.
Величину 1 называют радиусом инерции сечения. Теперь выражение для бр критического напряжекр ния можно написать в виде инЕ о.р= х;, 112 94) бр с где А — гибкость стержня, 2 = —.. Р1 ! Зависимость онр от 2 показана на рис. 459 в 0 А виде кривой 1. Рис. 4В9 Как видим, для длин- ных стержней критическое напряжение невелико, и зто свидетельствует о применимости формулы Эйлера. Но оно же неограниченно возрастает по мере уменьшения гибкости.
И ясно, что на устремление кривой 1 в бесконечность должен быть наложен очевидный запрет. Любая, короткая или длинная стойка теряет несущую способность, если напряжение достигает предела текучести О„. Таким образом, на рис. 459 появляется прямая 11, ограничивающая напряжение сверху. Но это еще не все. Если при малой гибкости критическое напряжение достигает всего лишь предела пропорциональности, то текущий модуль упругости 41ОЫВ будет в полтора раза меньше Е (см. 9 16), и, следовательно, формула Эйлера соответственно дает завышенное в полтора раза значение критической силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
