Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 40
Текст из файла (страница 40)
На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные. Система снл, приложенных к элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных -грпнях возннкают противоположные по направлению сила, то первые три условия равновесия удовлетворяются тсаждественно, н суммы проекций всех снл на осн х, у н з 254 Гл. 7. нАЛРяженное и деФОРмИРОВАннОе состояния равны нулю, независимо от величины возникающих напряжений.
Остается проверить, обращаются лн в нуль суммы моментов всех снл относительно осей х, у н г. Прн составлении уравнений равновесия легко обнаружить, что момент каждой силы уравновешивается моментом противоположной силы, расположенной на невидимой грани. Исключение составляют касательные силы. Например, для оси х условие равенства нулю суммы моментов соблюдается в том случае, если момент снлыти,йхйз равен моменту силы т,„йхйу, т. е.
тз, йх йз йу=к,„йх с(у йе. Аналогично могут быть написаны еще два уравнения равновесия. Тогда получаем твз тая тхя та* тля тяя (7.1) Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касапгелоноьх напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Это н есть закон парностн касательных напряжений, сформулированный в общем виде (см. также 2 12). Он справедлив для всех точек нагруженного тела, независимо от вида приложенных нагрузок и свойств материала. Следствием нз условия парности касательных напряжений является то, что на гранях выделенного элемента (рнс. 277) имеем не девять, а только шесть независимых компонент напряжений, поскольку касательные напряжения попарно равны.
Анализ напряженного состояния в точке начинается всегда с определения напряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводится трн взаимно перпендикулярные плоскости, ориентация которых может быть произвольной, но выбирается так, чтобы напряжения в площадках могли бы быть определены нанболее простым путем. П р и и е р 7А. Выявить напряженное состояаие в точках А и В растянутого и одновременно закрученного стержня (рис.
278, а). В окрестности заданных точек секущими плоскостями выделяем элементарный объем. Ориентация плоскостей выбирается таким образом, чтобы напряжения можно было определить возможно более простым способом. В данном случае естественной является ориентация плоскостей вдоль и поперек оси стержня. На рис. 278, а секущие плоскости в окрестности точек А и В показаны штриховыми линиаяя Выделенные злементы выносятся далее за пределы нагруженйого телв и изображаются в увеличенном масштаб" с сохранением ориентации пло. костей (рис. 278, б и з), $ 52.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В результате действия силы Р в поперечных сечениях стержня возникает нормальное напряжение о=Р(па. Векторы соответствующих напряжений вычерчиваются на гранях злемеитов. В результате дей- Рис. 278 ствия момента Ол' в поперечных и продольных сечениях возникают касательные напряжения. В точке А напряжение тыа„=ЯУ(/(0,208аа), в точке В напряжение т=О. Векторы т,„также вычерчиваем на гранях элемента. В итоге имеем; в точке А о„=а,=О, и =Р!аа, та ††О, та„=ОУп'(0,208 аа), г„„=о; в точке В и =он †в, па= Р~аа, та — — т „= =т„„=о.
$52. Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке Если дано шесть компонент напряженного состояния, а именно о„о, о„та„т,„и т„„в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку. Из напряженного тела (рис.
276) еще раз выделим в окрестности точки А элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис. 279). Три грани выделенного элемента лежат в координатных плоскостях системы Ахуг. Четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами (, и, а нормали и к секущей плоскости.
Элементарный четырехгранник обладает теми же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку А, и в пределе все его грани проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматривают как напряжения в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированных площадках. 2бе Гл. у.
ИАНРяженное и деФОРмиРОВАннОе состояния Рис. 279 величины найдены, то по ним, очевидно, могут быть найдены нормальная и касательные составляющие на произвольной площадке. Площадь треугольника ВСР обозначим через Р, площади треугольников АСР, АВР и АВС вЂ” соответственно через Р„, РР, Р,. Очевидно, Р„=Л; РР=Рт; Р,=ВО, где 7, и и л — направляющие косинусы нормали т. Проецируя все силы, действующие на элемент, последовательно на оси х, у и г, получим: ХЕ =а„р„+Т„„ГР+т, Р „ ур=т„„р„+О,ГР+т,„р„ РР т В +ТР ГР+а Р или в соответствии с соотношениями (7.2) Х=а,(+т, „гл+т,„п, Х=т .(+тх,ш+а,п. (7.3) На рис.
