Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 59
Текст из файла (страница 59)
При упругих деформациях выражение (10.29) переходит в (10.27). Переход же упругого состояния' в пластическое характеризуется равенством а4=о,. Согласно выражению (10.25) мы приходим, таким образом, к гипотезе энергии формоизменевия. Многочисленные эксперименты, поставленные для проверки высказанного предложения, показали, что оно является правильным для весьма широкого класса случаев.
Таким образом, было установлено, что вид функции (10.29) о4 — — Е'е, определяется в основном свойствами материала и почти не зависит от типа напряженного состояния. Это положение является исходным пунктом теории пластичности, Вторым положением теории пластичности является условие, что изменение объема Е=е,,+ет+е, остается чисто упругим. Это хорошо согласуется с экспериментами.
При всех достижимых для современной техники давлениях не удалось с помощью всестороннего сжатия вызвать в материале пластические деформации. При деформировании материала пластические дефорьа4- ции, как правило, заметно' больше упругих. Так как е является величиной порядка упругих удлинений, то обычно принимают, что при пластическом деформировании объем меняется незначительно. Тогда при построении формул, связывающих компоненты напряжений и деформаций в пластической зоне, принимают р=142. Теперь составим искомые соотношения. Прежде всего отметим, что при одноосном растяжении„когда о =о, не=о =т„=т „=т „=О, е„=з, зт — — е,= — ре, у„,=у,„=у„„=0, интенсивность напряжений о4 (10.25) и интенсивность деформаций е4 (10.26) обращаются соответственно в о и в.
Значит, выражение (10,29) перех4зднт в (10.28), а это есть зтз гл. !о. пуинципы улсчетл зх пуедвллми упуугости аналитическое выражение кривой обычной диаграммы растяжения. Но согласно первому положению теории пластичности зависимость (10.29) едина для всех напряженных состояний. Следовательно, она пичем не отличается от обычной зависимости, задаваемой диаграммой растяжения. К а» Рис, 389 Надо только откладывать по осям не о и е, а а, и е, (рис. 389). Тогда а! т.
е. мы получаем величину переменного модуля. Теперь аналогично выражениям (10.24) выписываем соотношения пластичности е!1 1 ! Зе! е = — ~а — — (о +а)1 у = — т„ х а, ~ х З У » ) » У» , У» ! Зу; е = — '~а — — (а +а)З!, у = — 'т х а.'( х з к у) ху». ку где величина Е 2!!+ !»] преобразована с учетом того, что 9=1/2, т.
е. б'= ЗЕ'=З— ". Приведенные соотношения пластичности не являются совершенно точными и считаются верными по крайней мере для тех видов нагружения, при которых внешние силы в процессе нагружения возрастают пропорционально некоторому параметру, например времени. В атом случае, как можно показать, главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление. Такой вид деформации носит название простой де»рорма!(ии, а нагружение — просп!ого нагруясения, 327 У ТЕ НАЧАЛА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ Рассмотрим примеры решения некоторых задач, для которых необходимо применение аппарата теории пластичности.
П р и м е р 10.11. При решении задачи об упруго-пластическом кручении стержня с круглым поперечным сечением мы столкнулись с необходимостью иметь Анаграмму сдвига материала в области пластических деформаций. Зту диаграмму можно получить либо из прямого испытания на кручение, либо же перестройкой диаграммы растяжения при немощи соотношений пластичности. Задача ставится следующим образом: а) дана диаграмма растяжения о=/(е); паст. ронть диаграмму сдвига т=/(Т).
Дул уб ! и ж чг Ы щ ь л) Рис. 391 Рнс. 390 СОГЛЗСНО фОРМупаМ (10.30) ЕГ= — ( Ог — — Ом/), ИЛИ Ее= — — ' —. Увеличение дналюетра 3 е! РОз АО = )) ее = — — ' —. За! А (10.3!) Обращаемся к формулам (10.25) и (10.26). Для растяжения о!=о, а ег=е. Прн сдвиге, полагая р=!/2, находим ог= г)ГЗ, ег=у/)7 3 . Но зависнь1ость а!=/(е!) едина для всех напряженных состояний. По- этому зависимости о=/(з) ит р 3 =/ (у/р 3) одинаковы. Перестрой- ка диаграммы заключается, следовательно, в простой замене и на ту' 3, а е — на у/)' 3 ° Чтобы получить диаграмму сдвига, нужно в каждой точке диаграммы растяткення ординату уменьшить в )/ 3 раз, а абсциссу во столько хсе раз увеличить (рнс.
390). П р и м е р 10.!2. Определить увеличение диаметра цилиндриче- ского бака (рис. 391, а) в зависимости от величины давления р. Диаграмма растя7кенпя л1атериала задана на рис. 391, б; В= !300 мм, А=10 мм. Осевое и окружное напряжения в стенках цилиндра р/) р/) о„=он= —, о =ог= —, 4й ' " 2а 373 ГЛ. 1О. ПРИНПИПЫ РАСЧЕТА ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ По формуле (10.25) находим ,Г,, )Р3 р() Пг= г Оаг — Огапг+Ог= —— 4 й Порядок построения зависимости ЛО от давления р будет следу!ощип: задаваясь давлением р, находим об а по диаграмме испытания находим Ю,.в~ е;.
