Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Заставим воображаемого наблюдателя вращаться вместе с рамой относительно вертикальной оси. Ему представляется, естественно, что рама нагружена распределенной нагрузкой дт (рис. 461, б). Последняя определяется через даламберовы силы как д,=лксЧ, где и — масса стержня на единицу длины. Последующее раскрытие статической неопределимости не представляет труда.
Мы уже знаем, как это делается. Легко представить себе схему нагружения рамы и в условиях плавного торможения. В этом случае появятся силы, перпендикулярные плоскости рамы (рис. 461, в). Здесь д,=т(св, где в — угловое ускорение (при торможении оно отрицательно). И это также — чистая статика. Если же торможение происходит резко, то необходимо уже принять во внимание и кинетическую энергию, связанную с перемещениями из плоскости рамы.
Подобный пример будет рассмотрен в следующем параграфе. Рассмотрим в качестве еще одного примера вертикально поднимающуюся с ускорением ракету (рис. 462), для 456 ГЛ. 13 ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ которой требуется определить сжимающие силы в поперечных сечениях. Здесь, как и в предыдущем примере, кинетическая энергия движения ракеты как целого нас совершенно не интересует, и задача решается в рамках статического нагружения. Если из тяги двигателя Р вычесть вес ракеты 6 и полученную разность разделить на массу ракеты М, найдем ее ускорение Р— б Р l= = Ы м =м Обозначим через т массу ракеты на единицу длины — величину, естественно, переменную по длине ракеты и изменяющуюся к тому же и во времени.
Элементарная масса т г(г имеет кажущийся вес т(/+д)г(г, или тР дг/М. Нормальная сжимающая сила в некотором произвольном сечении в фиксированный момент времени определяется интегралом 1Р Рас, 462 г Р )у= ( тд — дг. 0 о Численным интегрированием далее могут быть найдены силы и построены их эпюры для нескольких этапов полета.
Такого же рода вычисления, но несравненно более сложные, приходится производить для определения изгибающих моментов в свободно падающем, но затем спасаемом ракетном блоке многократного использования. Сначала устанавливается закон распределения аэродинамических сил по длине блока. Затем находят ускорения центра масс и угловые ускорения при вращении около центра масс. Это дает возможность найти сложный закон распределения даламберовых сил по длине блока. В итоге образуется система самоуравновешенных сил (вес, аэродинамические и даламберовы силы), для которых уже и строится мгновенная эпюра изгибающих моментов.
Как видим, применение условной схемы статического нагружения распространяется гораздо дальше, чем можно было подумать, когда мы занимались кинематически неизменяемыми системами. Перейдем теперь к простейшим видам ударных нагрузок. 457 9 92. УДАРНАЯ НАГРУЗКА 9 92. Ударная нагрузка Задача о расчете конструкций на ударную нагрузку содержит в себе много трудностей, которые далеко не всегда могут быть преодолены простейшими средствами. Сюда относится в первую очередь анализ напряженного состояния в зоне контакта соударяющихся тел и процесса изменения контактных сил во времени. Большие сложности вызывает необходимость учета при резких ударах дополнительных степеней свободы упругого тела, влиянием которых при других видах нагружения можно было бы пренебречь.
Существенную роль в про- цессе удара играет трудно поддающийся анализу фактор рассеяния энергии. Ниже мы ограничимся простеишими приемами ра- Рис. 463 счета, которые не дают высокой точности, но в то же время позволяют правильно оценить порядок перемещений, напряжений и деформаций при ударе. Рассмотрим, как воспринимается ударная нагрузка в системе с одной степенью свободы (рис. 463).
Масса л2 движется в горизонтальном направлении со скоростью э, и останавливается упругим элементом, изображенным на рис. 463 в виде пружины. Массу пружины будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой груза. После того как груз коснется пружины, скорость его начнет уменьшаться. Когда вся кинетическая энергия груза перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, груз остановится, а сила, сжимающая пружину, достигает максимума. Лалее начнется движение в обратном направлении.
Сила взаимодействия между пружиной и грузом будет уменьшаться. Когда пружина полностью распрямится, груз при отсутствии сил трения получит прежнюю скорость Рн но в обратном направлении. Максимальная сила, сжимающая упругий элемент, условно называемый пружиной, легко определяется из условия энергетического баланса. Приравнивая кинетическую энергию движущегося груза потенциальной энергии сжатой пружины, получим тсо 1 Ртах о о 2 2 с 458 ГЛ.
НЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ где с — жесткость пружины — коэффициент пропорциональности между силой Р и перемещением упругого элемента Л: Р=СЛ. В итоге Раааа оо а Рассмотрим теперь случай вертикального движения ударяющего груза (рис. 4б4). При составлении энергетического баланса здесь необходимо учесть изменение потенциальной энергии груза на том динамическом прогибе ~а, который получает пружина: К.+П= У, где К, — кинетическая энергия груза в момент соприкосновения с пружиной, П вЂ” изменение потенциальной энергии груза на перемещении ~„, а У вЂ” упругая энергия сжатой пружины. Очевидно, Тогда Рис.
