Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Нужно знать также закон изменения толщины оболочки, Однако встречающиеся на практике оболочки имеют, как правило, постоянную толщину. Осесимметричными, или просто симметричными, оболочками называются такие, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения.
Будем полагать в дальнейшем, что нагрузка, действующая на такую еболочку, также обладает свойствами осевой симметрии. Для таких оболочек задача расчета значительно упрощается. Получается это потому, что все внутренние силы для такой оболочки по дуге круга не изменяются и зависят только от текущего радиуса или длины дуги, измеренной вдоль образующей тела вращения. Для несимметричных оболочек 324 гл. 9.
тОнкостенные и тОлстостенные сОсуды распределение напряжений определять значительно сложнее. К схеме осесимметричных оболочек сводится в основном расчет котлов, баков и вообще сосудов, нагруженных внутренним давлением. Понятно, что новая схема требует и новых подходов и воспользоваться теми приемами, которые разрабатывались ранее для стержня, здесь не представляется возможным.
Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине, и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментиой теорией оболочек. Если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами, то к ее расчету с успехом может применяться безмоментная теория. При наличии же перечисленных особенностей в местах крепления оболочки и в местах резких изменений формы возникают повышенные напряжения, обусловленные изгибным эффектом.
Решение подобных задач более точными методами с учетом изгибающих моментов показывает, что зона повышенных изгибных напряжений остается в большинстве случаев весьма ограниченной, и поэтому на достаточном удалении от перечисленных особых областей определение напряжений может производиться по безмоментной теории. Определение же напряжений в указанных зонах требует особого исследования. Следует, наконец, отметить, что чем меньше толщина оболочки, тем ближе к действительности предполагаемый закон постоянства напряжений по толщине и тем более точные результаты дает безмоментная теория.
Вопросы общей теории оболочек выходят далеко за рамки курса сопротивления материалов и представляют собой в настоящее время сильно развитый и самостоятельный раздел механики. Мы к этим вопросам, естественно, обращаться не будем и остановимся только на простейших вопросах безмоментной теории. $ 65. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории Рассмотрим симметричную оболочку толщиной й (рис. 323). Обозначим через р радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхности (рис.
323, а), а через р,— второй $6а опРеделеиие нАпРяжений 325 главный радиус, т. е. радиус кривизны нормального сечения, перпендикулярного дуге меридиана. Эсот радиус равен отрезку нормали, заключенному между срединной поверхностью и осью симметрии (рнс. 323, а). р и р, являются Рис. 323 в общем случае функцией угла Π— угла между нормалью и осью симметрии. Двумя парами меридиональных и нормальных конических сечений (рис. 323, б) выделим из оболочки элемент Рис. 324 сй,й„представленный на рис. 324.
Будем считать, что на гранях элемента возникают напряжения о„и о,. Первое будем называть меридиональным напряжением. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение о, называется окружным напряжением. Напряжения о и о„, умноженные на соответствующие площади 326 ГЛ. 9. ТОНКОСТЕННЫЕ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ СОСУДЫ граней элемента, дадут силы о Йдз; и асссасз„показанньсе иа рис. 324. К этому же элементу приложена сила нормального давления рс!зсс1зс.
Проецируя все силы на нормаль, получим рдзсс)зс — а )сс!зсс)8 — асй с!зсаср = О. Так как )8= —, йр= —, сссс <В, Рю РС' то в итоге а„, ес р + Ри Рс (9.1) Это соотношение известно под названием уравнения Далласа. Для элемента, показанного на рис. 324, можно составить еще одно уравнение, проецируя все силы на направление оси оболочки. Удобнее это делать, однако, не для элемента, а для части оболочки, отсеченной коническим нормальным сечением (рис. 325).
Обозначая через Р осевую равнодействующую внешних сил, получим 4г 4е о 2яг)с з!п8=Р. (9.2) Отсюда определяется меридиоРнс, 325 нальное напряжение а . Таким образом, по безмоментной теории напряжения а на,воболочкеопределяются из уравнений равновесия. Третье главное напряжение, напряжение надавливания между слоями оболочки, предполагается малым, и напряженное состояние оболочки считается двухосным.
Действительно, наибольшее радиальное напряжение по абсолютной величине равно нормальному давлению р, в то время как а„и о, согласно уравнению Лапласа имеют величину порядка рр !сс или ррсссс. Прежде чем перейти к конкретным примерам расчета по безмоментной теории, докажем две следующие теоремы. Т е о р е м а 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей снл давления на заданную ось равна произведению давления $66.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ 327 р на площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси. Положим, задана поверхность Р (рис. 326), на которую действует равномерно распределенное давление р. Требуется определить проекцию па ось х равнодействующей сил Рис. 326 давления. Эта проекция Р, будет, очевидно, равна Р„= ) р сов ~р6)Р, где ~р — угол между нормалью к поверхности и осью х. Площадь проекции элемента ор на плоскость Х, перпендикулярную оси х, равна др'=6)Р соз ~р. Следовательно, Рк = Р ) 61Р = РР ° Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующей сил давления на ось х, нужно предварительно спроецировать поверхность на плоскость Х, а затем умножить давление на площадь этой проекции, что и требовалось доказать.