Затем из выражения (10.31) опрей делается ЛР и по точкам строится искомая заввсимость (рис, 392). р Полученное решение справедливо, понятно, в пределах небольших вели- 8 чин ЛВ, пренебрежимо малых по срав- нению с диаметром О. В противном г случае в выражениях для о„и п„необходимо было бы учитывать изменение диаметра. р, Ана П р и м е р 10.13. Для определеРнс 392 ниа силы УдаРной волны, возникающей при взрыве, часто применяготся тонкие свинцовые мембраны (рис. 393). Под действием давления ! ембрана получает остаточный прогиб, по величине хоторого и судят о силе вол.
ны. Требуется определить зависимость прогиба такой мембраны от давления. Решим задачу пряближенно, полагая, что напряжения распределены по толщине мембраны равиомеряо и что форма изогнутой мембраны Рис. 393 близка к сферической поверхности. Такое предположение, не сказываясь сильно на количественных результатах, значительно упрощает решение. Обозначим через р радиус кривизны сферической поверхности, а через м — половину центрального угла сегмента (рис. 394). Очевидно, р =пгз)п а, или, вследствие малости и, 9~а!ее, где а — радиус мембраны. се пк Далее, прогиб мембраны 1'=а!3 — щ —.
Окружные и мери- 2 2 ' диональные напрягкеиия в мембране О =Ог= — „= —. рр роа 2й 431' ' (10.32) Наконец, удлинения в мембране могкно определить по разности длины дуги АС и хорды АВг рп — рз1пее из 2 Гз (10.33) б Зов' йщ. нлчллл творим пластичности 379 Теперь обратимся к соотношениям пластичности (10.30). Примем ох=0, о =о„„а ов — — оь Тогда в = — ( о — — от~, ее= — ~от — — о 11 т — ( и ог(, 2 у' от~ 2 откуда о = — — 1(е + — ету1, от= — — '~зг+ — з,„).
Подставляя ож и ог в третье выражение (10.30), находим е = — (ем+ +ат). Подставляем е в выражение интенсивности деформаций (10.26). 2 Тогда ее== ез +е, ег+з). Но ем=ее=е, поэтому з;=2е, илн, 3 согласно выражению (10.33), 4 гз в = — —. 3 аз' Наконец, выражени«от (10.25) с учетом того, что о =О, а он=об приводится к виду раэ (10.35) Порядок построения искомой зависимости выглядит следующим образом. Задаемся прогибом 1'. По формуле (10.34) находим ер Далее, по диаграмме растяжения ог=1'(а;) определяется об а по формуле (10.35) находим давление р, соответствующее принятоыу прогибу.
Так по точкам строится искомая зависимость. а, Е- Рис. 395 Рнс, 394 П р н м е р !0.14. Отожженная проволока протягивается через коническое сужающееся отверстие (фнльеру). В результате диаметр проволоки меняется с размера )Уз на Р, (рис. 395). Пренебрегая трением и считая угол конусности малым, определить, во сколько раз при уназаниой схеме вытяжки можно уменьшить диаметр проволоки.
Мате. риал обладает свойством идеальной пластичности. Обозначим через 1) текущий диаметр, а через р — контактное давление и составим уравнение равновесия для элемента проволоки 330 Гл. 10, пРиниипы Рдсчетд зА пРеделАыи упРуГости длиной с(г (рис.
396); и ЛРа (а+ аа) — (Р + 2 се г(г) з — о. — + р л0сг бг = О, 4 4 где и — половиаа угла при вершине конуса. После преобразований получим а(а 4и — + — (а+р) =О. йг Р Так как материал обладает идеальной пластичностью, то интенсивность напряженного состояния а; постоянна и равна ат. Но в данном случае р а,=-а, ах=а = — р, т =т =т =О. у ха а х а Г!оэтому, согласно вырамсению (10.25), К получаем а+р=ат, а так как Р=Рт+2аг, то уравнение равновесия примет вйд Ю вЂ” г 31 4сш, 1' а'та'з а(г 01+ 2аг ' Интегрируя, получим а'г а= — 2ат (!и (Р, +2аг) — )п С). Рис.
396 Постоянную С подбираем из усло- вия, что при входе в фильеру, т. е. прн 0=0,, напряжение а равно нулю. Тогда полу шм 1.! 2 а=2о,!п — . Р Напряжение на вытягиваемом участке будет Р, ат = 2ат 1п —. Р,' Но а, не моткет быть больше ат, иначе этот участок будет продолжать удлийяться и султаться. Поэтому — ' < У' е = 1,66. Рг Естественно, что упрочнение материала и учет сил трения мо~ут заметно изменить эту оценку. ГЛАВА 11 ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ НАПРЯЖЕНИЯХ ф 75. Понятие об усталости материалов Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени.
Так, например, детали кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания (рис. 397) находятся под действием периодически меняющихся сил. Закон их изменения 1 ! 1 ! 1-.~ 1 Рис. 397 Р .ЗЗВ определяется видом индикаторной диаграммы и кинематическими особенностями механизма.
Ось вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 398), также испытывает циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы остаются неизменными. Происходит это в результате того, что частицы вращающейся оси оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах. 332 Гл. 11. пРОчнОсть пРи никли"!еских нхпРяжени51х Для оси вагона па рис. 398 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного сечения (рис. 399, а) имеем О=М„,„951,, Расстояние д от точки А до нейтральной оси 5Э меняется во времени по закону у= — вз)пса(, где а5— Рис.
399 угловая скорость вращения колеса. Следовательно, о (!) = — з(п а11. РаР 9У„ Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде с амплитудой Рао 0=— а 95 (рис. 399, б). Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа циклов может наступить разруше- ,.Р ние детали, в то время как (:"„....,!) при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
