Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Придерживаясь сформулированного критерия пластичности, мы можем принять, что два напряженных состояния равноопасны в том случае, если имеет место равенство наибольших касательных напряжений. Для напряженных состояний А и В (рис. 311) имеем ! 1 — (о,— и,) = — и,„„ откуда (8.1) п,„,=а,— и,. Это и есть то расчетное напряжение, которое по критерию максимальных касательных напряжений долгкно быть сопоставлено с пределом текучести при растяжении. Казалось бы, что простота расчетных зависимостей, физическая наглядность критерия и, наконец, хорошее соответствие с экспериментом должны были бы обеспечить гипотезе максимальных касательных напряжений полную монополию если не в теоретическом аспекте, то по крайней мере при решении практических задач.
Этого, однако, не произошло, и в своеобразном естественном отборе, который происходил среди многих гипотез, предлагавшихся в конце прошлого и начале настоящего века, выжила и заняла место наравне с теорией Треска — Сен-Венана также и гипотеза Хубера — Мизеса. Она была сформулирована Хубером (1904) в виде исправленного варианта критерия Вельт- в ба ГИПОТЕЗЫ ПЛАСТИЧНОСТИ 299 рами, согласно которому переход к пластическому состоянию связан с уровнем накопленной в единице объема потенциальной энергии деформации. Но принять в качестве критерия пластичности всю энергию деформации нельзя. Это противоречило бы экспериментально установленному факту, что при всестороннем давлении пластические деформации не возникают, в то время как потенциальная энергия неограниченно возрастает.
В связи с этим Хубером было предложено исключить из рассмотрения энергию объема, а в качестве критерия перехода из упругого состояния в пластическое принять энергию формоизменения (7.28): у,э = — ((о,— о,)'+(о,— п,)з+(и,— и,) 1. 1+и Для простого растяжения это выражение приобретает вид ~+Н в ('оэ ве 2нвкв' Из условия равноопасности определяем а,„,. Для этого приравниваем два последних выражения и получаем о,„, = — У(а,— о,)'+ (Ов — а,)0+ (О,— а,)'.. (8 2) Но энергия формоизменения, как мы уже знаем, пропорциональна квадрату октаэдрического касательного напряжения (см.
стр. 284). Поэтому то же самое выражение для о,к, (8.2) можно получить, если в качестве критерия пластичности принять не энергию формоизменения, а касательное напряжение в октаэдрических площадках. Действительно, т'. = —,Нп' — ~*)*+(~ — ~ )з+(~.— 'т.) 1) Для простого растяжения 2 яакв 9 пвкв' Приравнивая т,'„„приходим к выражению (8.2). Почему же гипотеза Хубера — Мизеса, приводящая и более сложному выражению для О„, (8.2), чем теория максимальных касательных напряжений, оказалась конкурентоспособной? Оказывается, дело не только в том, что, по мнению многих авторитетов, она для основных конструкционных ЗОО ГЛ.
8, КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ металлов более точно отражает условия перехода в пластическое состояние. В процентном отношении разница между выражениями (8.1) и (8.2) не столь уж и заметна. Она достигает максимума при чистом сдвиге, когда о,= — оь а О,=О, и составляет примерно 1388. Более важным является другое обстоятельство.
Когда конструкция рассчитывается на прочность, мы, обращаясь к теории максимальных касательных напряжений, т. е. к выражению (8.1), должны обязательно продумать, которым из трех главных напряжений присвоить индексы 1, 2 и 3. Иногда это бывает не очень удобно, особенно если конструкция находится под воздействием системы сил, меняющихся по различным законам в зависимости от условий работы. Тогда сложность перебора различных случаев в соотношении нагрузок сводит на нет те преимущества, которые дает нам простота выражения (8.1).
Если же обратиться к теории Хубера— Мизеса, то обнаруживается, что перестановка местами индексов 1, 2 и 3 в выражении (8.2) не меняет величины о и это освобождает нас от необходимости думать о том, какое из главных напряжений является наибольшим, а какое — наименьшим. Любопытно, что именно это обстоятельство заставило Мизеса (1913), не знакомого с работой Хубера, в целях упрощения предпринять поиск аналитического выражения, близкого к тому, что дает теория максимальных касательных напряжений, но не зависящего от перестановки индексов, что в дальнейшем позволило с большим успехом использовать это выражение и при построении основ теории пластичности (см.
