Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ленное напряжением а„, равно а„!Е. Напряжениям а„ и о, соответствуют удлинения по оси х обратного знака, рав- ные — роб7Е и — ра,/Е. Следовательно, о„ох з = — — Р— 9 —. х Я Я . Е' Такие же выражения получаются по аналогии и для еу и е,. В итоге з = д [о р(~у+о)1 1 е„= д [~„— р(а.+о )[. 1 е,= — [о,— р(а„+о„)[. ! (7.21) Полученные соотношения (7.20) — (7,22) являются аналитическим выражением обобщенного закона Гука для изотропного тела.
Выражение объемной деформации (7.22) позволяет установить предельное значение коэффициента Пуассона для любого изотропного материала. Соотношение (7.22) справедливо для любого напряженного состояния. Оно применимо, в частности, и для случая а„=оу —— о,=р. В этом случае 1 — 21б е= 3 — р. Е При положительном р величина е должна быть также положительной, при отрицательном р изменение объема будет отрицательным. Это возможно только в том случае, если р(1!2. Следовательно, значение коэффициента Пуассона для изотропного материала не может превышать 0,5.
Полученный вывод, несмотря на то, что он вытекает из частного случая напряженного состояния, является общим, поскольку р является характеристикой материала н в пределах упругих деформаций от напряженного состояния не зависит. Перейдем к определению потенциальной энергии деформации в общем случае напряженного состояния. Оче- Сложив левые и правые части этих равенств, получим выражение объемной деформации (7.19): е= е (о +о„+о*) (7.22) язв Гл. 1.
ИАНРяженное и деФОРмиРОЕАннОе сОстОяния видно, потенциальная энергия, накопленная в элементарном объеме, определяется суммой работ сил, распределенных по поверхности этого объема. Нормальная сила о„ду 1(г (рис. 304) на перемещении е„дх совершает работу. Зга работа имеет величину — о„с(у бг е„дх, где под е„понимается относительное удлинение вдоль оси х, вызванное всеми действующими силами. Аналогичные выражения работ дают и остальные нормальные составляющие.
Касательная сила тэ,с(у бх на перемещении у„,дг совершает работу 1 2 тэг с(у дх уэл дг (см. также э 20). Выражения остальных слагаемых внутренней энергии получаются простой перестановкой индексов. В итоге имеем Жl — бхдус(г(о„е +о„е„+о,е,+тэ,у„,+т, у,„+т„эу„„). Если энергию отнести, как это обычно делается, к единице объема и, кроме того, по формулам (7.20) и (7.21) выразить деформации через напряжения, получим окончательно: Уе= 2е (о„'+о„'+оо — 2р(о„о,'+о,о„+о„о„)1+ + щ (тэ*+т~ + т'Р) (7.23) или в главных напряжениях У, = — (о,'-(-о, '+ о,' — 21А (о,о, + о,ог+ о,о,)1.
(7.24) Выведем выражения для так называемой энергии изменения формы и энергии изменения объема. Зги выражения Для того чтобы найти потенциальную энергию во всем объеме деформированного тела, выражение У, следует умножить на элементарный объем и проинтегрировать по объему тела: б бп ОВОБЩЕННЫИ ЗАКОН ГУКА Рис. 306 растяжение, а второе является дополнительным к нему до заданного напряженного состояния (рис. 306). Величина р подбирается с таким расчетом, чтобы изменение объема в дополнительном напряженном состоянии отсутствовало, т. е.
о,'+ оа'+ оа' О. Складывая выражения (7.25), получим 1 р= з (о'+о'+о')' (7. 26) При указанном условии система сил первого напряжен« ного состояния (р) не производит работы на перемещениях, вызванных силами второго состояния. Точно так же и силы второго напряженного состояния не производят работы на перемещениях первого. Взаимные работы отсутствуют, и внутренняя энергия разбивается на две части, соответствующие двум напряженным состояниям: (' а = (' а аб + (7а Фа где У„б — энергия изменения объема, а (7аь — энергия изменения формы, или энергия формоизмгнгния.
Подставляя в выражение (7.24) вместо всех главных напряжений величину р из (7,26), получим для первого потребуются в дальнейшем при изучении вопросов, связанных с пластическими деформациями и предельными напряженными состояниями. Деление внутренней потенциальной энергии на две указанные составляющие является условным и производится по следующему принципу.
