Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Для пружины сжатия из полного числа витков исключается примерно по 3/4 витка с каждого торца, поскольку эти витки поджаты при навивке к соседним и свободно деформироваться не могут. Таким образом, предполагается, что 1,5 витка в работе не участвуют. Если пружина навита из круглой проволоки, то У,= =Ур — — и!(932, и тогда формула (5.12) принимает вид А= (5.13) Поскольку витки пружины растяжения — сжатия работают в основном на кручение, имеем М„Р0 г аг 2В' ' В случае кругового поперечного сечения т пьах аг паз ' Р 2!2 ГЛ.
6. ПЕРЕМЕШЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ Переходя к пружинам кручения, заметим, что при их гасчете наибольший интерес представляет определение углового перемещения одного конца относительно другого. В поперечных сечениях витка пружины кручения возникает полный момент М=И (рис. 216). Раскладывая его Реа 216 по осям, находим: М„„=И1 соя а; М„=% я1п сс. После приложения к концам пружины единичных моментов получим М„„,= соя а; М„= я)па. Вследствие малости угла сс пренебрегаем перемещением, связанным с кручением витков, а соя а полагаем равным единице. Тогда Миз.Мхэм ас БУ с2= ЕГх Е~х или Щи0а и Наибольшее напряжение изгиба 9Л о ПИХ 1Р Задачи, возникающие при расчете витых пружин, далеко не исчерпываются изложенным. В случае, когда диаметр проволоки 61 соизмерим с диаметром витка О, возникает необходимость введения поправок на большую кривизну.
В некоторых случаях бывает необходимо определить так называемые вторичные перемещения, например, изменения диаметра или числа витков пружины растяжения. В ряде случаев представляет интерес создание пружин с нелинейной зависимостью осадки ) от силы Р. Это достигается тем, $43, ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ 213 что часть витков в результате осадки пружины последовательно выключается из работы. Встречаются задачи, связанные с расчетом нецилиндрических пружин, и многие другие. Все они, однако, выходят за рамки курса сопротивления материалов и здесь не рассматриваются. й 43. Теорема взаимности работ Теорема взаимности работ, подобно теореме Кастилиано, относится к числу общих теорем сопротивления материалов.
Она прямо вытекает из принципа независимости действия сил и применима ко всем системам, Р~ Р4 для которых соблюдается этот принцип. Рассмотрим упругое тело, к которому приложены сила Р, в точке А и сила Р,вточке В (рис. 217). Полагая, что к системе может быть Рис. 2!7 применен принцип независимости действия сил, определим работу, которую совершат силы Р, и Р, при прямом и обратном порядке приложения. Прикладываем сначала в точке А силу Р,. Эта сила со- 1 вершит работу — Р,Ь„, где б„, — перемещение точки А 2 по направлению силы Р„вызванное силой Р,.
Далее, в точке В прикладываем силу Р,. Эта сила совершит работу, ко- 1 торая будет иметь аналогичное выражение — Р,ЬВ,. Од- 2 повременно совершит работу и сила Р„поскольку при приложении силы Р, произойдет и перемещение точки А. Работа силы Р, будет Р,б„„где 6„, — перемещение точки А по направлению силы Р, под действием силы Р„приложенной в точке В. В итоге получим сумму работ при прямом порядке приложения сил: Теперь приложим сначала силу Р„а затем Р,.
Тогда, очевидно, выражение работы будет следующим: 1 1 РсбВ4+ 2 Р4бА1+" абВО Приравнивая работы, находим Р4б„= Рибап (5А 4) 214 Гл. з. Пвримвщиния В стяржнивой систвмв Полученный результат может быть сформулирован следующим образом: Работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы в на перемещении точки р л ее приложения под дейлг ствием первой силы.
В этом и заключается теорема взаимности рал бот. ем Эта теорема приобре- тает ббльшую общность, и если учесть, что здесь, как и при выводе теореРис. 2!З мы Кастилиано, под Рт и Р, можно понимать не просто силы, а обобщенные силы, а под бл, и бв,— обобщенные перемещения. Иногда в теорему взаимности работ вкладывают более узкое содержание, трактуя ее как теорему взаимности перемещений. Если Р,=Р„выражение (5.!4) принимает вид блз бвт (5.15) Перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием такой же силы, приложенной в точке А.