гл. 10). Итак, мы рассмотрели два основных критерия пластичности, базирующихся на правдоподобных гипотезах и со. гласующихся с опытом. Но к рассматриваемому вопросу можно подойти и с несколько иных позиций — с позиций прощенной систематизации экспериментальных данных. т подход впервые был сформулирован Мором и в настоящее время носит название глеории Мора. $ 61. Теория Мора и ее применение допустим, что мы располагаем испытательной машиной, на которой образцу можно задавать любые напряженные состояния с пропорциональным изменением всех компонент.
й 6!. ТЕОРИЯ МОРА И ЕЕ ПРИМЕИЕНИЕ 3О! Выберем некоторое напряженное состояние и будем одновременно увеличивать все компоненты. Рано или поздно зто напряженное состояние станет предельным. Образец либо разрушится, либо в нем появятся пластические деформации. Вычертим для предельного состояния на плоскости о, т наибольший нз трех кругов Мора (круг 1, рис.
312). Рис. 3!2 Будем в дальнейшем считать, по предельное состояние не зависит от величины и,. Далее, на образце того же материала производим испытание при другом напряженном состоянии. Снова путем пропорционального увеличения компонент добиваемся того, что напряженное состояние станет предельным. На диаграмме (рис. 312) вычерчиваем соответствующий круг (круг 2). Поступая таким образом и дальше, получим семейство кругов Мора для предельных напряженных состояний. Рис, 3!3 Вычерчиваем их общую огибающую. Примем, что ага огибаюи(ая яеляеглея единственной, независимо от величин промежуточных главных напряжений и,. Это положение является основным допущением в излагаемой теории.
Форма огибающей предельных кругов Мора зависит от свойств материала и является его механической характеристикой, такой же, как, например, диаграмма растяжения. ЗОЗ ГЛ. 8. КРИТЕРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИЯ Если огибающая предельных кругов для материала дана, можно при любом заданном напряженном состоянии определить коэффициент запаса.
Для этого надо по заданным напряжениям вычертить наибольший из трех кругов Мора, а затем, хотя бы графически, установить, во сколько раз следует увеличить о, и о„чтобы увеличенный круг касался предельной огибающей. В изложенном подходе к вопросам предельных состояний не содержится, как видим, критериальных гипотез, и теория Мора основана в первую очередь на логической систематизации результатов необходимых экспериментов.
Теперь нужно решить вопрос о том, как построить огибающую предельных кругов при ограниченном числе испытаний. Наиболее простыми являются испытания иа растяжение и сжатие. Следовательно, два предельных круга получаются просто (рис. 313). Можно получить еще один предельный круг путем испытания тонкостенной трубки на вм 0 4 Э~'ЗГР~Г 6Г Э' Л 7 Рис.
314 кручение. При этом материал будет находиться в состоянии чистого сдвига и центр соответствующего круга расположится в начале координат (рис. 314). Однако этот круг для определения формы огибающей мало что дает, поскольку расположен вблизи двух первых кругов. Для определения огибающей чрезвычайно важно знать положение точки С (рис. 312 и 313). Нормальное напряжение в этой точке представляет собой напряжение отрыва при всестороннем растяжении. До сих пор, однако, не существует метода для проведения соответствующего испытания. Вообще не удается осуществить испытание в условиях напряженного состояния, когда все три главных напряжения являются растягивающими (см.
подробнее Э 93). Поэтому пока иет возможности построить для материала предель- 3 М. ТЕОРИЯ МОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ зов Далее, СсЕ ат +аз атр 2 2 ' С~С стт+аз ~ атс 2 + 2' Преобразовывая пропорцию, получим сттр а =а — — а,' тр ' а тс или, если учесть выражения (8.3), атр п= атр аз —, — аз атс ный круг, расположенный правее предельного круга растяжения. В силу указанных обстоятельств наиболее простым и естественным является решение аппроксимировать предельную огибающую касательной к кругам растяжения и сжатия (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
