Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 58
Текст из файла (страница 58)
П р и и е р 10.7. Определить разрушающую нагрузку для трех- стержневой системы (рис. 380) при условии, что диаграмма растяжения Лля стержней имеет участок упрочнения и разрушение происходит при напряжении а р (рнс. 380). $73. ОснОВы РАсчетл пО прндельным нАГРузкАм 38) Уравнение упругого участка диаграммы имеет вид а=Ее. Для участна упрочнення а — ат=Т7(е — ет). За разрушающую примем ту нагрузку, прв которой разорвется средней стержень. Это произойдет тогда, когда удлкневие е, стзнет равно Рис.
380 р . Определим, какое удлиненве е, будет иметь при этом каждый нз боковых стержней: б(г=Ипсоь и. Учитывая, что 17=1/соь гр, получим ег=еьсоьпа. Таким образом, к моменту обрыва среднего стержня боковые будут иметь Удлиненик е,=-епсоььа. НапРЯжениЯ пРи этом бУдУт: в сРеднем стеРжне а,р, а в боковых — либо а,=ар+0 (епсоь'а — е,), если е,соьпа> >е„либо же а,=Ее,соь'а, если е соьпа<ет. Предельная нагрузка будет равна Р„р„=о,Р+2а,Р соь а. Подставляя аг, находим Рпрпп — — а„Р+2а, Р соь а+2И>(ее соььа ет)соьа пРи е, соьзи>е или Рпр,„—— а,Р+2ЕРе, спазм пРи е соььп<е . П р и м е р 10.8.
Определить предельную нагрузку для системы, показанной на рис. 381, а. Балка предполагается жесткой, а стержни Рис. 381 имеют одинаковое поперечное сечение и сделаны из одного и того же материала, диаграмма растяжения которого дана на рис. 381, б. Если постепенно увеличивать силу Р, то усилия в стержнях будут увеличиваться. При некотором значении силы Р в стержне 1 или же в стержнях 3 и 4 напряжение станет равно а,. Однако зта сила еще не будет предельной.
Предельной является та, нри которой заметные пластические деформации возникнут и в стержне 2. Тогда система превра.- щается в механнзм и балка как жесткое целое поворачивается относительно точки А или В (относительно какой — это будет выяснено в дальнейшем). Положим сначала, что предел текучести достигнут в стержнях ! и 2. Тогда, взяв сумму моментов всех сил относительно точки В (рис, 382, а), определяем нредельиую нагрузку.
В этом случае 2 Я агР ° 2" +гггра.=Рпрпп 3 а~ Рпреп= 2 огР 379 Гл. 1о, пРинципы РАсчетА ЗА пределлати упРуГОсти Рассматриваем второй вариант. Полагаем, что предел текучести достигнут в стержнях 2, 3 и 4, и берем сумму моментов относительно точки А (рис. 382, б): 4 3 отп 4а сов се+отея=рпрех л, Рпреи= пгР (1+4 сова). 3 ' 4 Из двух полученных значений Р,,» выбираем меньшее.
При любых углах сг меньшим будет второе значение Рпр,д. бдг Рис. 382 П р и и е р 1Охд Определить предельную нагрузку для балки, показанной на рис. 383. Поперечное сечение — прямоугольное. Диаграмма с идеальной пластичностью. Для решения предложенной задачи и всех ей подобных следует ввести понятие пластического шарнира. Рпс. 383 Рассмотриы процесс распространения зоны пластических деформаций в балке при увеличении нагрузки. Пластические деформации появятся сначала в точках, расположенных у верхней и нижней поверх- Рис. 384 ностей в наиболее напряженных сечениях. Зоны пластических деформаций (при некотором значении силы Р) на рис.
384 заштрихованы. По мере роста нагрузки зоны пластических деформаций расширяются. В качестве предельного можно рассматривать случай, когда в некотором сечении, где имеет место наибольший изгибающий момент, пластические зоны сомкнутся, как зто показано пунктиром на рис. 384. Все сечение будет охвачено тогда пластической деформацией, и изгибающий момент в ием досгигнет предельного значения. Как уже было установлено в $73.
ОснОВы РАсчетА пО предельным нАГРузклм 371 ь 71, длп прямоугольного сечения 1 34п еп — — отйй . 4 Изгибающий момент не может стать больше предельного. Сечение, в котором возник предельный момент, можно уподобить шарниру с постоянным моментом трения. Такой шарнир носит название пластического шарнира. Очевидно, если в балке или раме возникнет несколько шаряиров, система может обратиться в механизм. Возвращаясь к рассматривае. мой балке, обнаруживаем, что ее ы предельное состояние характеризуется возникновением трех пластических шарниров (рис.
385). Из усло- л вия равновесия половины балки находим К,. тп 3 л еупп Рис. 385 или же Зйп Рпреп — от В дополнение к рассмотренному примеру на рис. 386 показано несколько статически неопределимых систем и соответствующих нм шарнирных механизмов, 7 Р П Рис. 386 372 Гл. 10. пРинципы РАсчетА зл пределами упруГОсти В случае а) Рпрел=ЗМпрел11 В случае б) Рлрел=4Мгреп11. В случае в) Рлрел=2Мпрел1!. 2М ар„1+ а В случае г) Чпрел= 1а 1 — а Вели шна а подбирается из условия максимума изгибающего момента в шарнирах А.