Каждое из главных напряжений представляем в виде суммы двух величин оа= р+о(, оа= р+оа» оа = р+оаа (7 25) в результате чего напряженное состояние разбивается на два. Первое из них представляет собой всестороннее !!64 Гл. т. нАпРяжвннОа и двФОРмиРОВАннОЕ сОстОяния СОСТОЯНИЯ (7.27) б Сд (Нб+ Нб+ Но) ' ЭНЕРГИЮ фОрМОИЗМЕНЕНня НайдЕМ, ВЫЧИтая Уооб ИЗ Уо.
После несложных преобразований получим У~Ф вЂ”, (о~+ по+о) о оо — с О~ — о~о ), !+Р или Уо Ф 6Е~((об — и,)'+ (об — о,)о+(о, — о,)'). (7.28) Если это выражение написать для произвольных осей, то в соответствии с (7.23) ! 1)о Ф Соо 1(О" О~) +(О~ О~) +(Оо О") !+ + — 2О ( ~*+ ~.+'б~) (728) В частном случае всестороннего равномерного сжатия или растяжения, т. е. при п,=по=по=а, получаем 3 1 — 2!о ('ооб — о р о о ~оФ вЂ” О. При чистом сдвиге, т. е, если Пб — — а, по=О, Оо= — П, составляющие потенциальной энергии имеют внд и„б=О, и„=— !+Р Сравнивая выражение (7.27) с (7.12), а (7.28) с (7.11), легко заметить любопытную особенность: энергия изменения объема и энергия формоизменення соответственно пропорциональны квадратам нормального и касательного октаэдрических напряжений.
$58. Анизотропия Все сказанное по поводу обобщенного закона Гука н вытекающих из него следствий относилось к изотропным средам. Теперь остановимся на упругих свойствах анизотропных материалов. % 68. Анизотгопия До недавнего времени в практических задачах инженерной механики зги вопросы на передний край не выдвигались. Это не значит, что анизотропные материалы не находили применения. С ними давно приходится иметь дело. Вспомним хотя бы резинокордную конструкцию автомобильных и авиационных шин, где резиновая оболочка армирована стальными или нейлоновыми нитями, образующими косоугольную сетку.
Можно вспомнить и фанерные аиизотропные панели, применявшиеся в прошлом для оклейки несущих плоскостей самолетов. Можно привести и другие примеры, где анизотропия фигурирует как важный фактор расчетной схемы. И все же, несмотря на несомненную важность и даже заслуженность подобных прикладных задач, следует признать, что все оии узконаправленны и по своей общности существенно уступают тому богатству структурных схем, которое раскрывается перед нами в связи с применением композиционных материалов. Сейчас немыслимо представить авиационную и ракетно-космическую технику без применения композитов.
Композиционные материалы уже охватили многие отрасли промышленности, в том числе производство предметов домашнего обихода. Не будет преувеличением сказать, что человечество стоит уже на пороге нового века — века композитов. Композиционные материалы могут иметь различную структуру. Но во всех случаях, по самому определению, композит состоит по крайней мере из двух компонентов— наполнителя и связующего. Последнее обычно называют матрицей. Если наполнитель представляет собой уложенную в определенном порядке систему нитей или нитевидных кристаллов, композиционный материал приобретает резко выраженные свойства анизотропии, и модули упругости в различных направлениях могут различаться в несколько крат.
Не касаясь пока вопросов прочности, постараемся представить армированную структуру композита как сплошную и однородную среду с соответствующими упругими константами, позволяющими построить закон Гука в традиционной форме линейных зависимостей между компонентами напряженного и деформированного состояний. И обобщение в атом случае достаточно очевидно: каждая компонента деформированного состояния зависит от каждой из компонент напряженного состояния. В итоге получаем еяв Гл.
ч. нАНРяженнОВ и деФОРмиРОВАнное состояния следующие соотношения: а» =Яипх+Язвив+Яыпа+Язату*+Бмтзх+Язввху еу =Бзапх+Базпу+Базпа+Язвтуз+Бзвтах+Яватху> е» =Бвапх+Явзпу+Бзвпз+Яввтуз+Бухтах+Ямтху, (7.30) уу,=Явап„+Явзпу+Я„а,+Б„ту,+Я„т,„+Я,.т„„, вв Б Ох+Я Оу+Б па+Я туз+Я т +Б вху=Бвзпх+Явзпу+Бвзоз+Яавтуа+Яввтз~+Яввтхую где Ям — коэффициенты податливости, которые определяются свойствами материала, но не являются его константами, поскольку зависят еще и от ориентации выбранной системы осей х, у, г. Как напряженное и деформированное состояния являются тензорами, так и система коэффициентов податливости образует тензор, но более высокого порядка (ранга).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
