Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Каждой секущей площадке соответствует определенная точка иа круге Мора. В частности, если угол а=О, секущая площадка совпадает с главной площадкой наибольшего напряжения па (точка В рис. 289). Если ее=90', секущая площадка совпадает с другой главной площадкой из того же семейства (точка С на окружности).
$5А КРУГОВАЯ ДИАГРАММА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 267 Показанная на рис. 289 окружность построена для семейства площадок, параллельных вектору о,. Аналогичным образом можно построить круги Мора и для семейств площадок, параллельных векторам о, и о,, В этих случаях круги строятся соответственно на отрезках о,— о, и а,— о„ Рис. 290 как на диаметрах. Таким образом может быть построено три круга Мора. Поскольку знак т не оговаривается, ограничиваются обычно построением только верхней половины круга (рнс. 290).
Каждой точке любой окружности соответствует апре- деленная секущая площадка в соответствующем семействе. Рис. 291 Понятно, однако, что точки, расположенные на трех кругах, не исчерпывают всего множества секущих площадок. Площадки, не параллельные ни одной из главных осей, не вписываются в рассматриваемую схему.
Можно показать, что секущим площадкам соответствуют на плоскости о, т точки, лежащие внутри заштрихован- ЕЕЗ ГЛ. Т. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ ного криволинейного треугольника ВС0, образованного тремя совмещенными кругами Мора (рис. 291). Имеются также и методы определения напряжений в соответствующих площадках. Поскольку ни одна из точек не выходит за пределы заштрихованного криволинейного треугольника, очевидно, наибольшее касательное напряжение равно радиусу наибольшего круга ав — ив ааа а Е Это напряжение возникает в площадке, равнонаклоненной к главным площадкам, на которых действуют максимальное и минимальное из главных напряжений, что было установлено нами ранее (7.14).
Круговая диаграмма может быть построена не только, когда заданы главные напряжения. Достаточно знать напряжения в двух любых площадках из рассматриваемого семейства площадок, параллельных главной оси. Положим, например, задано напряженное состояние, показанное на рис. 292, а. Ось у является главной. Среди семейства ей параллельных площадок есть две, в которых напряжения Рис. 292 известны. Это площадки 1 и! 1. Следовательно, на круговой диаграмме могут быть найдены две соответствующие им точки. Эти точки должны располагаться на противоположных концах одного диаметра, так как угол между площадками равен 90', а на круговой диаграмме он удваивается.
Однако, поскольку знак напряжений т не оговаривался, ординаты обеих точек откладываем вверх. На форме круговой диаграммы зто не скажется (рис. 292, б), й ы. кррговля диаграмма ндпряжннного состояния 269 Из круговой диаграммы легко определяются главные напряжения: где гс — радиус круга, )(= 1/ ~ — '*) + т' 2 г' Таким образом, =' —., о + ~/(' — —,")-*+".
(7.16) После того как напряжения а' и о" найдены, они сопоставляются с величиной ою и все главные напряжения переименовываются на оо о, и о, в порядке убывания. Рис. 293 Следовательно, о,=56, о,=50, о,= = — 16. Р с. 294 При определении главных напряже. Рис.
ний можно было бы пользоваться также формулами (7.16). При этом необходимо особое внимание обращать на то, чтобы не ошибаться в индексации напряжений по осям. Рассмотрим еще один пример, П р н и е р 7.4. Определить главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рис. 293. Напряжения заданы в условных единицах.
В предложенном примере одна из главных площадок и одно из главных напряжений заданы. Следовательно, не прибегая к решению кубического уравнения (7.8), можно остальные главные напряжения определить Д нз круга Мора для семейства площадок, параллельных оси х (рис. 293). Наносим на диаграмму точки, со- А ответствующие площадкам 1 и П, н строим круговую диаграмму: ай дтг Лг о' = 20 — Г' 20'+ 30'= — 16, г о" = 20+ )/ 20а+ 30а = 56.
55 я0 Гл. т. напряженное и дещормировАнное сОстОяния Пр имер 7.6. Определить главные напряжения в случае напряженного состояния, показанного на рис. 294. Напряжения даны в условных единицах. Напряженное состояние — плоское. Площадка А является главной. Две другие находятся в семействе площздок, перпендикулярныи первой.
