Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 53
Текст из файла (страница 53)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ 334 Наличие в верхней части сосуда напряжений сжатия аг является в данном случае вполне закономерным. Меридиональное напряжение о„, в зоне закрепления является. очевидно, растягивающим. Так как давление р здесь мало, то равновесие выделенного элемента (рис. 333) возможно только при сжимающем окружном напряжении о». Если бы сосуд был закреплен в нижней части, то это явление не имело бы места, поскольку на верхней кромке ом равнялось бы нулю. Возникновение сжимающих напряжений ог при внутреннем давлении свойственно не Рис. 333 Рис.
334 только сферическому сосуду. Например, в цилиндрическом баке, заполненном жидкостью (рнс. 334), в зоне перехода от цилиндрической части к днищу также могут возникать при опр еделениых условиях Рис. 335 сжимающие напряжения. Чтобы оболочка не теряла устойчивость, ее необходимо в этом месте укреплять. П р и и е р 9.4. Определить напряжении в торообразном баллоне. нагруженном внутренним давлением р. Размеры баллона даны на рис. ЗЗЬ, а, 332 ГЛ. 9.
ТОНКОСТЕННЫЕ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ СОСУДЫ Выделим сечениями, нормальными к поверхности, часть торообразной оболочки (рис. 335, б). Составляя для нее уравнение равновесия, находим оа2иа (а+й з)и ф) з)и ф=ра ((а+й я)и ф)з — аа), Рй 2а+й з!и ф 26 а+йзш ф Подставляя в уравнение Лапласа (9.!) Р„=й, рг= . ф и а+й з)и ф з!и ф рй полученное выражение для о,„, находим о!= —. 2а ' Наибольшее напряжение о„, возникает во внутренних точках торо- образной оболочки при ф= — л/2: мах Рй 2а — й оаа 26 а — й Так как напряжения о~ю'" и о! имеют общий знак, то твх Рй 2а — й о,„,=о„ 2а а — й' (9.7) В частном случае а=о тор обращается в сферу, и выражение (9.7) совпадает с выражением (9.3), полученным для сферы.
При а=ее тор обращается в цилиндр. Тогда выражение (9.7) совпадает с выражением (9.4). При а=й периметр внутреннего круга обращается в нуль и о,„,= $66. Основные уравнения для толстостенной трубы Мы рассмотрели способы определения напряжений в осесиммегричных тонкостенных сосудах, находящихся под действием внутреннего давления. Основным условием применимости расчетных формул было требование тонкостенности. Необходимо, чтобы толщина оболочки была существенно меньше других характерных размеров, например радиусов кривизны. Зто позволяет считать напряжения равномерно распределенными по толщине и пренебрегать надавливанием между слоями оболочки. В технике для удержания высокого давления приходится иметь дело и с толстостенными сосудами. Обычно это— цилиндр, внешний диаметр которого в несколько раз превышает внутренний.
Задача определения напряжений в таком цилиндре заметно сложнее, чем для тонкостенных сосудов, и одними только уравнениями равновесия обойтись не удается. Приходится рассматривать и возникающие в цилиндре перемещения. Зту задачу называют задачей Ламе по имени фран- 6 66. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ 333 цузского ученого, работавшего в 20-х годах прошлого столетия в Петербургской Академии наук. Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы (рис. 336), нагруженное тем или иным способом, но так, что внешняя нагрузка является осесимметричной и вдоль оси цилиндра не меняется.
Размеры цилиндра могут быть произвольными, и на соотношение между внутренним и '.тяЫ -' наружным радиусами цилиндра ограничений не накладывается. Длину цилиндра пока также будем считать произвольной. В дальнейшем по это- и му поводу будут сделаны некоторые оговорки. Каждая точка цилиндра при его деформации получит какието перемещения. По условиям симметрии эти перемещения, очевидно, будут происходить в радиальных плоскостях.
Точка может перемещаться Рис. 336 по направлению радиуса и вдоль соответствующей образующей. Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через и. Величина и является функцией текущего радиуса г и не изменяется по длине цилиндра. За положительное направление для г примем направление от оси цилиндра (рис. 336). Что касается перемещений вдоль осн, то будем считать, что они возникают только как следствие общего удлинения или укорочения цилиндра. Если осевые перемещения существуют, то они распределены так, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими.
Обозначим через е, и Б, относительные удлинения в цилиндре в радиальном и окружном направлениях и выразим их через перемещение и. Для этого рассмотрим элементарный отрезок АВ=йг, выделенный в радиальном направлении (рис. 337), до и после нагружения цилиндра. Точка А получает перемещение и, а точка  — перемещение и+6(и. Легко установить, что новая длина элемента будет равна 6(г+ди, а его относительное удлинение (9.8) Рассмотрим, далее, длину окружности, проведенной внутри цилиндра до и после его нагружения (рис. 338).
Длина 334 гл. 9. тонкОстенные и толстостенные соседы окружности до нагруження цилиндра равна 2яг. После нагруження радиус увеличится на и и длина окружности будет равна 2н (г+и). Относительное окружное удлине- ние равно 2и (г+ и) — 2ис 2ит или и е,= —. г Исключая из равенств (9.8) и (9.9) и, получаем —,(е,г) — е, = Р. (9.9) (9.10) Обратимся теперь к уравнениям равновесия.
Рес. 338 Рис. 331 Выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 339). Размеры этого элемента равны Й, с(ги гйа. В осевых сечениях цилиндра (плоскость АЕС0 элемента) по условиям осевой симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные напряжения о,, называемые окружными. В поперечных сечениях цилиндра (поверхность СОЕЕ элемента) касательные напряжения также предполагаются равными нулю. Основанием этому служит условие независимости перемещений и от координаты г.
