Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 43
Текст из файла (страница 43)
300, в). Ф И. ДЕФОРМИРОВАННОВ СОСТОЯНИВ 226 и 56. Деформированное состояние Изменение формы тела связано о перемещениями его точек. Расстояние между положением некоторой точки А до и после изменения формы тела (рис. 301) называется ее полным перемещением. Составляющие вектора полного перемещения по осям х, у и г обозначаются соответственно через и, о и сг.
' А о Рассмотрим элементар- и Х ный отрезок АВ, направление которого совпадает У с направлением оси х (рис. 302, а). Расстояние между \ точками А и В обозначим через г(х. Составляющие Рис, 301 вектора перемещения в точке В отличаются от составляющих в точке А на величины, соответствующие изменению координаты х.
Так, если точка А перемещается вдоль оси г на са, то точка В перемещается на величину ~Ъ~ в+ — с(х и т. д. дк ди Приращение длины отрезка АВ равно -бх. Следовательно, относительное удлинение в точке А по оси х будет ди ди д~х е = — . Аналогично е = —, е х дх' дд ' ° дх ' Рис. З02 Угол поворота отрезка АВ в плоскости хг равен отношению разности перемещений точек В и А вдоль оси г к длине дсс отрезка с(х, т.
е. у, —. Угол поворота отрезка АС в я7б Гл. у. нАпРяжвннов и двФОРмиРОВАннов сОстОяния ди плоскости хз (рис. 302, б) равен у,= —,. Сумма углов у, и у, представляет собой изменение прямого угла ВАС, т. е. дгг ди угол сдвига в плоскости хг: у,„= — + —. Аналогично дх дг' Яогут быть написаны выражения для углов сдвига в двух других координатных плоскостях. В итоге имеем следующую связь между перемещениями и деформациями в точке: ди е = — „ « дс з =— и ду' дю ди 7 = ° + ° ° «« дк дг 3 дг ' дг дю + Э и дг ду ' ди до 7 = + «г ду дг' Совокупность деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, носит название деформированного состояния в точке, а е„ег, е„у„„у,„и у„„называются компонентами деформированного состояния.
Возникает естественный вопрос, достаточно ли этих шести компонент, чтобы определить деформированное состояние, т. е. можно ли по этим шести компонентам найти Рис. 303 удлинение по любой оси и углы сдвига в любых плоскостях, проходящих через данную точку. На этот вопрос можно ответить утвердительно. Рассмотрим некоторую ось ч, проходящую через заданную точку (рис.
303, а). Направляющие косинусы прямой и будут (, т, и. Выделим на этой прямой малый отрезок ОА=Ш и построим на нем, как на диагонали, параллелепипед со сторонами бх, с(у, с(г (рис. 303, 6). Если параллелепипед получает удлинение е„, точка А смещается вдоль оси х на ег(х, а диагональ ОА получает е еа дееогмиговлннов состояние 277 абсолютное удлинение Л дТ.=е„дх1. Относительное удлинение диагонали получим, разделив это произведение на Ы=дх71. В итоге обнаруживаем, что удлинение е„вносит в копилку удлинения е, слагаемое е„Р.
Аналогичные слагаемые дают и удлинения ее и е,. Теперь положим, что нижняя грань параллелепипеда дхдр остается на месте, а верхняя вследствие сдвига в плоскости хг получает вдоль оси х перемещение у,„дг. Это удлиняет диагональ д1. на у,„сЫ; делим на Ы=иг/пи видим, что сдвиг Т,„приводит к увеличению е, на величину у,„п1. Остальные слагаемые можно написать по аналогии. Суммируя их, получим е,=е„р+е„те+е,из+у„,тп+у,„п1+т л 1т. (7.17) Несколько сложнее определить угол сдвига в плоскости, определяемой двумя взаимно перпендикулярными прямыми т и р (рис.
303, б). Для этого надо найти перемещение точки А по направлению р и разделить его на Ш. Это дает угол поворота отрезка Ы в плоскости тр. Затем все то же самое проделывается для отрезка, расположенного по оси р. Сумма найденных углов дает искомый угол сдвига в плоскости тр. Но этих выкладок мы уже делать не будем. Главное ясно. Деформированное состояние в точке определяется шестью компонентами. Теперь вернемся к выражению (7.17) и сравним его с найденным ранее для напряжения о, выражением (7.4).
Выражения имеют общую структуру, и все, что было получено ранее из выражения (7.4), мы получаем и из (7.17). Достаточно только во всех формулах заменить о„, о„, а, на е„, ею е„а 2т~„2т,„, 2т„„— на тю, т,„, у„„. Таким образом, анализ деформированного состояния показывает, что оно обладает свойствами, совершенно аналогичными свойствам напряженного состояния. Среди множества осей, которые могут быть проведены через исследуемую точку, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе — главными деформациями. Главныедеформации определяются из кубического уравнения е' — У,е'+ l,е —,7, =О, $7$ Гл.
