Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Сюда относятся в основном задачи исследования некоторых технологических операций, таких, например, как навивка пружин или л штамповка различных изделий. С учетом пластических деформаций рассчитываются сильно напряженные элементы конструкций типа оболочек ракетных двигателей и многие другие. Р А ЕЮ а При решении подобного Рис. 350 рода задач закон Гука теряет свою силу, и прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями заменяется некоторой более сложной зависимостью, определяемой видом диаграммы растяжения. Если в обычных задачах деформации не превышают величины ОА (рис. 350), то при расчете с допуском пластических деформаций такое ограничение снимается, и величина а оказывается существенно большей.
Вместе с тем она остается по-прежнему пренебрежимо малой по сравнению с единицей, В таком случае говорят, что расчет ве- 343 ГЛ. !О ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ дется в пределах малых пластических деформаций. Понятно, что можно также ставить вопрос и о расчетах при больших пластических деформациях, не ограничивая величину последних.
Такие задачи возникают, например, при анализе кузнечно-прессовых и вытяжных технологических операций. Этих вопросов, однако, мы касаться не будем. В связи с малостью пластических деформаций к классу задач, который рассматривается в настоящей главе, полностью применим принцип неизменности начальных размеров, и при составлении уравнений равновесия можно считать, что пластически деформированная система мало отличается от недеформированной.
Что же касается второго основополагающего принципа, т. е. принципа независимости действия сил, то в данном Рис. 351 случае он оказывается неприменимым. Это хорошо иллюстрируется хотя бы примером, представленным на рис. 351. Положим, что стержень нагружается силами Р, и Р„первая из которых имеет величину, достаточную для того, чтобы вызвать в стержне пластические деформации.
При прямой и обратной последовательности приложения снл удлинения стержня, как видим, оказываются различными. Зависимости между напряжениями и деформациями при нагрузке и разгрузке не совпадают. В соответствии с этим принято различать активное и пассивное деформирование образца. При активном деформировании или, как говорят обычно, активной деформации напряжение возрастает, при пассивной — уменьшается. Таким образом, участок диаграммы ОВС (рис. 350) соответствует активной, а СР— пассивной деформации. Деформация, измеряемая отрезком ОР (рис. 350), может рассматриваться как сумма чисто пластической, необратимой деформации ОР и упругой де- Э 69. СХЕМАТИЗАЦИЯ ДИАГРАММЫ РАСТЯЖЕНИЯ 34Э формации г0, которая восстанавливается после снятия нагрузки.
Таким образом, деформация образца не является ни чисто пластической, ии чисто упругой. При больших нагрузках в некоторых случаях можно пренебречь упругими деформациями по сравнению с пластическими. Если пластические и упругие деформации являются величинами одного порядка, их называют иногда упруго-пластическими деформациями.
Этот же термин употребляется по отношению к деформации различных тел, в которых имеются области упругих и области пластических деформаций. В связи с возникновением в работающей конструкции пластических деформаций весьма существенным является вопрос общих принципов ведения расчета. При пластических деформациях нельзя, как правило, пользоваться методом расчета по допускаемым напряжениям. В этом случае о пригодности конструкции судят либо по величине возникающих перемещений, либо же по величине предельной или разрушающей нагрузки.
Для того чтобы ввести в расчетные формулы зависимость о=г(з), диаграмму растяжения необходимо схематизировать. При упругих деформациях на участке ОА (рис. 350) диаграмма растяжения близка к прямой, и можно с весьма большой степенью точности принять, что а пропорционально е. Так устанавливается закон Гука. Дальнейшая схематизация участков диаграммы производится различными способами в зависимости от вида диаграммы и от предполагаемого метода решения конкретной задачи. В случае, если диаграмма материала имеет площадку текучести, как, например, для малоуглеродистых сталей, можно приближенно представить диаграмму состоящей из двух прямых (рис. 352).
До предела текучести имеет место обычная линейная зависимость, а дальше, когда напряжение а становится равным пределу текучести о,„, напряжение не зависит от деформации, т. е. а=о„. Понятно, что при достаточно больших удлинениях (см. рис. 352) эта закономерность теряет свою силу точно так же, как до этого теряет свою силу закон Гука. Диаграмма, показанная на рис. 352, носит название диаграммы идеальной пластичности. Можно представить также зависимость между о и е в виде двух прямых и для некоторых диаграмм, где отсутст- 35о Гл.
1О. пРинципы РАсчвтА зА пивдвлими РПРРгости вует площадка текучести (рис. 353). При е(е, имеем а=Ее, при е)е, а — а„= Р (з — е,), где Е и Р— угловые коэффициенты прямых. Величина Р обычно существенно меньше Е. Подобные диаграммы свойственны большей частью легированным сталям. Рис.