279 штрихами показаны составляющие напряжений на невидимых гранях. Вектор полного напряжения на площадке 'ВСР спроецируем на оси х, у и г. Обозначим зти проекции через Х, У и Л соответственно. Если эти три 9 и. опгвдвланив ндпгяженин Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами 1, и и п, проекции Х, У и 2 выражаются через шесть исходных компонент о„а„, а„тюо т,„н т„„. Иными словами, напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами.
Прн помощи формул (7„3) легко определяется вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 280). Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали до сих пор. Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, определяемой тремя числами, Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и Ю представляет собой тензор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простое геометрическое толкование, и Рис. 280 Рис.
281 тензор обычно задают матрицей (таблицей), написанной, например, в виде где каждое число представляет собой значение а„, те„... в соответствии с расположением коэффициентов в трех уравнениях (7.3), т. е. о„=500, т,„=200 и т, д. Если взамен исходной системы осей х, у, г выбрать какую-то новую систему, компоненты тензора изменятся, т. е, значения а„, ав, ... будут иными. Однако сам тензор напряженного состояния остается тем же.
Сказанное легко поясняется на примере вектора, показанного на рис. 281. 9 в. н. феодосьев вва Гл. 7. нАНРяженнОе и деФОРмиРОВАнное состояния Вектор может быть определен матрицей, членами которой являются координаты конца вектора (400 300 О). Если перейти к системе осей х,, уп г, (рис. 281), то для того же вектора получим (500 0 О). Компоненты вектора, как видим, изменились, но сам вектор остался неизменным. Остановимся более подробно на некоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат. $ БЗ. Главные оси н главные напряжения Выразим через Х, г и и, нормальное напряжение а„ в наклонной площадке, Очевидно, а,=Х1+Ут+Лл, или, согласно выражениям (7.3), о,=о„В+а„т'+а,л'+2т„,тл+2т,„л1+2т„„(т.
(7.4) Рассмотрим множество секущих площадок, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каждой площадке д отложим отрезок г= ~(о,) (рис. 282). Координаты конца этого вектора будут следую- У' щими: Я .о х=г1, у=гт, г=гл. л У Исключая из выра- жения о, направляющие косинусы 1, т и л, полуРис. 2з2 чим геометрическое мес- то точек концов векторьп о,г'=о„х'+осу'+а,г'+2ти,уг+2т,„гх+2т„„ху. Теперь решим, в какой зависимости от а, откладывать абсолютную величину отрезка г.
Обычно такой вопрос ре. шается из условий наглядности геометрического образа. В данном же случае, не стремясь к наглядности, а исключи. тельно в целях простоты полученного выражения примем формально, что а 9 63. ГлАВные оси и ГлАВные нАПРяжания явз где й — произвольная постоянная, отражающая масштаб построения.
Тогда й =а„х'+о„уА+а,г'+2те,уг+2т,„гх+2т„„ху. Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений.
В данном случае это значит, что в каждой точке напряженного тела существует такая система осей х, у, г, в которой касательные напряжения т„„т,„и т„„равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные пло- х щадки называются главны- се ми площадками, а нормальные напряжения на них— главными напряжениями. ах В порядке возрастания эти с' У напряжения обозначаются через о„о, и а,.
Ф Если в окрестности ис- цу следуемой точки элементарный объем выделен 4м главными площадками, то (Г система сил, возникающих Рас. ВВ на гранях элемента, упрощается (рис. 283). Существенно упрощаются также выражения (?.3). Они принимают вид Х=,?, у=а,т, г=а,п, Так как 1э+т'+и'=1, Х 1 г —, + — т-+ —,=1. о1 ае се Этому соотношению можно дать не только простое, но на этот раз и наглядное толкование. Величины Х, У, Е можно рассматривать как координаты конца вектора полного напряжения р, возникающего на произвольно ориентированной площадке, Геометрическое место концов век- еао гл.
е нАпРяженное и деФОРмиРОВАннОВ состояния тора полного напряжения образует вллипсоид, полуосями которого являются главные напряжения о„о, и а, (рис. 284), Полученный эллипсоид носит название вллипсоида напряжений. Из этого геометрического образа вытекает как следствие, что наибольшее из трех главных напряжений является одновременно наибольшим из возможных значений полного напряжения на множестве площадок, проходящих через Л исследуемую точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
