Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 38
Текст из файла (страница 38)
ЗЕ1 ' ОЕУ ' 6Е1 ' Во втором уравнении также обратятся в нуль все коэффициенты, кроме трех: 21 ! бег= —, баа= — 6 э= — н т. д. ОЕ3 ' ЗЕ1 ' а ОЕ1 В нтоге после сокращений система уравнений примет вид 4Х,+ Х,+О+... = — М„ Ха+ 4Ха+ Ха+О+ ° ° ° =О, О+ Хз+4Хз+ Ха+О+ °" О О+ Хз+4Ха+Хе+О+, О, О+ Хе+ 4Хв = О Мы получили систему уравнений трехдиагональной структуры. Термин не требует разъяснений и говорит сам за себя. Вообще, диагональные матрицы (таблицы) коэффициентов при раскрытии статической неопределимости получаются для систем, имеющих однотипные, повторяющиеся злементы. Такими элементами в данном случае являются пролеты многоопорной балки. В более сложных задачах системы уравнений могут получиться не только трех-, но и пяти-, семи- или девяти- диагональными. Эти системы обладают относительной простотой и особенно удобны (при большом числе неизвестных) для машинного счета.
Именно поэтому в последние годы получили развитие приемы расчета, основанные на предварительном разбиении сложных конструкций (типа оболочек с ребрами) на множество однотипных элементов, наделенных определенными свойствами. Условия совместной деформации элементов пишутся с таким расчетом, чтобы матрица обладала диагональными свойствами. Это позволяет получить на машине решение даже при числе неизвестных, измеряемом тысячами.
В рассматриваемом примере система уравневий приобрела диагональную структуру в результате рационального выбора основной системы. Понятно, что рассматриваемый пример особенно прост. Коэффициенты вдоль диагоналей остаются неизменными, поскольку расстояние между опорами неизменно н жесткость пролетов одна и та же. Но основная простота — именно в диагональной, или ленточной, структуре уравнений.
Это приятное следствие такого выбора расчетной схемы было подмечено давно. Для многопролетной балан уравнения можно обобщить на случай различных длин пролетов и произвольной нагрузки. Такого рода уравнения называются уравнениями трех моментов и еще в недавнем прошлом возводились даже в ранг «теоремы о трех моментахю Лишь относительно недавно, в связи с развитием машинной техники, была осознана общность подхода, далеко выходящая за рамки л~етодов раснрытия статической неопределимости систем. 242 Гл. з.
РАскРытие стАтическОП неОНРеделимости Но вернемся к уравнениям. Положим, что Хг Ааг, где А и а— неопределенные величины, не зависящие от индекса 1. Легко заметить, что прн таком предположении будут удовлетворены все уравнения, кроме первого и последнего, если только 1+4д+аз=О.
ОПрЕдЕЛИМ КОРНИ ЭТОГО уразисиня: аглл — 2+к 3, азлл — 2 — Р' 3. Теперь построим более общее выражение: Х Аа11+ Ва21 Опять удовлетворяются все промежуточные уравнения. Но теперь мы располагаем двумя константами А и В, которые можно подобрать так, чтобы были удовлетворены первое и последнее уравнения. :К=ъ Рис. 232 Подставляя в первое уравнение Х; и Х„получим А+В=М. Пусть крайняя правая опора имеет индекс л. Перепишем последнее уравнение нашей системы в виде Хл -2+ 4Хл -1+ Хл — Хл = О, откуда Адл+Вдзи=б Решая совместно оба уравнения, получим дл А=М вЂ” 2 дл аи' 2 1 дл В= — М вЂ” 1 дл дл' 2 1 Таким образом ди а1 ал а1 Хглл М дл дл 2 1 Но так как а аз=!, то а"-1 — ал-1 Х М 2 дл ал 2 1 Решение получено для любого числа опор.
В данном случае мы имеем 10 опор и л=р. Подставляя значения а, и а„легко обнаружить, что изгибающие моменты на опорах с увеличением индекса 1, т. е. прн счете слева направо, имеют чередующиеся знаки и бистро убывают по 4 48, пРОстРАнстВенные системы 24З абсолютной величине. Момент Хг примерно в четыре раза меньше момента М.
На предпоследней опоре он оказывается равным М/40545. Зпюра изгибающих моментов показана на рис. 262. 8 48. Плоскопространствеиные и пространственные системы Рассмотрим основные особенности плоскопространственных систем. Как уже указывалось выше, плоскопространственными называются системы, плоские в геометрическом Рис. 2бЗ отношении, но нагруженные силовыми факторами, перпендикулярными плоскости рамы.
Примеры плоскопространственных систем представлены на рис. 263. Особенностью этих систем является то, что во всех поперечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Доказывается это совершенно аналогично тому, как это делалось выше, когда рассматривались' свойства прямой и косой симметрии. Рис. 2б4 Положим, имеется некоторая плоскопространственная рама (рис. 264).
