Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 36
Текст из файла (страница 36)
231). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится понятным без дальнейших пояснений. Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных. й 46. Канонические уравнения метода сил Обратимся к конкретному примеру. Рассмотрим, например, систему, представленную на рис.
233, в. Изобразим ее еще раз (рис. 234). Тем, что рассматривается конкретная семь раз статически не- Хр в определимая система, общность рассуждений не будет нарушена. Перейдем теперь к составлению уравнений ~Р хд 1Р для определения неиз- Р ХР вестных силовых фак- с Ю торов. Условимся через ХР 7 бм обозначать взаимное Рис. 234 смещение точек системы, Первый индекс при 6 соответствует направлению перемещения, а второй — силе, вызвавшей это перемещение. В рассматриваемой раме в точке Л отброшена опора, Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать: бцх„х„.... Р1= 0.
Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Хн а индекс 1Х„Х„..., Р) показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных. Аналогично можно записать: 62~Хо Х„.... Р1= 0, 63~Хо Хс,..., Р1 — 0 И Т Д Так как под величиной бм понимается взаимное смещение точек, то 6, обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, бе — горизонтальное взаимное смещение тех же точек, 6, есть взаимное угловое смещение сечений В В. И. Феодосьев дм гл. а раскрытия стхтическоп нвопрвделимости В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина Ь7 [х„х„..., р[ В точках А и Р смещения Ьм являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами.
Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы. Пользуясь принципом независимости действия снл, раскроем выражения для перемещений 64 [х„х„..., . [.' 61[Х„'Х„..., Р[— =64х,+64х,+Ь~х,+64х,+Ь~х,+Ь~х,+6[х,+64р =О; 64[х„х4,.... Р[ = =Ьзх,+Ьзх4+Ьзх,+бах,+Ьзх4+Ьзх,+бах,+Ьв =О. Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых 6,х„, входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе.
Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину 6,» можно записать в следующем виде: 6, =Ь,Х. (6.1) Что касается перемещений 6,„, 6,р н т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних снл, которая может быть произвольной. ПоэтомУ величины Ь,р, 64р,... в УРавнениЯх оставим неизменными. Теперь уравнения примут вид 6„Х,+Ь„Х,+Ь„Х,+6„Х,+Ь„Х,+ +Ь,„Х,+Ь~Х,+6, =О, + 644Х4+ ЬиХ4+ Ьвр ~ 04 (6.2) ЬиХ\+ 644Х4+ 644Х4+ 644Х4+ 644Х4+ +ЬыХ+6Х +6~ 0 Зти уравнения носят название канонических уравнений метода сил.
Число нх равно степени статической неопределнмостн системы. Как увидим далее, в случаях, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэф- » ЕЬ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ 227 фнцненты 6!» и как следует нх определять.
Для этого обратнмся к выражению (6.1). Если Х„=1, то 6!х» — — бм. Следовательно, коэффициент бм есть перемещение по направлению г-го силового фактора под действием единнчного фактора, заменяющего и-й фактор. Например, коэффнцнент б„уравнения (6.2) представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек В и С, которое возникло бы л Ф Рис. 236 Рис. 233 в раме, если бы к ней вместо всех снл была приложена только единичная сила в точке А (рис. 235). Если, например, вместо сил Х, приложить единичные силы, а все прочие силы снять (рис.
236), то угол поворота в сечении 0 под действием этих снл будет бьм горизонтальное перемещение в точке А будет бы и т. д. Весьма существенно отметить, что в проделанномвыводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения бм. Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено вообще к любой системе, работающей на крученне, растяжение н изгиб или на то, другое н третье совместно. Обратимся к интегралам Мора (5.8) (см.
$40). Для того чтобы определить величину 6!», следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую Й-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы М„р, М„р, М,р, Ми, Д„р н !',1„р в выражении (5.8) заменим на М„, М„, М',, Л!», 1;!„» и Я„», понимая под ними внутренние моменты н силы от еднйичного !г-го фактора. В итоге получим ~ М„»Мигсг+~ Мг»Мг!с!г 1 " и»»! -мм а о~и ~"!г ~~у ! ! 228 Гл.
е. РАскРытие стАтическои неопределимости где М„и М„и ...— внутренние моменты и силы, возникающие под действием г-го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты бгд получаются как результат перемножения (-го и й-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы 1 и й непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то бы представляет собой ре- зультат перемножения (-х единич- г Очевидно, что бм — — бы. Это слег Г ных эпюр на й-е единичные эпюры. дует, с одной стороны, непосредственно из выражений (6.3), а с другой стороны, из теоремы взаРис.
231 имности перемещений (см. 3 43), поскольку перемещения бм и б,а возникают под действием одной и той же силы, равной единице. Величины б,р, входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2, ..., возникающие под действием заданных внешних сил в основной системе. Они определяются перемножением эпюры заданных сил на соответствующие единичные эпюры. Еще раз напомним, что в подавляющем большинстве случаев перемещения, связанные с изгибом и кручением элементов рамы, значительно превышают перемещения растяжения и сдвига. Поэтому в выражении (6.3) последними тремя интегралами, как правило, можно пренебречь (см. 3 38). П р и и е р 6.1. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 231.
Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами Х,, Хз и моментом Хз (рнс. 238). Каноническое уравнение (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой внд: быХг+быХз+бгзХз —— бгр, бюХз+бггХз+бгзХз= — бгр, бзгХз+бззХз+бззХз= — бзр Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом.
