Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 41
Текст из файла (страница 41)
С другой стороны, наименьшее из главных напряжений будет наименьшим среди множества значений полных Р напряжений. В случае равенства двух глав- $ ~ — ных напряжений эллипсоид принимает форму тела вращения. Тогда каждая плоскость, проходящая Рис. 284 через ось вращения, становится главной. В случае, когда равны не два, а все три главных напряжения, эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными. Перейдем теперь к определению величины главных напряжений по заданным значениям шести компонент напряженного состояния в произвольной системе Охуг. Возвращаясь к рис.
280 и соотношениям (7.3), положим, что наклонная площадка является главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (оно же главное) будет направлено по нормали Р. Обозначим его через 5: Х=5(, )г=5т, к=5 . Соотношения (7.3) примут теперь вид 5! =О„(+те„т+т,„п, 5т=т,.„1+огт+т,„п, 5п =т„,(+те,т+о,п, или (о„— 5))+т„„т+т,„п=О, т„„(+ (о„— 5)т+т,„я=О, (7.8) т„,(+те,т+ (о,— 5) и= О, Их можно рассматривать как систему уравнений относительно неизвестных (, т и и, определяющих ориентацию главной площадки в системе исходных заданных осей я, у, Е бг ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 251 Полученная система является однородной.
Вместе с тем она должна давать для 1, т и и ненулевое решение, так как направляющие косинусы не могут быть все одновременно равны нулю, поскольку (х+т'+их=1 7.6 ( ) Для того чтобы система однородных уравнений (7.5) имела решение, отличное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю: Ох 8 тдх. тхх — т.„~ = О. (7.7) тхх тех Достигается это надлежащим выбором величины Я.
Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравнений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую систему, достаточную для нахождения величин 1, т и п, определяющих положение главных площадок. Згу часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдем к определению главных напряжений 5 из уравнения (7.7). Раскрыв определитель и расположив его члены по степеням 8, получим следующее кубическое уравнение: Зх — 5»7х+Ых — Ух = О (7.8) где ,7,=о„+а„+а„ ,7, а„а, + а,ах+ охо„— т„', — т'„— т,'„, )о» тех тхх~ о„ (7.9) тхх тех Ох Можно показать, что все три корня уравнения (7.8) явля- ются вещественными.
Они дают три значения главных на- пряжений а„а, и а,. Понятно, что главные напряжения, т. е. корни уравне- ния (7.8), определяются характером напряженного состоя- ния и не зависят от того, какая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей луг коэффициенты Ун Ух и 7, уравнения (7.8) должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния. В некоторых случаях инварианты могут принимать ну- левые значения. Например, если У,=О, то один из корней уравнения (7.8) также равен нулю.
В этом случае говорят, 282 ГЛ. У. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ Рис. 285 два нулевых корня и только одно из главных напряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. С ним мы уже встречались при изучении вопросов растяжения, сжатия и чистого изгиба. Рассмотрим некоторые примеры опре- 1 деления главных напряжений. П р и и е р 7.2.
Определить главные напря. ження в случае, если все компоненты напряженно. ! госостояния равны между собой (рис.285,а). 1 Согласно выражениям (7.9) и (7.8) имеем: 1т= ! Зо, Уз=Уз=О; от=ао, оз оз — — О. Следовательно, заданное напряженное состояние представляет со. бой одноосное растяжение. Полученному результату можно дать простое объяснение, если учесть, что элемент может быть выделен нз растянутого стержня любым образом. Очевидно, если три секущие площадки равнонаклонены к осн растянутого стержня, в гранях злемен.
та как раз и возникают равные составляющие напряженного состояния (рнс. 286). Поскольку при изменении ориентации секущих площадок напряженное состояние не меняется, полученное решение может быть представлено в виде символического равенства (рис. 285). П р и м е р 7.3. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния 1 г 3 Рис. 288 (рис. 287, о). что напряженное состояние является двухосным, или плоским.
В частности, уже знакомое нам напряженное состоя-' ние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого о,= — о, и О,=О. Если одновременно равны нулю второй и третий инварианты, т. е. (а=Уз=О, то тогда уравнение (7.8) имеет а ба. ГлАвные осн н ГПАвные ндпряжения 288 Согласно выражениям (7.9) получаем У,=О, 7а= — Зтв, уа 2ье.
Тогда За — Зтел — 2гт=о. Подбором определяем один иа корней. Это будет 5= — т. Рааделив левую часть уравнения иа 5+т, сводим Зь', Рис. 287 уравнение к квадратному и определяем остальные два корня. В итоге получаем а,=2т, о,=па=- — с. Следовательно, напряженное состояние является трехосным (рис.
287, б). Итак, исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взаимно перпендикулярных площадок, обладающих тем замечательным свойством, что касательные напряжения в них равны нулю, и назвали зти площадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными и интересными особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем. Рис. 288 Положим, что оси х, у и г главные н па=по пв — — о„а а,=о, (рис.