Сказанное может быть проиллюстрировано на примере балки, нагруженной силой Р поочередно в точках А и В (рис. 2!8). Согласно теореме взаимности перемещений отмеченные на рисунке отрезки 5„, и бв, равны. Теоремы взаимности работ и перемещений оказываются весьма полезными, так как позволяют в ряде случаев сильно упростить решение многих задач сопротивления материалов. Это мы увидим, в частности, в следующей главе, где будут рассматриваться общие вопросы раскрытия статической неопределимости систем. В некоторых случаях теорема взаимности работ дает возможность весьма просто решать в общем виде такие задачи, которые другими методами могут быть решены только с большим трудом.
П р и м е р 5.11. Определить измевение объема упругого тела произвольной формы, нагруженного двумя равными, противоположно направлеаными силами Р (рис. 219). Расстояние между точками приложения сил равно Н. Упругие константы материала заданы. $43. ТБОРБМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ Понятно, что найти решение задачи в столь общей постановке предстанляется весьма затруднительным. Однако на помощь приходит теорема взаимности работ. Одновременно с заданной нагрузкой будем рассматривать случай нагружения тела равномерно распределенным давлением р, действующим по поверхности.
Тогда имеем две ебобщенные Рнс. 220 Рис, 219 силы: систему двух сил Р— с одной стороны, и давление р — с другой. Согласно теореме взаимности работ можно сказать, что Р ЬНр=р ЬУр (5.16) где ЛНр — взаимное смещение точек приложения сил под действием давления р, а Ь)гр — искомое изменение объема тела под действием сил Р. При нагружении тела равномерно распределенным давлением в любой площадке тела возникает напряжение, равное давлению р. Для элементарного объема, показанного на рис.
220, относительное сжатие в л1обом направлении согласно закону Гука будет следующим: о а о р в= — — р — — р — — (1 — 2р). Е Е Е Е Точки приложения сил Р (рис. 219) сблизятся под действием даиления р на величину АН„= — (1 — 2р) Н. р Е Тогда, подставляя ЬНр в выражение (5.16), находим РН Л'г' — (1 — 2р). Е П р и и е р 5.12. Замкнутая нерастяжимая рама, имеющая форму круга, нагружена в своей плоскости произвольной системой снл (рис.
22!). Показать, что площадь, ограниченная рамой, при ее изгибе не меняется. Изменение площади рассматриваем как обобщенное перемещение. Соответствующая этому перемещению обобщенная сила представляет собой распределенную нагрузку постоянной интенсивности о. Поэтому наряду с заданным случаем нагруження рассмотрим нагруженне той же рамы равномерно распределенной нагрузкой э (рис. 222). Тогда, согласно теореме взаимности работ, имеем р АРР— ~~ Рг бгг в (5.17) 21б гл. з. перемещения в стерхсневои системе где Ьгп — искомое изменение площади под действием произвольной системы сил, а,У, Ргбтя †сум работ этих сил на перемещениях, вызванных распределенными силами о. Под действием сил о перемещевнй в кольце возникать не будет, поскольку кольцо нерастяжнмое, и поэтому б;а-— — О.
Следовательно, Рг Рис. 222 Рис. 221 правая часть уравнения (5.17) обращается в нуль, и огр =О, что и требовалось доказать. Понятно, что полученный результат является правильным только для малых перемещений, пока к системе может быть применен принцип независимости действия сил. ГЛАВА 6 РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ й 44. Связи, накладываемые на систему.
Степень статической неопределимостн Выше (в гл. 1 и 2) были частично затронуты вопросы, связанные с понятием статической неопределнмости. Для решения большинства встречающихся на практике задач описанные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методах раскрытия статической неопределимости стержневых систем, Под стержневой системой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму стержня.
Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то стержневая система называется ферлгой (рис. 223). Ферма состоит из прямых стержней, обра- Рис. 223 зующих треугольники. Для фермы характерно приложение внешних сил в узлах. Если элементы стержневой системы работают в основном па изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 224). Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы, У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов расположены в одной плоскости, которая одновременно является главной плоскостью сечений.
В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рис. 224, а). 213 ГЛ. 6. РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ Наряду с плоскими рассматриваются так называемые плоснопространственные системы. Для такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости.
Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, Рис. 224 перпендикулярных этой плоскости (рис. 224„б). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (рис. 224, в). Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении. Под статически неопределимой системой имеется в виду такая, для которой определение внешних реакций и всех внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