464 ,2 дмоо +Еоол~ ес с откуда Величина, стоящая в квадратных скобках, называется козффициен нож дина,ничности. Обозначим его через К=1+ ~ 1+ — '. Нот Тогда Отношение тд/с представляет собой прогиб ~„, который получила бы пружина под действием статически приложенной силы, равной весу падающего груза, Поэтому О 99. УДАРНАЯ НАГРУЗКА Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз прогиб при ударе больше прогиба, возникающего при статическом приложении нагрузки. В том же отношении изменяются внутренние силы и напряжения: ПА Хост В еличина т, зависит в первую очередь от жесткости системы и от кинетической энергии падающего груза.
В частности, если груз опускается на упругую систему мгновенно, но без начальной скорости, по=О, и тогда у=2. В этом случае максимальный прогиб вдвое превышает тот, который Рис. 465 возникал бы при статическом нагружении. Соответственно вдвое большими оказываются и напряжения. Все сказанное до сих пор относилось к случаю, когда груз непосредственно ударяется об упругий элемент, имеющий весьма малую массу. Обычно, однако, между ударяющим грузом и упругой системой существует промежуточная деталь (буфер), имеющая массу т4 (рис. 465). При анализе удара в этих условиях следует различать два вида деформаций: местные деформации грузов, возникающие в зоне контакта, и общие деформации пружины.
Местные деформации подчиняются сложным законам и не могут быть определены средствами сопротивления материалов. Что же касается общих деформаций пружины, то их легко определить на основе энергетических соотношений, считая, что соударение груза с массой буфера является иеупругим и что обе массы после удара движутся с общей скоростью о,.
Тогда из условия сохранения количества движения можно написать (13.2) тОо=(т+ГЛ,)ОН или ио по= "о о и~ Последующий процесс сжатия пружины протекает так же, как и в рассмотренных выше случаях. Разница заклю- 460 ГЛ. 13. ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ чается только в том, что теперь вместо массы т по пружине ударяет масса и+и, со скоростью и, вместо о,. В величину т, можно включить и массу пружины т„, приведенную к точке удара. Правда, это приведение уже не может быть обезличенным и зависит от конкретных особенностей упругого элемента, который мы называем пружиной; от того, каков характер его деформирования. Если принять, например, что перемещения и соответственно скорости в сечениях пружины изменяются по линейному закону (рис, 465), то на расстоянии г от опоры скорость будет равна п,ъ'1, а масса отрезка с(з равна т,г(ЕП.
Соответственно кинетическая энергия массы пружины е или щд» 1 К = —" 2 где ВЗ представляет собой коэффициент приведения массы такой пружины к точке удара. Для других «пружин» будут соответственно и другие коэффициенты приведения. Из всего сказанного по поводу ударных нагрузок становится очевидным, что для задач этого класса нет готовых формул. В каждом конкретном случае надо, сообразовываясь с обстоятельствами, с большей или меньшей степенью правдоподобия воспользоваться условием сохранения энергии и условием сохранения количества движения. Рассмотрим еще два примера.
П р и м е р 13.1. Клеть массой 2 т опускается вниз со скоростью оз-— -1 м!с. Требуется произвести поверочный расчет на прочность в аварийном случае внезапного заедааия троса. Длина троса 1 в момент заедания предполагается равной 10 м. Приведенный модуль упругости «) троса Е=70 ГПа, Р=4 см», допускаемая нагрузка на трос 12 !О« Н. К моменту удара трос имеет статическую нагрузку, равную весу клети.
Обозначим этот иес через Р. При остановке кинетическая энергия клети Роз)(22) и потенциальная энергия Р ((д †),т) переходят в из» меиение потенциальной энергии троса, равное с()д — 7«т)72. Таким образом получаем уравнение энергетического баланса в виде Роз 1 з з — + Р (1 — (, ) = — с ((д — (ст). 2п 2 *) Модуль упругости для троса при растяжении вследствие рзспрямления нитей существенно ниже модуля упругости самих нитей. 4 99. УДАРНАЯ НАГРУЗКА 461 Но так как Р=г)вт, то з 3 ов )д 2)ст(д+ !вт Увт Ы и тогда Ув=)вт 1+ А,".' В данном случае, очевидно, Р! ст — ЕР Лля коэффициента динамичности имеем .
/ ЕРов х=1+ ~/ †' =4,6, Р!й Следовательно, Рд — — хРст =9 '!2'10в Н и трос условию прочности в этом расчетном случае удовлетворяет. П р и м е р 13.2. Маховик, имеющий момент инерпии Ум, вращается с числом оборотов и. Электромотор установлен на раме, состоящей из двух балок (рис. 466). Момент инерции статора электромотора и оснований подшипников относительно оси маховика — в' л. Требуется определить динамический момент А(д, действующий на раму при внезапной остановке маховика. Из условия неизмснности момента количества движения получаем у„, (у +у )ыл, где ю и ю — угловая скорость маховика до удара и в момент удара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