288). Тогда выражения (7.3) примут вид Х=от(, 'г'=а,пт, Я=пап, где 1, лт и п — направляющие косинусы нормали к произвольно ориентированной площадке. Найдем касательное йв4 гл. х нхпгяженнои и двеогмиговхинов состояния напряжение т„в этой площадке: Р'- — К (7.10) где р — полное, а а, — нормальное напряжения в той же площадке. Очевидно, что Р~=Х2+У~+Я~=а2Р+а2т~+а2пз а, =Х(+Ут+Хп=а,Р+а,т'+а,п'. Подставляя р' и а, в выражение (7.10) и учитывая, что Р+т'+и'=1, получим т',=(а,— а,)Ч'т'+ (о,— а,)Ч'п~+ (а,— о,)'т'и*. (7.11) Как видим, т'; — величина существенно положительная и иа главных площадках, как и положено, обращается в нуль. Действительно, если нормаль т совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, и тогда т,'=О.
Для дальнейшего нам потребуются выражения для напряжений в так называемых октаэдрических площадках, т. е. в площадках, разнонаклоненных к главным. Для таких площадок Р=т'=п'=1/3, и тогда мы получим т,„, = — У(а,— а,)'. + (а, — а,)'+ (а, — а,)', (7.12) 1 "-= 3 ("+ "+") (7.13) Таким образом, нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему арифметическому трех главных напряжений. Особый интерес представляют площадки, в которых возникают наибольшие касательные напряжения. Положение этих площадок можно определить, отыскивая экстремум выражения (7.11) при условии, что Р+т'+и'=1.
Но этих выкладок мы делать не будем, ибо о результате можно догадаться и сразу. Заметим, что а,— а,=(о,— о,)+ (а,— а,) и, поскольку квадрат суммы не меньше суммы квадратов, (а1 — ааР) (а1 — аз)'+ (аз — аа)' Значит, при равенстве Р=т'=п' второе слагаемое в выражении (7.11) будет не меньше суммы двух остальных. Если мы хотим, чтобы величина т,' достигла наибольшего зна- ззе КРУГОВАЯ ДИАГРАММА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ЭВК чения, то, подбирая 11, их и и', мы должны, очевидно, максимально увеличить произведение 1апа за счет величины та. Но это будет достигнуто при Гпа=О, и тогда произведение величин 1' и пх при условии, что их сумма равна единице, будет наибольшим, если 11=па=112.
Таким образом, ! тааах ! (аа аа) (7. 14) Так как т=О, а 1=и 7 2(2, то максимальное касательное напряжение возникает в площадках, разнонаклоненных к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений. $ 54. Круговая диаграмма напряженного состояния Как мы увидим в дальнейшем, определение главных напряжений является необходимым промежуточным этапом при ведении расчетов на прочность в сложном напряженном состоянии. Поэтому подсчитывать величину главных нап яжений приходится довольно часто.
3 днако это не значит, что всегда необходимо решать кубическое уравнение (7.8). Дело в том, что в абсолютном большинстве встречающихся на практике случаев положение одной из главных площадок в исследуемой точке может быть указано заранее. Тогда две другие главные площадки определяются в семействе площадок, перпендикулярных первой, что значительно упрощает задачу.
Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, показанной на рис. 288. Эта призма образована путем сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой, которая, независимо от угла наклона а, остается параллельной одной из главных осей. В данном случае такой осью является главная ось у. Проецируя все силы, действующие на отсеченную призму, на оси, параллельные векторам а и т (рис.
288, б), получим а ду — = а, пу Г(г соз а+ а, ду а(г 1я а з1п а, аг ааг т Г(у — = а, 1(у 1(г зш и — а, 1(у 1(г 1я а соз а, или т=(а,— а,) з(п а соз а. а=ахсозаи+ааз!Паа, 2ЕЕ Гл. е нАпРяженнОе и деФОРмиРОВАнное сОстояния Эти выражения можно переписать в виде о= ~'~ ~'+У~ ~асов 2еа ч = ~' ~а з1п 2а.
(7.15) Таким образом определяются напряжения в семействе площадок, параллельных одной из главных осей. Выражениям (7.15) можно дать простое геометрическое толкование. Перенесем полусумму главных напряжений — в левую . аа+ еа 2 часть первого уравнения. Далее, возводя в квадрат левые и правые части уравнений, исключаем угол а. Получим В системе координат и, т это есть уравнение окружности, центр которой находится на оси О на расстоянии — '' от 2 начала координат. Радиус окружности равен полуразности главных напряжений. Иначе говоря, окружность построена $1РЬР Рае.
289 на отрезке па — п„как на диаметре (рис. 289). Полученный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой напряженного состояния. Что касается уравнений (7.15), то их можно рассматривать как уравнение окружности, написанное в параметрическом виде. Роль параметра играет угол а, устанавливающий соответствие между точкой окружности и секущей площадкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