В поперечных сечениях могут существовать нормальные (осевые) напряжения а„, которые возникают как следствие нагружения цилиндра силами вдоль оси. Эти напряжения предполагаются неизменными как по оси, так и по радиусу цилиндра. Поскольку площадки АЕС0 и СВЕР являются главнымн, главной будет также и площадка АОЕ6. Напряжение на этой площадке обозначим через а„. Оно называется радиаль- 5 ии. уРАвнвния для толстоствннон твувы 335 ным напряжением. Прн переходе от радиуса г к радиусу г+дг напряжение о, получит приращение до,. В рассматриваемой постановке, как видим, задача определения напряжений и перемещений в теле вращения решается в функции только одного независимого переменного — радиуса г. Проецируя силы, действующие на элемент, на 1 с) Е' направление радиуса, получаем следующее условие равновесия: (о, + ао,) (г+ о'г) с(ср с(г— — о««Фраз — о1 с(г с(г йр = О, Я В откуда ~1« Рис.
339 или — (о,г) — о, = О. (9.11) и' Остальные уравнения равновесия для элемента удовлетворяются тождественно. Согласно обобщенному закону Гука напряжения о„ о, и о, связаны с удлинениями е, и е, следующими соотношениями: е„= —,(о,— 1(о,+о,)), и,= е (о,— р(о,+о,)). (9.12) 1 1 Будем считать, что напряжение о, нам известно из условий загружеиия цилиндра осевыми силами по торцам. Подставим а„и е, в выражение (9.10). Тогда в дополнение к уравнению равновесия получим — (о,г) — о, = О.
(9.13) Складывая и вычитая почленно уравнения (9.11) и (9.13), получим два новых уравнения: — „, 1(о,+о,)г) — (о1+ „)=О, д — 1(о,— о,) «)+(о,— о,) =О. ззв гл. и. тонкоствнныв и толстоствнньш сосиды Решая их, находим о«+о«=2А о« вЂ” а.= —,з йВ где А и  — произвольные постоянные. Далее определяем В о,=А~ —, «' (9. 14) (верхнему индексу соответствует верхний знак, нижнему — нижний).
Перемещение и может быть найдено из выражения (9.9), если е, определить предварительно по закону Гука из (9.12): и — ~ А(1 — р) г -1- В (1+ р) — ро,г1. (9.15) ! Г ! $67. Определение перемещений и напряжений в толстостенном цилиндре Рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом а и внешним Ь (рис. 340). Для общности будем полагать, что цилиндр нагружен одновременно и внутренним давлением р, и внешним ры В дальнейшем, принимая р =О, либо р„=О, можно будет проанализировать отдельно случаи действия только внутреннего и только внешнего давления. При этом надо еще учесть, что если цилиндр имеет днище (рис.
341, а), то в нем возникает осевая растягивающая сила, равная р,па' — рьпЬ'. Осевое напряжение о, будет следующим: а« ьи Рис. 340 а =~' ~.' . (9.16) и Ь«аи Длина цилиндра при этом предполагается достаточно большой для того, чтобы можно было считать, что напряжение о, распределено по поперечному сечению равномерно н что удерживающее влияние днищ на радиальные перемещения цилиндра ничтожно мало. Ф ье ОпРеделение перемещений и НАпРяжений ззт Кроме указанного, рассмотрим случай, когда п,=О, как, например, для цилиндра, показанного на рис. 341, б. Возвращаясь к формулам (9.14), определяем постоянные А и В из следующих граничных условий: о,= — р, прн Рис. 34! «=а; а,= — рь при «=Ь, т.
е. в А — —,= — р ав а~ в А — — = — р Ьв — рь~ откуда р„ав — рьЬ» авЬ» А = '., В= — (р,— р,). Ьв — ав Ьв — ав вместо (9.14) и (9.15) получаем Раа' — РЬЬ' а»ЬВ Р» — РЬ Ьв ав «в Ьв — ав ' 1 вв Раа Рьь ~+Ьва Ь Ра — Рь Р «+ — — — — — о «. Е Ь' — ав Е «Ьв — а' Е В итоге (9.17) и, = (9.18) Наличие осевого напряжения о, сказывается только на величине радиального перемещения и. В случае, если цилиндр нагружен силами давления в осевом направлении, то согласно выражениям (9.16) и (9.18) получаем Заа гл. е. тонкостанныа и толстоствнньш сосуды Если осевая сила отсутствует, то ! в Раа — РЬЬ 1 +Р и Ь Ра РЬ т9 2О Е Ьс — а' Е г Ьс — аи ' Теперь рассмотрим два частных случая. Цилиндр нагружен внутренним давл е н н е м. В этом случае р,=р, рь=О.
Формула (9.17) принимает внд (9.21) На рнс. 342 показаны эпюры изменения радиального н окружного напряжений по толщине цилиндра прн нагруженнн внутренним давлением. Окружное напряжение, как Рис. 342 н следовало ожидать, является растягнвающнм, а раднальное — сжимающим. У внутренней поверхности о, достнгает наибольшего значения Ь'+ аи он~=а)=Р и Раднальное напряжение прн этом равно — р. По теории наибольших касательных напряжений (в случае отсутствия осевой силы, т. е. прн о,=О) Ьи+аи "-=" — "=РЬ вЂ” *- * — ( — Р) нлн 2Ьс (9.22) 5 Еп ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ И НАПРЯЖЕНИЙ 333 Проследим, как изменяются напряжения и, и и, по мере уменьшения толщины цилиндра. Примем Ь=а+6, где 6— толщина цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
