Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Получим 21 21 р(з р(з бхт — — — + —, би = — — — —. Е/ 61» 3ЕУ 61а Тогда Еу ч( 62к 1+3— Х =— 6 Е1 !+в 6/а Если рама состоит из стержней, имеющих круглое поперечное сечение, то ЕУ бУ„ — =1+р щ 1,3, Х1=0,355о(з. Суммарная зпюра изгибающих моментов дана на рис. 268. П р и м е р 6.9. Рассмотрим в заключение пространственную раму, показанную на рис.
269, а. Жесткости на изгиб Еу и на кручение 6за для нсех элементов рамы одинаковы. Рнс. 269 Рама симметрична относительно вертикальных плоскостей АВ и 60, Разрезая раму по первой плоскости симметрии, получаем в сечениях только симметричные силовые факторы (рис. 269, б). Из условий равновесия сразу видно, что нормальная сила в этих сечениях равна Р/2, а один из моментов равен Р112. Остается только один неизвестный момент Х„возникающий в горизонтальной плоскости. 243 Гл. а.
РАскрытие стАтическОЙ неопределимости Рис. 270 Для половины рамы строим апюры моментов от заданных сил и от единичного момента. Перемножая апюры, находим 41 21, РР 0 =~~+~~ '0ю= — 2Е,. Тогда Х.—— 4 2+Е31(03а1' Для круглого сечения ЕУ/ОУа~!,3, Х, 0,076Р1.
Суммарная анара моментов дана на рнс. 270. 5 49. Определение перемещений в статически неопределимых системах Мы уже знаем, что в любой системе перемещение определяется как результат перемножения эпюры моментов от внешних сил на эпюру моментов от единичной силы, приложенной в точке, перемещение которой надо найти. В статически неопределимых системах, очевидно, для построения эпюры моментов от внешних сил нужно раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру так, как это уже многократно делалось в рассмотренных выше примерах. Когда к статически неопределимой системе приложена единичная сила, снова возникает вопрос о раскрытии статической неопределимости. Таким образом, получается, что для определения перемещения в статически неопределимых системах нужно дважды раскрывать статическую неопределимость.
Возникающие трудности, однако, легко устраняются. Положим, дана некоторая статически неопределимая система и требуется определить перемещение, например, в точке А (рис. 271, а). Рассмотрим некоторую основную систему и $4а опгеделение пеиемещений 249 приложим к ней заданные силы и неизвестные силовые факторы Хь Х„Х, (рис. 271, б). После того как статическая неопределимость раскрыта и неизвестные найдены, рама, показанная на рис. 271, б, ничем не отличается от заданной б7 Рис. 271 рамы. В частности, и перемещения всех ее точек будут точно такими же, как и у заданной.
Поэтому можно рассматривать силы Х1, Х„Х, как заданные. Эпюра моментов от сил Р, Хь Х, и Х, представляет собой эпюру моментов в статически неопределимой раме. Следовательно, сначала необходимо раскрыть статическую неопределимость и построить суммарную эпюру моментов. Вид этой эпюры, понятно, не зависит от выбора основной системы.
Далее, освобождаем систему от внешних сил, в том числе и от сил Хп 4 Ф 14 — Рт м — 744 а) б) Рис. 272 Х, и Х„и прикладываем единичную силу к статически определимой раме (рнс. 271, в). Полученная единичная эпюра перемножается с суммарной эпюрой внешних заданных сил. На практике удобнее умножить единичную эпюру отдельно на эпюры от заданных сил и от силовых факторов Хсь Х„Х„а затем полученные результаты алгебраически сложить. Таким образом определяется искомое перемещение.
Вторично раскрывать статическую неопределимость, как видим, не нужно. 266 Гл. з. РАскРытие стАтическОЙ неОПРеделимости П р и м е р 6.10. Определить горизонтальное перемещение точки А в раме, показанной на рис. 272, а. Эпюра изгибающих моментов для этой рамы уже была построена ранее (пример 6.4). Поэтому, считая, что первая часть задачи решена, разрезаем раму в любой точке н к полученной основной системе прикладываем в точке А единичную силу 17 РР (рис. 272, б).
Перемножая эпюры, находим 6,1= — —. 672 ЕУ ' П р и м е р 6.11. Определить, насколько уменьшится диаметр АВ кольцевой рамы (рис. 273, а) при нагружении ее силами Р. Статическая А А иеопределимость этой рамы также уже была раскрыта ранее (пример Х 6.5). Изгибающий момент для чет- Р верти рамы АС оказался в следую- Г» С' щей зависимости от угла ф: л) 7! М =РВ ~ — — — созф). ~1 1 22 гп 2 Рис. 273 Разрезаем раму в произвольном сечении, а в точках А и В прикладываем противоположно направленные единичные силы (рис.
273, б). В сечении с текущим координатным углом ф имеем: Мг=)7 з!и ф. Тогда и/2 о 5 50. О методе перемещений Метод перемещений отличается от метода сил тем, что пря раскрытии статической неопределимости в качестве неизвестных принимаются не силы, а перемещения. Метод перемещений заслуживает столь же уважительного к себе отношения, что и рассмотренный выше метод сил.