Полагая, что на расстоянии а от опор поперечная сила Я равна нулю, находим: п=1(1 2 1) лорел= 1е !$ 2 +!) При изменении формы поперечного сечения в полученных выражениях мевяется только величина Мнр,л. П р и м е р !0.10. Определить Марпл для круглого в треугольного поперечных сечений. Рнс. 387 В обоих случаях зона пластичности охватывает все сечение (рис. 387), и предельный момент представляет собой момент сил, выражающихся через постоянное напряжение о . ябе 2о отР Для круга А!прел — — 2от — с. Так как с= —, то Мпрел —— прел — т 8 Для треугольного сечения сначала необходимо найти положение оси разделз, т.
е. величину йм Эта величина определяется из условия равенства нулю нормальной силы в сечении или равенства площадей верхней растянутой и нижней сжатой зон. Предельный момент равен сумме моментов снл в обеих зонах. '14п ел= — огб1е ~ ! — ( ° $ 74. Начала теории пластичности До сих пор мы имели дело с простейшими видами напряженных состояпий.
Мы рассматривали либо одноосное растяжение или сжатие, либо чистый сдвиг. При этом характеристика материала для соответствующего напряженного состояния считалась заданной, и в этих условиях решение задачи не встречало принципиальных трудностей. АЙТЕ НАЧЛЛА ТЕОРИИ ПЛЛСТУП!НОСТИ 373 Если перейти к более сложным задачам, то прежде всего возникает вопрос, как при других напряженных состояниях связать аналитически напряжения и деформации, а главное, как по результатам испытания образца на растяжение перейти к зависимостям сложного напряженного состояния.
В пределах упругих деформаций этот вопрос решается сравнительно просто. При растяжении справедлив закон Гука в простейшей форме: о=ЕЕ. Для сложного напряженного состояния имеем линейные соотношения обобщенного закона Гука: 1 Тух и 1о и(о~+о)1 777 а у„= я (оу — р(о,+о„)), 7,„= ™, (10,24) 1 «у ех= Р (ох Р(ох+оу)1~ 7ху= 77 Условия перехода из упругого состояния в пластическое могут быть определены по критерию пластичности. Как мы уже знаем, в настоящее время имеется несколько критериев перехода из упругого состояния в пластическое. Наиболее приемлемыми являются: теория Мора, вытекающая из нее в частном случае гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения.
Наиболее удобной для построения соотношений пластичности является последняя. По этой гипотезе переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина о,= = — )7 (о,— о,)'+ (о,— о,)'+ (о„— о„)'+ 6 (ту,+т'„+т.,'у), (10.25) называемая интенсивностью напряжений, достигает предела текучести. Величина о, в упругом состоянии может быть выражена при помощи соотношений (10.24) через деформации. Тогда после преобразований получаем х 2 (1+ 14) Х ~77 (З вЂ” Ех)у-'~-(З,— Зх)'-р(зх — Е )'+ — (7ух+7ы+уху) ° зу4 гл.
пс пэинципы нлсчвтл зл павдвллмн упеугости Обозначим з= 'с х 2 (1+ а) х 1/ (е — е,)'+(е,— е„)'+(з„— з, )'+ — (г„',+у,'„+7'„.) (10.26) и будем эту величину называть интенсавностью дефоржа14ий. Для упругого состояния справедливо следующее соотношение: о,=Ее,. (10. 27) Это соотношение можно рассматривать как одну из форм обобщенного закона рука. Теперь надо решить, как будет выглядеть связь между компонентами напряжений и деформаций в пластическом состоянии. Опоеделение этих соотношений и решение на их Ф основе ряда задач механики сплошных сред и составляет содержание теории пластичности. Зависимости между компо- нентами напряжений и дефор"1г' маций в пластической зоне должны быть, очевидно, построены так, чтобы при упругих дефор- Ю с мацнях искомые соотношения переходили в соотношени н (10.24).
Но этого мало. Нужно, чтобы из тех же соотношений пластичности как следствие вытекал принятый ранее критерий пластичности, т. е. и данном случае критерий энергии формоизменения. Тогда искомые соотношения пластичности будут представлять собой логическое расширение установленных ранее закономерностей. Для законов пластичности удобно избрать ту же форму написания, что и для законов упругости. Так, вместо того чтобы писать о=1(е), где 1'(е) есть функция, заданная графически диаграммой растяжения, можно написать о=Е'з, (10.28) где Е' рассматривается как функция деформации з. Из диа- с граммы (рис. 388) видно, что Е' = †.
При упругих деформациях (см. рис. 388) ~р'=ср, Е'=Е. $ Тс НАЧАЛА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 375 При переходе к сложному напряженному состоянию весьма заманчиво выглядит перспектива обобщить таким же обоазом и соотношение (!0.27), приняв О,=Е'е4, где Е' снова рассматривается как переменная величина, а соотношение (10.29) сохраняется единым для всех видов напряженного состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
