Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Определяя реакции опор, строим зпюры изгибающих и крутящих моментов (рис. 318, э) Результирующий наибольший изгибающий момент равен, очевидно, М~~~ = ~/ (Р— ) + (0,4Р—, М~~~=1,0ВР— Наиболее опасной будет периферийная точка В в сечении, лежащая в плоскости момента (рис. 318, г). В окрестности точки выделяем элемент, показанный на рис. 318, д.
Напряжение о определяется изгибающим моментом, а т — крутящим: Ммвх о= — "'" т= —. 0,1г(з ' 0,2дэ ' Для полученного напряженного состояния находим главные напряжения. Поскольку одна из главных площадок известна, пользуемся построением круга Мора (рис. 319), откуда получаем и -/оа о -/о' о.= — + )/ — -(- т', аз= — — )/ — +та, ив=о. (8.6) 2 Г 4 ' 2 Р/ 4 Находим, далее, эквивалентное напряжение по формуле (8.4). При й=! имеем наив=от — аэ= г' оэ+4тв, или п,вв = )г/ ( — "ат ) +4 ( — "„) . Подставляя сюда значения изгибающего и крутящего моментов, получаем окончательно певв — 0 1,(а !/ ( Р ( +э) ) +1 По заданным числовым значениям величин из условия перги=оэкв находим диаметр 3=64 мм. Рассмотренное в последнем примере напряженное состояние всегда встречается при расчете вала иа совместные кручение и изгиб (нли растяжение). Поэтому имеет смысл для плоского напряженного состояния (о„т), показанного на рис.
819, сразу выразить о„, через две указанные компоненты с тем, чтобы избежать промежуточного определения главных напряжений. Формула (8А) после подстановки о,, о, и о, из выражений (8.6) принимает вид о,„, = — 0-1- — )/ов+ 4та. (8.7) $6!. ТЕОРИЯ МОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 809 При й=1 приходим к тому же самому выражению, которое было получено при решении рассмотренного примера: о,„, = 'р'оз + 4 г'. (8.8) Гипотеза энергии формоизменения (см. формулу (8.2)) в этом случае дает оз„в = 'Г' йз+ Зтз.
В практических расчетах этими формулами приходится пользоваться весьма часто, но при этом сдедует постоянно помнить, что они применимы только к ука- лФТ ванному напряженному Рз У состоянию. ьу Различие коэффици- Ф ентов при т' в двух последних выражениях не I~ должно вызывать удив- Ф ление. Это — следствие Рис. 319 различия гипотез. Наибольшее относительное расхождение между числовыми значениями о,„„найденными по формулам (8.8) и (8.9), составляет примерно 13%, что имеет место при О=О. Рис, 320 П р и и е р 8А. Определить допустимую нагрузку для ломаного брусе, покзззниого не рис.
320. Материал бруса — ковкий чугун, овр 160 МПз, о„ 330 МПз. Сечение — квздрзтное со стороной а=З см; 1=30 см. Звдзн козффнпиент запаса л=З. Строим зпюру изгибзющих и крутящих моментов. Наиболее опасной является точка А в взделке, БР! Р1 аз ' 0,208ач' 310 Гл. з. кРитеРии плАстичнОсти и РАзРушения Напряженное состояние соответствует рассмотренному в предыдущем примере. Поэтому можно пользоваться формулой (8.7). Определяем: А=150/330=0,455. Подставляя числовые значения величин в (8.7), находим о„„=Р ° !0,94.
Учитывая трехкратный запас, получим Р~ ~450 Н. П р и м е р 8.5. Сравнить эквивалентные напряженна в прямоугольной призме в двух случаях нагружеиия: а) призма сжимается Рис. 32! свободно, б) призма сжимается в жестком гнезде„не позволяющем ей расширяться в поперечном направлении (рис. 321).
В случае а) а,=О, о,= — о. Следовательно, оэ„эй йо. В случае б) необходимо сначала определить поперечные сжимающие напряженна о' (рис. 321, в). 'По условию поперечная деформация равна нулю, и в соответствии с законом Гука получаем Епопез = — [а — Р (О+ О )) = О, ! / Е откуда поперечное сжимающее напряжение равно о' = — и.
р 1 — и Для полученного напряженного состояния о!= — — о, аз= — а, паяя=~я=)п. 1-р ' ' ~ 1 — р Величина аэ„нследствие ограничения поперечных деформаций, как видим, уменьшается. Существенно отметить, что для напряженных состояний всестороннего сжатия теория Мора иногда дает отрицательные значения оэаю В частности, это имеет место н в рассматриваемом примере в случае й < —. р 1 — р Такому результату формально можно дать следующее толкование. Если при о,„э=О напряженное состояние равноопасно ненапряженному, то при оэаа(0 напряженное состояние менее опасно, чем ненапряженное. Несмотря на парадоксальность такого вывода, нет оснований его отвергйгь.