Т е о р е м а 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости (рис. 327), то вертикальная 323 Гл. 9. тОнкОстенные и толстостенные сОсуды составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Вертикальная составляющая сил давления для площадки с(г', согласно первой теореме, равна произведению давле- ния, действующего на эту ррмгю площадку, иа проекцию — — — площадки на горизонтальсдагсяи — ную плоскость, т. е. рог"'. — — — Так как р=ух, где у— — удельный вес жидкости, то вертикальная сила, действующая на пло~цадку дг", равна ухе(г'. г(р Но х с(г"' — объем зле- ментарной призмы, распоРис. 327 ложенной над площадкой с(г.
Суммарная искомая сила будет, следовательно, равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью г". Очевидно, что найденная сила не зависит от формы сосуда. Так, во всех трех случаях, представленных на рис. 328, сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же, равной весу жидкости в объеме цилиндра АВС0.
Рис. 323 рассмотрим некоторые примеры определения напряжений в тонкостенных сосудах. П р и м е р 9.1. Сферическая оболочка радиуса )с и толщины й находится под действием внутреннего давления р (рнс. 329, а). Определить напряжения, возникающие в оболочке. Для сферической оболочки р =рг=)с. Вследствие полной симметрии ам=от. Формула Лапласа (9.1) дает он=от —. НапряженрЯ 2й ное состояние является двухосным (рис.
329, б); о,=не= —. Нар)т 26 ' именьшее напряжение о, принимается равным нулю. По теории Моря, б бб. Определение нлппяжений 329 независимо от величины й, р)1 и =ог — йоа= ака 2й ' (9.3) 4 Рис, 329 г 1 1 1 — 1- г т'." „к (" "Да я й.р" кг Рис. 330 П р и м е р 9.3. Полусферический сосуд радиуса Я и толщины й (рис. 331, а) заполнен жидкостью с удельным весом у. Определить напряжения в сосуде н построить эпюры паа, ог и пака. Нормальным коническим сечением с углом 21р при вершине отсекаем нижнюю часть сферической оболочки (рнс. 331, б) и составляем для нее уравнение равновесия (9.2), где Р— равнодействующая сила давления жидкости.
Согласно второй теореме сила Р равна весу жидкости в объеме, расположенном выше отсеченной части оболочки. Введем вспомогательный угол ф и определим объем АВСЕ0 (рис. 331, б): Р= ~ 2н)1а з1п ай сова фа(ф з Пр имер 9.2. Цилиндрический сосуд (рис. 330, а) находится под действием внутреннего давления р. Радиус цилиндра равен )1, толщина равна й. Определить напряжения. Отсекаем поперечным сеченн- б ем часть цилиндра (рис. 330, б) и состанляем для нее уравнение равновесия (9.2): амуийй=Р. Осевая составляющая сил дав- . и ления, независимо от формы днища, по первой теореме будет равна Р= =псар. Таким образом, о рй аа 2й Для цилиндра р„,=со, рг=)1, Поэтому из формулы Лапласа (9.1) находим ог=рК1й, т. е.
окружное напряжение оказывается вдвое ббльшнм меридионального. Элемент АВС1), выделенный из цилиндрической оболочки, находится в двухосном напряженном состоянии (рис. 330, в):од ог,ок=ом, о,=0. Эквивалентное напряжение рй пака — от йпз— й (9А) Для цилиндра, как видим, эквивалентное напряжение оказывается в два раза ббльшим, чем для сферической оболочки того иге радиуса и той же толщины. 339 ГЛ.
9. ТОНКОСТЕННЫЕ И ТОЛСТОСТЕННЫЕ СОСУДЫ или 2 1' = — п)та (1 — созе ф). 3 Таким образом, находим: 2 Р = — и)!ау (1 — соз' ф), 3 (9.5) Т)та 1 — соз' ф о,„=— 35 а!Паф у)та( 1 — соаз ф от= — !ГЗ соз ф— '1 =За( з!па ф (9.6) Согласно выражениям (9.5) и (9.5) строим зпюры о и от, представленные на рис. 332. Как видим, напряжения о и о! в нижней точке Рис. ЗЗ! сферы равны, В верхней точке о! имеет отрицательное значение.
Там, где о и о! имеют один знак, имеем оа=ом, о,=от, па=О, о,„а=и,— в яоа —— о, . Там, где ом и о! имеют разные знаки, а,=ем, о,=б, оа — — от о „,=о — )ао! Эпюра эквивалентного напряжения (рис. 332) имеет Рис. 332 таким образом, излом в точке, где от меняет знак. Если й>1/2, расчетное напряжение для сосуда равно о,, = — (1+5), аааа 7)т ЗД где по-прежнему й=отэ/ота. Подставляя в уравнение Лапласа (9.1) Рм=рт=)!, Р=ттс сов Ф и полу- ченное выражение (9.5) для а,, находим З ээ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