Разрезаем эту раму в произвольном сечении, превращая ее в статически определимую. Обозначим через Х„ Х„ Х, силовые факторы, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости рамы. Это — изгибающий и крутящий моменты и вертикальная поперечная сила. Остальные три силовых фактора в сечении обозначим через Х„Х„Х,. На рис. 264 эти силовые факторы, возникающие в плоскости рамы, вынесены для ясности в сторону. 244 ГЛ. В. РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОИ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ Система канонических уравнений 611ХЯ+бяяХЯ+бязХв+бяаХа+бяьХь+бявХе бяр бмХ1+бззХЯ+бзвХв+бяаХа+бмХь+бзвХв= — б,р, бяяХЯ+бвзХЯ+бвзХв+бааХа+бвьХь+бзвХв= бзр бмХЯ+баяХЯ+бавХа+бваХа+баьХь+бавХа= бер, беЛ1+бьяХЯ+бьяХЯ+бьаХа+бььХь+бьвХв= — бвр бмХ1+ бвяХЯ+бвзХв+бваХа+беьХь+бввХе= бвр распадается здесь на две независимых системы, поскольку при перемножении эпюр от первых трех факторов на эпюры трех последних получим всегда нуль: бяа=бя.=бяа=б е=..
=О. При этом, естественно, предполагается, что одна из главных осей сечения расположена в плоскости рамы. Таким образом, получаем 6„Х,+6„Х, +61,Х,= — бяр, бяЛ1+бяЛЯ+бязХя= — бяр, бяяХ1+бзяХя+бзеХЗ бяр бааХа+баьХа+бавХе= — бар бьаХа+бььХь+бьвХв= бьр бваХа+бвьХь+бевХе бвр. Если внешние силы действуют в плоскости рамы, т. е. если рама является плоской в обычном понимании, то обращаются в нуль б,, б, и б,р и внутренние силовые факторы Х„Х„Х, равны нулю.
Это значит, что для плоской рамы возникают только внутренние факторы, действующие в ее плоскости. Если же внешняя нагрузка перпендикулярна плоскости рамы, то равны нулю б,р, б,р, и б,р, Тогда равны нулю Х„Х„Х,. В заданной для расчета раме, как видим, сохраняются внутренние силовые факторы, плоскости действия которых перпендикулярны к плоскости рамы. При смешанной нагрузке (рис. 265), действующей на плоскую раму, всегда имеется возможность разложить силы по плоскостям и рассмотреть отдельно плоскую и плоскопространственную системы. Внутренние силовые факторы определяются в дальнейшем как результат наложения полученных решений.
Перейдем к пространственным статически неопределимым системам. Исследование таких систем не содержит в себе 2 46. пвостианстввнныв систвмы 246 принципиальных трудностей. Понятно, что в пространственных системах задача раскрытия статической иеопределимости выглядит, как правило, более громоздкой, чем для плоских систем. Однако канонические уравнения метода сил Рис.
265 остаются теми же, и коэффициенты их определяются при помощи тех же приемов. Особого внимания при раскрытии статической неопределимости пространственных рам требует проверка основной системы на кииематическую неизменяемость. Случается, что пространственная система представляет собой механизм, но обнаруживается это только при внимательном рассмотрении. Так, например, системы с пространственными шарнирами, показанные на рис.
266, являются кинематически Рис. 266 изменяемыми. Для каждой из них наложенные связи не препятствуют вращению системы относительно осей, отмеченных на рис. 266 штриховыми линиями. Проверка пространственной системы на кннематическую неизменяемость производится обычно при помощи проб, т. е.
путем последовательных попыток мысленно сместитьраму или некоторые ее элементы относительно неподвижных осей. В связи со сказанным следует в заключение отметить, что требование книематической неизменяемости, которое подчеркивалось выше, вообще говоря, не всегда является обя- 246 Гл. а. РАскрытие стАтическОЙ неопределимости зательным. В некоторых случаях кинематическая изменяемость основной системы может быть допущена, но этот вопрос решается обязательно в связи с особенностями приложенных к системе сил. Так, в примере 6.5, рассмотрен- Рис.
267 ном выше, кольцевая рама была рассечена двумя сечениями (см. рис. 254). Части рамы получили при этом возможность свободно перемещаться друг относительно друга. Однако полученная кинематическая изменяемость не оказалась существенной, поскольку и система заданных, и система единичных сил были уравновешены независимо одна от другой. рг' атас Тл П р и м е р 6.8. Раскрыть статическую неопределимость рзчагэуел мы, показанной на рис. 267, а. Жесткость состаиляющик брусьев на изгиб равна Е7, а на кручение Сьг» Ч74чрьа Рама является плоскопростРис.
268 ранственной. Поэтому в любом поперечном сечении рамы силовые факторы, лежащие в плоскости рамы, равны нулю. Кроме того, рама симметрична. Следовательно, в поперечном сечении в плоскости симметрии обращаются в нуль кососнмметричные факторы— крутящий момент и вертикальная поперечная сила. Отличным от нуля остается только изгибающий момент в вертикальной плоскости. Разрезаем раму по плоскости симметрии и прикладываем момент з аз. нрострлнствнннын снстныы 241 Х, (рнс. 261, б). Строим зпюру моментов от заданных сил и единичного момента и находим коэффиниенты канонического уравнения быХт+ 6,я= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