Вместе с тем его можно отнести также к погрешностям определения предельной огнбающей в области всестороннего сжатия. й б». О ХРУПКОМ РАЗРУШЕНИИ И ВЯЗКОСТИ ЗП В практических расчетах этот вопрос решается тем, что в оценке прочности любой конструкции можно довольствоваться нулевым ана. чением о,„„ поскольку равноопасность нагруженной и ненагруженной деталей всегда приемлема. Поэтому, если расчет дает пака(0, считают о „=О. й 62. О хрупком разрушении и вязкости Мы с самого начала строго разграничили два вопроса: возникновение пластических деформаций и начало разрушения.
Все, что до сих пор говорилось, относилось в основном к первой, относительно четко и определенно поставленной задаче. Что же касается второго вопроса, то уже сам термин «разрушение» такой четкостью не обладает и является более сложным и менее определенным понятием. Сначала надо, по-видимому, условиться о разрушении чего идет речь — разрушении конструкции или материала. Под разрушением конструкции в широком смысле слова следует понимать потерю функциональных свойств, т.
е. переход в такое состояние, когда конструкция по тем или иным причинам перестает удовлетворять своему назначению. Это может быть возникновение больших перемещений и необратимое изменение формы, это может быть износ или выработка посадочных поверхностей и, наконец, излом или разрыв ответственного узла. С другой стороны, образование видимой невооруженным глазом трещины, даже сравнительно большой, не всегда рассматривается как разрушение.
Словом, понятие разрушения конструкции тесно смыкается с понятием ее надежности. Естественно, что со столь широких позиций обсуждать вопросы разрушения в курсе сопротивления материалов было бы неуместно. Вопрос становится более определенным и конкретным, когда мы рассматриваем разрушение как свойство материала. Но и эта проблема настолько широка, что ее постановка также требует естественных ограничений, поскольку разрушение материала в различных условиях может проявляться в существенно различных формах. Так, в частности, разрушение при циклически изменяющихся напряжениях (усталостное разрушение) целесообразно рассматривать как некоторое самостоятельное явление, хотя оно и является лишь частным проявлением общих свойств материала (к этому вопросу мы вернемся в гл.
11). Большие затруднения обнаруживаются при попытке сопоставить разрушение при различной последовательности приложения сил. Эти вопросы также заслуживают особого рассмотрения. 312 ГЛ. К КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ И еще вопрос. Мы говорим о разрушении детали, о разрушении образца, но так ли уж правомерно говорить о разрушении материала? Если придерживаться той точки зрения, что за разрушение несет ответственность напряженное состояние в точке, то тогда под разрушением самогб материала следует понимать образование первых микротрещин в окрестности рассматриваемой точки. Формально, вроде бы, ясно.
Но верно ли? Ведь предположительно в каждом материале и без того имеется великое множество затаившихся трещин. Онн приходят в движение только под действием высоких напряжений; причем не напряжений в точке, не местных напряжений, а тотальных — охватывающих значительные объемы на пути развития трещин. Как видим, вопросов можно поставить много. Из таких вопросов и возникающих сомнений и создается замысловатый рисунок наших представлений о механизме разрушения.
Остановимся на модели Гриффнтса. Это — модель разрушения, построенная на энергетической оценке развития трещин. 6 Представим себе, что в краевой области плоского растянутого образца существует сквозная поперечная трещина (рис. 322). Длина трещины с много меньше поперечных размеров стержня. Во всем объеме образца напряжения распределены равномерно.
Исключение составляет область, непосредственно приРис. 322 мыкающая к трещине,— у края трещины возникает местный пик напряжений, а сверху н снизу (в заштрихованной области) напряжения будут уменьшенными. У поверхности трещины онн, естественно, равны нулю. Длине трещины с сообщим малое приращение Лс и проследим за изменением энергии системы. Увеличение длины трещины приведет к увеличению заштрихованной области, т, е. область пониженных напряжений расширится и освободится часть упругой энергии образца.
Это уменьшение энергии будет пропорционально произведению Ьс на величину внешней поверхности заштрихованного объема, а та, в свою очередь, пропорциональна с и толщине образца ~, Учтем также, что упругая энергия пропорциональна и'(Е. агах О ХРУПКОМ РАЗРУШВНИИ И ВЯЗКОСТИ з~з В итоге уменьшение энергии вследствие небольшого удлинения трещины составит: А — с( Ьс, АФ вЂ” с( йс) 2у(бп, или с) —. 2те Ааз ' (8.10) Коэффициент А в ряде случаев может быть вычислен. Для поперечных трещин он изменяется незиачительно— в полтора-два раза.
В частности, в рассматриваемом при. мере плоского напряженного состояния А предположи. тельно равно и. Выражение (8.10) подкупает своей простотой и очевидностью. Оио ясно показывает, что для каждого материала и определенного уровня напряжений можно указать критический размер трещины. Если размеры трещины меньше где А — некоторый безразмерный коэффициент, зависящий от формы трещины и ее расположения (у края, в середине, поперек или под углом к поперечному сечению).
Твердые тела, как и жидкие, обладают поверхностным натяжением. Оно у конструкционных материалов раз в 10 — 20 больше, чем, например, у воды. Но поскольку твердые тела обладают жесткостью, поверхностное натяжение не проявляет себя столь очевидным образом, как в жидкостях, и мы его не замечаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
