Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 48
Текст из файла (страница 48)
313). Понятно, что это не исключает возможности в дальнейшем, когда будут найдены новые методы испытания, уточнить форму огибающей и тем самым более полно отразить особенности поведения материала в условиях, близких к всестороннему растяжению. Выведем выражение для а„„полагая, что огибающая является прямой.
На рис. 314 эта огибающая проведена по касательной к предельным кругам растяжения и сжатия (точки 0 и Е). Построим круг Мора для некоторого напряженного состояния, заданного наибольшим и наименьшим главными напряжениями а, и а, (рис. 314). Если все компоненты этого напряженного состояния увеличить в и раз (где и — коэффициент запаса), то круг станет предельным. Напряжения ат и аз примут значения о*, и а,': а =пап о' =па.
(8.3) Этот увеличенный (предельный) круг Мора касается предельной огибающей в точке С'. Кроме того, согласно условию пропорционального увеличения компонент он будет касаться продолжения луча ОА в точке В. Из точки С' проводим горизонтальную прямую С'Еб и составляем пропор- стЕ г"0 цию: —, = —,. Но отрезки БЕ и Еб представляют собой с'и с'б ' разности радиусов рассматриваемых кругов. Поэтому * атр ат — аз ЕС атс ат аз 2 2 ' 2 2 зо4 гл. к квитками пластичности и глзгушения птр Для эквивалентного растяжения а= —.
чвкв По условию эквивалентности коэффициенты запаса и в этих напряженных состояниях равны. Поэтому ов а и! — Ь~в, где через й обозначено отношение предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии: й= — ~. (8.5) чтс В частном случае, если материал имеет при растяжении и сжатии одинаковые пределы текучести, 1=1. Тогда формула (8.4) переходит в полученную ранее формулу (8.1).
В настоящее время практические расчеты по допускаемым напряжениям в сложном напряженном состоянии ведутся, как правило, на основе формулы (8.4). Вместе с тем, если материал обладает одинаковыми механическими характеристиками при растяжении и сжатии, то расчеты можно вести по формулам гипотезы энергии формоизменения. Числовые результаты получаются вполне удовлетворительными. Основное ограничение, которое накладывается на при. менение теории Мора, связано с недостаточной точностью определения предельной огибающей в области всестороннего растяжения, Это ограничение, однако, не столь существенно, поскольку напряженные состояния такого рода при решении практических задач встречаются редко. Недостаточно точно известен также вид предельной огибающей в области глубокого всестороннего сжатия. Здесь вследствие принятого упрощения также возможны погрешности.
Наилучшие результаты выведенная расчетная формула дает для смешанных напряженных состояний, т. е, прн п,)0 и п,(0. Тогда предельный круг Мора располагается в интервале между предельными кругами растяжения и сжатия. Подход Мора хорош тем, что позволяет в связи с особенностями напряженного состояния доходчиво разъяснить относительную условность деления материалов на пластичные и хрупкие. Для одного и того же материала мы всегда можем построить две огибающие предельных кругов Мора. Первая огибающая характеризует переход от упругого состояния материала к пластическому.
Поскольку образование плас- у аь тнония мова и ев пвимннпнив зоб тических деформаций мы принимаем независимым от шарового тензора, эта огибающая представляет собой прямую, параллельную оси и (рис. 315). Вторая огибающая соответствует разрушению образца (кривые 2). Лля материала пластичного (в общепринятом понимании этого термина) прямая 1 в правой части диаграммы Рис. 3! б (рис. 3!5, а) проходит ниже кривой 2.
Это означает, что при обычном испытании образца на растяжение круг Мора 3, по мере увеличения растягивающего напряжения о, сначала пересечет прямую 1. В образце возникнут пластические деформации. Затем круг 3 коснется кривой 2. Образец разрушится. Теперь рассмотрим взаимное расположение огибающих для хрупкого материала (рис. 315, б). Здесь прямая 1 в правой части диаграммы расположена выше кривой 2. При испытании образца на растяжение круг Мора 3, не касаясь прямой 1, соприкасается с кривой 2.
Разрушение происходит без заметных остаточных деформаций, как и положено для хрупких материалов. Предел текучести при этом, естественно, не определяется, Но это еще не значит, что он не существует. Представим себе, что мы испытываем тот же образец на растяжение в условиях высокого гидро- статического давления. Тогда круг 3, как единое целое, сместится в левую часть диаграммы и при увеличении растягивающей силы коснется сначала прямой 1, ио не кривой 2. Мы получаем и пластические деформации для материала, считающегося хрупким, и находим даже его предел текучести.