Поэтому, пренебрегая сдвигом н сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы Р и от трех единичных силовых факторов (рис. 238). Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна Е) Величина Ьы определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следоваюльио, площадь эпюры и умножается $4Э.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ 229 на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести: ! /Р 2 Х 7Р бтт= — ~ — * — 1+2Р 1) = —. Еу ~ 2 * 3 ) Зй1' Заметим, что величины бсэ при Р=й всегда положительны, поскольку площади эпюры и ординаты имеют общий знак. Рис. 238 Определяем, далее, и остальные коэффипяенты уравнений, перемножая соответствующие эпюры: 21э 5Р 81э бтэ = бах=37, бтэ=бз1=2Е/ ~ без= ЗЕ1 ~ 2Р 31 без=без 37 бэз 37 Р13 5Р13 Р1э Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем 7 5 Р1 8 5Р1 — 1Х + 21Хэ+ — Хз= —, 21Хз+ — 1Хэ+2Хз= —.
3 2 2 ' 3 6 ' 5 Р1 — 1Хт+21Хэ+ЗХз= —. 2' Решая эти уравнения, находим Х,= — Р14, Х,=7РПЬ, Хз=РЙ2. Раскрытие статической неопреаелимостн на этом заканчиваетсн. Чпюрз азгибзющих моментов ьюжет быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соот- 230 Гл. а. РАскрытие стАтическОЙ неОЙРеделимости ветственно в Хд, Ха и Хз раза. Суммарная эпюра изгибающих моментов предстаилена на рнс.
239. Там же показана форма изогнутой оси рамы. П р и м е р 6.2. Определить усилия в стержнях статически неопр~ делимой фермы (рис. 240, а), Жесткости ЕР всех стержней одинаковы. УУ Длины стержней равны ! или ан 1 г'2 в соответствии с риг сунком. Р Ферма два раза статически неопределима: один раа внешним и один раз внутренним образом. Выбираем ос- 1 поеную систему, заменяя правую шарнирную опору катком и разрезая стержень Б (рис. 240, б). Канонические уравнения имеют вид г гл Рю 6,!Х,+6„Ха= — 6,Р, 6„Х,+6„Х,= — 6, . Рис. 239 Определяем коэффициенты этих уравнений. Стержни работают на растяжение и на сжатие, и перемещения бш будут определяться нормальными силами, нозникзющими в стержнях.
Так как по длине каждого стержня нормальная сила не меняется, то построение эпюр становится излишним, и мы про- 7)7 М сто составим табл. 7 для усилий, возникающих в стержнях от сил Р и от первой и второй единичных сил. Определение сил Р Р производим из условий равновесия узлов. Далее, учитывая, Р гл !" И!Ма !)3 ИР~д~п где 1л — длина стержня с номеРис. 240 ром л, вычисляем значения для произведений А!1А!А1л и результаты снова сводим в табл. 7. Затем, суммируя по столбцам табли.
цы, находим 10 10 6!.— — — д Лз1 = —, б,а=611= — ~ !у!д!а1ллл —, 1 ЕР.Дл !л ЕР' ЕРХл " 2ЕР л=! л=1 !о 1 ~ч з (2+2йр2)1 ЕРлл а л ЕР л 1 1О 1О 1 ж ЗР! 1 'С гг2Р1 бхрлл —,~„)УР)4,1 = —, 6,„= — ~„Р)Р)4а(ллл — ° ЕР ~ "! " ЕР' ЕРх-а " ЕР л 1 л=1 $46. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ Р3! 1сч 1сч ~1 ++ фсч 1сч~ ~ )сч с~~~сч сс с, сс, ! ! о й, О о о О сс О О 1сч ! о о о о о о с !сч о о о ! 1сч 1сч о о ! „ !сч с , !сч !сч о о о о о о о о о 1сч ~ 1сч ~ 1сч ~ 1сч ~ ! ! о о о о о о о 1сч !сч а, а, СС' О О С4. С, ~. СС, с„ ! ! 1сч 1сч 1сч 1сч ! 1сч с - ++ й, 1сч " 1сч + ='+ й, 1сч сч ~ч ! с~ 23 Гл. е.
РАскРытие стАтическОЙ неопнеделимости 232 Канонические уравнения принимают вид ЗХ1 — — Хо = — ЗР, У2 2 — Хв+ 2 (1 + У 2 ) Хо = )Г 2 Р, — 1 откуда Хв —— — Р, Хв= Р. 10+12 Зг 2 3 и' 2 11+12 р' 2 11+12 г' 2 В В Р Рис. 241 Рис. 242 Теперь, чтобы найти усилия У в каждом из стержней, надо к силе ФР добавить силы Фт и Юо, увеличенные соответственно в Хв и Хв раза. Результаты втой операции приведены в последнем столбце таблицы.
П р и м е р 6.3. Построить зпюру изгибающих моментов для рамы (рис.241). Точки А и В рамы связаны между собой податливым стержнем с жесткостью яа растяжение Еор,. Система один раз статически неопределима. Разрезая стержень АВ в верхней точке, получаем основную систему (рис. 242, а). Строим. КЮ далее, зпюру моментов от заданной силы Р и от единичной силы (рис. 242, б и в).
Кроме того, иа участке АВ, где необходимо учесть растяжение, строим эпюру нормальной силы йи Вычисляем коэфФициенты канонического уравнении ЗИХ, + б,„= О, производя перемножение не только энюр изгибающих моментов, но и растягивающей силы 51о ЗР1в бы= — + —, бор= — — ° ЗЕУ Еоро ба Рис, 243 $47. испОльзОВАнии сВОйстВ симматиии 233 Определяем Х,: 31Р Р ! Хт= — — =— бы 2 3Е! !+— 5Е4Р44а Как видим, усилие в стержне зависит от отношения жесткости рамы на изгиб к жесткости стержня АВ иа растяжение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