353 Рис. 352 Для некоторых материалов, как, например, для отожженной меди, диаграмма не имеет явно выраженного упругого участка (рис. 354). В этом случае кривая может быть Рис. 355 Р с.354 представлена степенной зависимостью з=Аа", где А и и — постоянные, которые подбираются так, чтобы принятая зависимость на участке рабочего изменения е возможно ближе подходила к экспериментально снятой кривой. Существенно отметить, что схематизация конкретного участка диаграммы зависит еще и от того, сколь широки $7Е.
НАПРЯЖЕНИЯ Н ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 351 пределы изменения деформаций в рассматриваемой задаче. Так, например, если ожидаемые деформации лежат в.пределах от 0(в(е; (рис. 355), диаграмму следует схематизировать прямыми ОА и АВ. Если необходимо исследовать поведение системы в пределах Ю ббльших деформаций, например в пределах 0(е(е„диаграмма может быть схематизирована прямыми ОА и АС.
гг В ряде случаев упругой деформацией по сравнению с пла- Р стической можно пренебречь. Рис. 366 Тогда диаграмма растяжения схематизнруется прямыми ОА и АВ (рис. 355). До напряжений, не превышающих предела текучести, тело рассматривается как жесткое, при ббльших напряжениях оно считается пластическим. Материал, наделенный такими свойствами, называется жестко-пластическим. Так или иначе, но во всех случаях функция, которой заменяется диаграмма растяжения, подбирается в первую очередь в зависимости от формы кривой.
Если в дальнейшем оказывается, что выбранная функция при решении конкретной задачи приводит к громоздким вычислениям, выбирают новую функцию с таким расчетом, чтобы, с одной стороны, она продолжала служить достаточно точным приближением к диаграмме растяжения, а с другой — сложность вычислений не была чрезмерной. Во многих случаях вместо подобранной аналитической зависимости а=((е) пользуются графическими, графоаналитическнми нли численными методами решении. С простейшими из этих методов мы ознакомимся ниже.
$70. Напряжения и перемещения в простейших стержневых системах при наличии пластических деформаций Рассмотрим несколько задач, на примере которых можно увидеть основные особенности поведения систем при пластических деформациях. Наиболее просто решаются зги вопросы для стержневых систем. П р н м е р 10.1. Определить абсолютное удлинение, возникаюшее под действием собственного веса, свободно висишей проволоки длиной 1 из отожженной меди, диаграмма растяжения которой предстанлена на рис.
367. Зависимость удлинения е от напряжения о может быть представлена степенной функцией е=Ао". Константы А и и заданы. На расстоянии г от конца проволоки п=тг, где т — удельный вес меди. Деформация е= Ау"г". 352 Гл. !а. принципы РлсчетА зА пРеделАми упРуГОсти Искомое абсолютное удлинение определяется путем интегрирования этого выражения по длине проволоки Наг Ы вЂ” ~ Ауагзаг — Ауи и+1 о П р и и е р 10.2.
Определить усилия в стержнях и перемещение узла А (рис. 358, о) в зависимости от силы Р. Найти также остаточные 1Г напряжения, которые возникают в системе после ее нагружения силой Р и последующей разгрузки. Диаграмма растяжения материала обладает участком идеальной пластичности (рис. 358, б). Прн малых значениях силы Р во всех стержнях системы возникают упругие деформации.
Усилия в стергкнях определяРис. 357 ются обычаыми методами рас- крытия статической неопределимости. Поскольку такая задача уже рассматривалась ранее (см. стр. 46), здесь мы выпишем значения усилий в стержнях без вывода Рсоа'а Р 1= 1+2созза ' з 1+2соз'11' А11 =, (1О.1) где А11 — нормальная сила в крайнем стержне, а А11 — в среднем. Перемещение точки А равно удлинению среднего стержня А(1! Рг 1 ЕГ ЕР 1+ 2 созна Эти зависимости сохраняются до тех пор, пока в среднем стержне, Рис.
358 в котором нормальная сила больше, чем в крайних, не возникнут пластические деформации. Это произойдет при )Уз: о РР (10.2) или при Р=п Р(!+2 созга). Далее напряжение в среднем стержне остается неизменным, равным отр. Сила А11 также не меняется. Она равна от Р. Усилия в боковых стержнях определяются в этом случае из условия равновесия узла й 70. ИдпРяжения и перемещения 353 (рис. 359). Система, таким образом, из статически неопределимой превращается в статически определимую, (10.3) 2 соз а Перемещение точки А (рис.
359) равно б(»~сова, или ы 1 (Р о р Р) 1 бд = ЕР соей и 2ЕГ соо» и Далее напряжения и в боковых стержнях становятся равными пределу текучести. Из выражения (10.3) следует, что это произойдет при Р= — о,рР(1+2 соз а). В этом случае система превращается в механизм, поскольку при дальнейшем возрастании силы Р условие равновесия для системы не соблюдается. В каждом из стержней нормальная сила, суля по диаграмме огрЛ гуу Рищ 359 растяжения, не может быть больше, чем отрР, а вертикальная составляющая трех сил равна п„Г(1+2 созга) и остается величиной постоянной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