С другой стороны, и пластичный материал может получить все признаки хрупкого разрушения, если его испытывать в условиях наложенного всестороннего растяжения. Главное достоинство теории Мора заключается в принципе подхода к рассматриваемому вопросу. К сожалению, на агу сторону далеко не всегда обращается внимание, н часто теория Мора ставится в один ряд 306 Гл.
з. кРитеРии плАстичнОсти и РА3Рушения с общеизвестными гипотезами, а то обстоятельство, что в частных случаях расчетная формула Мора совпадает с расчетной формулой гипотезы касательных напряжений, усиливает впечатление о равноценности этих подходов. Между тем феноменологический подход Мора, т. е. подход, основанный на логическом описании явления, является наиболее естественным и правильным. При обнаружении погрешностей или несоответствий этот подход сохраняет за нами возможность внести в теорию дополнительные уточнения. Так, если в дальнейшем удастся провести испытания образцов в области положительных о, и пв, можно будет аппроксимировать предельную огибающую Мора уже не прямой, а некоторой кривой.
В расчетную формулу в этом случае войдут не только характеристики материала на растяжение и сжатие, но и некоторые новые показатели, найденные в результате дополнительных испытаний. Особое значение приобретает феноменологический подход в последнее время в связи с широким применением в технике новых материалов. Такие материалы, как сгеклопластики, стеклоткани и вообще материалы, имеющие волокнистую структуру, часто работзют в условиях сложного напряженного состояния. При анализе подобных коаструкций уже не приходится рассчитывать иа апробированные теории. Надо создавать новую теорию. Счастливую гипотезу найти трудно, и более целесообразным является феноменологический подход.
Сказанное о предпочтительности феноменологического подхода к вопросам предельного состояния не зачеркивает практического значения некоторых гипотез. Такие гипотезы, как гипотеза максимальных касательных напряжений и гипотеза энергии формоизменения, прочно вошли в расчетную практику и обеспечивают большие удобства при решении конкретных задач. Гипотеза энергии формоизменения приобрела особое значение в связи с созданием и развитием теории пластичности (см. 5 74). Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение теории предельных состояний.
Рис. 3!6 П р и м е р 8.1. Определить, какое из трех показанных на рис. 316 напряженных состояний яиляется более опасным. Числовые значения напряжений заданы в МПа. Материал на растяжение и на сжатие работает одинаково (А=1). Подсчитываем величину эквивалентного напряжения по формуле (8.4) окка=от пв' и) пвкв=80 10=70 МПа; б) пвкв=бо ( — 10)= =70 МПа; в) п,ив=75 — 0=7Ъ МПа. Наиболее опасным является состояние в . Состояния а) и б) равноопасны. р и м е р 8.2. Прибор для исследования морских глубин опускается под воду на глубину Н (рис.
317). Вес прибора в воде равен Р. й а1. ТИОРия МОРА и ии примииииин 307 Удельный вес воды у, удельный вес материала троса ут. Определить эквивалентные напряжения в верхнем и нижнем сечениях троса, если А=1, В нижнем сечении имеет место трехосное напряженное состояние. Растягивающее напряжение создается весом прибора, сжимающее— давлением жидкости на глубине Н: Р Ф ах= —, па=ив= — уН.
Г ' Р пбэ оэае= г +РН о' 'игл В верхнем сечении имеет место только осевое растяжение, создаваемое весои прибора Р и весом троса в воде Р,=(у,— у) ГН. Таким образом, в верхнем сечении Р+ Рт 1' о...= — =-+(у, — у) Н. Р Г Ю Если удельный вес троса более р )НУ чем в два раза превышает удельный 4" и вес воды, то наиболее опасным будет верхнее сечение троса. Это сечение Рис.
317 необходимо также проверить на прочность в случае, когда прибор висит на тросе в воздухе перед опусканием в воду. П р и м е р 8.3. Через систему шестерен передается момент Щ (рис. 318). В пределах вычерченного узла этот момент уравновешивается 30 Рис. 318 моментом 0)й на нижней шестерне, где 1 — передаточное число от первого вала ко второму. Подобрать диаметр первого вала, если дано: Я)( 2500 Нм, )с 8 см, а=80 см, Ь 10 см. Материи на растяже- 303 Гл.
э. критерии плАстичности и РАВРушения ние и сжатие работает одинаково: птр — — о,=300 МПа. Требуется обеспечить двукратный запас прочности (а=2), Из условия равенства нулю суммы моментов относительно оси вала находим тангенциальную силу на шестерне (рнс. 318, б): Р=г!)р'й. Между шестернями возникает не только тангенциальная, но и радиальная сила Ря. Ее величина зависит от типа зацепления, Обычно принимают, что Ря=0,4Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