Нельзя сказать, который из них лучше. Онн в основном равноценны. Преимушества одного перел другим определяются особенностями статически неопределимой системы н в какой-то мере привычками и традициями, Рис. 275 Рнс. 274 Особенно просто методом перемещений раскрывается статическая неопределимость систем с малым числом узлов. Рассмотрим пример, очень простой для метода перемещений и вместе с тем сложный для метода сил. На рис.
274 показана система, состоящая из п стержней, связанных в единый шарнирный увел в точке А. Система и — 2 раза статически иеопределима, и определение усилий в стержнях методом снл не сулит 4 ОО. о мнтоди пнпнмнщннип 261 ничего радостного, особенно, если стержней много и к тому же они имеют различные длины н различные жесткости при растяжении. Метод перемещений позволяет решать такие задачи неожиданно просто. Обозначим горизонтальное и вертикальное перемещения узла А через и и о соответственно (рис. 274).
Удаинение 1-го стержня определяется суммой проекций и и о на ось стержня, т. е. 611=и з|п !р1+о соз !рр Растягиваюшая сила определяется выражением ЕР; 611 = — ' (и з1п ф;+ о соз фг). 11 (6.4) Напишем два уравнения равновесия для отсеченного узла А: л-! л-1 ~' )ь'1 соз фа= Р, ~~~~ ~У1 з1п фа=0. ! О ! о После того как перемещения найдены, не представляет труда с помощью выражения (6.4) определить усилие в любом стержне. Методом перемещений столь же просто раскрывается статическая неопределимость системы, показанной на рис.
275, при любом числе поддерживающих стержней. Решение очевидно. Надо ввести вертикальное и угловое перемещения жесткой балки, выразить через них удлинения и силы в стержнях, а затем написать в перемещениях два уравнения авновесия. то же время, если вернуться к примеру стержневой системы, рассмотренной нами ранее (пример 6.2), то обнаружится, что решение методом сил оказывается более предпочтительным.
При большом числе узлов и конструктивных злементов методы равноценны и как один, так и другой, могут быть положены в основу создании машинных алгоритмов так называемого метода конечных элементов для анализа сложнейших систем стержневого и оболочечного типа. Исключая силы Л1 и переходя к перемещениям, получаем два уравнения для определения и и о: л-1 л-1 %'л ЕР; %' ЕР1 и ~„— 1 з!и !р; соз !рг + о ~ — соззф! = Р, 1=0 Лл 1! Лм 1=0 л-1 л-1 'кл ЕР1, с"' ЕР1 и ~ — ОН!а фг+ о ~ — згп !р; соз !рг = О.
1=0 1=0 ГЛАВА 7 ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ $ 5Е Напряженное состояние в точке Уже на примерах растяжения и сдвига мы имели возможность убедиться в том, что напряжения в площадке, проходящей через заданную точку напряженного тела, зависят от ее ориентации. С поворотом площадки меняются в определенной зависимости и напряжения. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке.
Напряженное состояние поддается анализу не только в частных случаях растяжения и сдвига, но и в общем случае нагружения тела. В настоящей главе этот вопрос и будет рассмотрен. Заметим, что исследование законов изменения напряжений в точке не является чисто отвлеченным. Оио необходимо для последующего решения более сложных задач, и в первую очередь для расчетов на прочность в общих случаях нагружения. Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упругое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 276).
При переходе от точки к точке напряженное состояние меняется достаточно медленно и всегда имеется возможность выбрать в окрестности произвольно взятой точки А (рис. 276) такую достаточно малую область, для которой напряженное состояние можно было бы рассматривать как однородное.
Понятно, что такой подход возможен только в пределаххпринятой ранее гипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельно малым объемам. Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в точке А, представим себе, что через нее проведены три секущие площадки и установлены величины возникающих в них напряжений. Затем в окрестности исследуемой точки шес- 5 5!.
напгяжвннов состояния в точки 2йз тью сечениями выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рнс. 277). Если размеры параллелепнпеда уменьшать, он будет стягиваться в эту точку. В пределе все грани параллелепипеда проходят через точку А, н напряжения в соответствующих секущих плоскостях могут рассматрнваться как напряжения в исследуемой точке.
Рис. 277 Рис. 276 Полное напряжение, возникающее на секущей площадке, может быть разложено на трн составляющие: одну по нормали к площадке н две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать по-прежнему буквой а с индексом, соответствующим осям х, у н г (рнс.
277). Касательное напряжение обозначим буквой т с двумя индексамн: первый соответствует осн, перпендикулярной к площадке, а второй — осн, вдоль которой направлен вектор т. Ориентация самих осей является произвольной. Нормальные растягнвающне напряжения о будем счнтать положительными, сжимающие — отрицательными. Что касается знака напряжений т, то здесь обусловливать его не будем, поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак т роли не играет. Напряжения, возникающие на трех гранях элемента (на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку) показаны на рнс. 277.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