7. нАпРяженное и деФОРмиРОВАннОБ состояния коэффициентами которого являются инаариаип7ы деформированного состояния: 7,= е +ау+а„ в еу + 3 а + е 6 4 уу 4 туг 4 гуу ! 1 у туу ! е тзу ! ! ! Е туу Е туу (7.18) Из сопоставления этих выражений с выражениями (7.8) и (7.9) видно, что аналогом нормального напряжения здесь является линейная деформация, а аналогом касательного напряжения — половина угла сдвига в соответствующей плоскости. Продолжая эту аналогию, можно, подобно кругам Мора в напряжениях, построить круги Мора в деформациях. Анализ деформированного состояния основан на чисто геометрических соотношениях, и поэтому все сказанное остается справедливым для любого однородного тела, независимо от механических свойств материала. Наряду с линейной и угловой деформациями в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда объемную деформацию, т.
е. относительное изменение объема в точке. Линейные размеры элементарного параллелепипеда !(х, !(у и !(г в результате деформации меняются и стано. вятся равными Ых(1+е„), !(у(1+ау) и т(г(1+з,). Абсолютное приращение объема определяется, очевидно, разностью А)7=ух !(у дг(1+е„) (1+ау) (1+е,) — йх ду дг. Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций как величинами, малыми по сравнению с их первыми степенями, получим Ь У=г(х г(у дг(а„+ау+а,). Относительное изменение объема обозначается буквой е и равно сумме линейных деформаций по трем осям е= — „=е„+е„+в,. М/ (7.19) С поворотом осей величина е в точке, очевидно, не меняется.
Это — один из инвариаитов деформированного состояния (см. формулу (7.18)). $ б1. ОБОБЩВННЫН ЗАКОН ГИКА й 57. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации в общем случае напряженного состояния До снх пор напряженное и деформированное состояния рассматривались независимо друг от друга и не связывались со свойствами материала. Однако между компонентами напряженного состояния, с одной стороны, и деформированного — с другой, существует определенная зависимость. В пределах малых деформаций зта зависимость является линейной и носит название обобщениозо закона Гука.
Наиболее простую форму обобщенный закон г Гука принимает для Ф~ изотропного тела. В этом случае коэффициенты пропорци он а л ь н о с т и между компонентами на- ъ пряженного и деформн- гф гз рованного состояний не бь зависят от ориентации ф ку осей в точке. Дл я ТОГО чтобы сО ставить аналитическое выражение обобщенного Рас. 304 закона Гука, воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим раздельно силы, возникающие на гранях элементарного параллелепипеда (рис. 304).
В любой из координатных плоскостей, например уг, угловая деформация определяется только соответствующим касательным напряжением у„,=т„,/б. Две другие пары касательных напряжений, а также нормальные напряжения не будут влиять на величину у „что является следствием свойств изотропного материала.
Сказанному можно дать следующее объяснение. Допустим, что на гранях элемента возникают только касательные напряжения т„„=та, (рис. 305, а). Спрашивается, может ли при этом появиться угловая деформация у„, в плоскости, перпендикулярной плоскости действия касательных напряжений т „7 Если эта деформация возникает, то указать ее знак для изотропного материала невозможно, поскольку «предпочтительность» того или иного направления для т „ не обна- Яаб Гл. т. нАпРЯженнОе и деФОРмиРОЕАнное сОстОЯниЯ руживается, а в свойствах материала она отсутствует.
Положим, например, что сдвиг происходит в направлении, указанном на рис. 305, а. Тогда, поворачивая элемент на 180' относительно оси г, получаем точно ту же систему сил т„е и противоположный знак у,„ (рис. 305, б). Ясно, что Рис. 305 указанное противоречие устраняется только в том случае, если уе,— — О. Следовательно, принимая принцип независимости действия сил, можно сказать, что угловая деформация уе, от т„„не зависит. Аналогичным образом доказывается, что она не зависит от всех прочих компонент напряженного состояния, кроме т„,.
Для анизотропного материала приведенные соображенйя не имеют силы. В итоге для трех угловых деформаций получаем тгг тгг тге Из этих выражений видно, что для изотропного тела главные оси напрязсенного и деформированного состояний совпадают, поскольку одновременно с касательными напряжениями обращаются в нуль и угловые деформации. Подобно тому как угловые деформации не зависят от нормальных напряжений, линейные деформации не зависят от касательных напряжений.
Это может быть довольно просто показано при помощи приведенных выше рассуждений. Кроме того, зто следует также и из теоремы взаимности работ (см. 5 43). Если нормальные напряжения не вызывают сдвига, на котором касательные силы могли бы совершить работу, то касательные напряжения не вызывают линейных смещений, на которых могли бы совершить работу нормальные силы. $ бь ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ' 281 Относительное удлинение в направлении осн х, обуслов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