С тем, чтобы воспользоваться непосредственно формуламн (7.16), направим ось у перпендикулярно главной площадке (рис. 294). Тогда ои= — 30, ох=60, т=30. Формулы (7.16) дают и'= — 40, о"=60. Переийеновывая напряжения в порядке убывания, получим ох=60, о,=0, оа= — 40 й 55. Обзор различных типов напряженных состояний При исследовании вопросов прочности при сложном напряженном состоянии существенное значение имеет внд напряженного состояния. Большинство материалов поразному разрушается в зависимости от того, являются лн напряжения растягивающимн или сжимающими. Как показывает опыт, все материалы без исключения способны воспринимать весьма большие напряжения в условиях всестороннего сжатия, в то время как при одноосном растяжении разрушение наступает при сравнительно низких напряжениях. Имеются напряженные состояния, при которых разрушение происходит хрупко, без образования пластических деформаций, а есть такие, при которых тот же материал способен пластически деформироваться.
В связи со сказанным очевидна необходимость более подробно остановиться на типовых признаках напряженных состояний и проследить, в каких условиях возникает то или иное состояние. На основе такого обзора в дальнейшем проще будет ориентироваться в вопросах прочности и легче дать оценку степени опасности напряженного состояния для материала. Выше было произведено деление напряженных состояний на трехосное, двухосное и одноосное.
При решении вопросов прочности, однако, такая классификация не является достаточной и принято делить напряженные состояния на три класса в зависимости от знака главных напряжений. К первому классу относятся трехосньге растяжения, т. е. такие напряженные состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является сжимающим. Круговые диаграммы для этого класса напряженных состояний располагаются в правой части плоскости о, т (рис. 295).
В частном случае все три главных растягивающих напряжения могут быть равными; такое напряженное состояние называется чистым трехосным растяжением. Оно возникает, Б зб. ОБЭОР ИАпРяжвнных сОстОяний 271 например, в центральной части сплошного шара, быстро нагреваемого извне (рис. 296, а).
Расширение внешних нагретых слоев приводит к тому, что внутренняя ненагрегая область шара оказывается под воздействием всестороннего Рис. 29 «растягивающего давления». Круговые диаграммы при чис. том трехосном растяжении вырождаются в точку (рис. 296, а). Трехосное растяжение, прн котором два глав. ных напряжения равны, но отличны от третьего, возникает в точках, лежащих на оси растянутого образца, имеющего кольцевую выточку (рис. 296, б). Весьма часто встречается напряженное состояние, в котором О, О, т.
е. двухосное растяжение, также относящееся к рассматриваемому классу. Двухосное растяжение, при котором о,чье„возникает, например, в быстровращающихся тонких дисках постоянной толщины (рис. 296, в). Равное двухосное растяжение (а,=о,) возникает в точках, расположенных у внешней поверхности сферического сосуда, нагруженного внутренним давлением (рис. 296, г). К рассматриваемому классу напряженных состояний относится, наконец, и простое одноосное растяжение, возникающее в однородном стержне при его растяжении или чистом изгибе (рис. 296, д).
Второй распространенный класс составляют такие напряженные состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является растягивающим. Это — так называемые гпрехосные сжатия. Для напряженных состояний этого класса круговые диаграммы располагаются в левой части плоскости о, т (рис. 297). Чистое трехосное сжатие возникает в любом теле, независимо от его формы, при всестороннем гидростатическом давлении (рис. 298, а).
Неравномерное трехосное сжатие характерно для точек, расположенных в окрестности контактирующих тел, таких как, например, ролики и обоймы подшипников, втулки и валы (рнс. 298, б). Пример возник- $66..ОБЗОР НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ 273 новения двухосного сжатия показан на рнс. 298, в, Двухосное равное сжатие (п,=о,) возникает при нагружении давлением вала, имеющего свободные торцы (рис. 298, г). Одноосное сжатие также относится к рассматриваемому классу напряженных состояний и возникает, в частности, Рис.
298 при чистом изгибе и сжатии однородного стержня (рис. 298, д). К третьему классу относятся так называемые смешанные напряженные состояния, в которых наибольшее и наименьшее из главных напряжений имеют разные знаки. Напря- 274 Гл. 7. нАНРяженное и деФОРмиРОВАннОе состояния жение о, может быть как положительным, так и отрицательным. Круговые диаграммы напряженных состояний этого класса располагакггся в средней части плоскости а, т Рас. 299 (рис.
299). Смешанное трехосное напряженное состояние возникает, например, при нагружении толстостенного цилиндра внутренним давлением (рис. 300, а). Для изгибаемого и одновременно закручиваемого стержня характерно Рис. 300 возникновение двухосного смешанного напряженного состояния (рис. 300, б). Чистый сдвиг также представляет собой смешанное двухосное напряженное состояние (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
