Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ордипату у будем отсчитывать от нейтральной линии. Удлинение слоя АВ (рис. 183, б) вв дл Мр) АВ (Го+у) йр Здесь предполагается, что в процессе изгиба бруса величина у не меняется. Однако, строго говоря, это не так. ужгээ ° у гу 111 ! Г~~~» п~ "й~~ 4 Ф~ Рис. !83 Если рассмотреть условия равновесия элементарной полоски АВ (рис.
133, в), станет очевидным, что между соседними волокнами должно существовать взаимодействие в виде сил, направленных по радиусу, в результате чего форма поперечного сечения бруса меняется и размер у не остается прежним. Для сплошных сечений это изменение несущественно. Для тонкостенного же бруса радиальные перемещения волокон довольно велики и могут коренным образом изменить картину распределения напряжений в сечении.
Отношение Л(гйр)/Йу пропорционально изменению кривизны бруса. Из рис. 183 видно, что СР=(!йр+Л(ду))г, где г — радиус кривизны нейтрального слоя после деформации; с другой стороны, СР=Г, гйр. Приравнивая эти величины, получаем Таким образом, можно написать, что $ 37. ИЗГИБ БРУСА БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ 183 и, далее, «.33) В полученных выражениях наглядно проявляется основная особенность бруса большой кривизны: здесь размеры поперечного сечения соизмеримы с радиусом Г,, поэтому величина у, стоящая в знаменателе, имеет существенное значение и напряжения по высоте сечения распределяются нелинейно. Для бруса малой кривизны величина р по сравнению с Г, мала и О=Еу~ — — — ).
При 13,=0 это выражение переходит в выражение (4.3) для прямого бруса. Будем полагать для простоты, что сечение бруса симметрично относительно плоскости кривизны. Тогда ось р в сечении является осью симметрии (рис. 184) и момент элементарных сил о ог" относительно этой оси равен нулю. Напишем теперь выражения для нормальной силы Л' и изгибающего момента М„,„: ЛГ= 1 о ог", М„„= ) оу Г(г", или, после подстановки и нз (4.33), получаем Так как нормальная сила равна нулю, то (4.34) Выражение для М„„преобразуем, разбивая входящий в него интеграл на два слагаемых: гл. о, изгив 184 Первый из интегралов представляет собой статический мо- мент сечения относительно нейтральной линии и равен про- изведению ге, где е — расстояние от нейтральной линии до центра тяжести, (4.35) е=ро го Второй интеграл, согласно выражению (4.34), равен нулю. Таким образом, /1 18 го (4.38) Исключая при помощи полученного соотношения разность 1!г — 1!г, из выражения о (4.33), получим следующу!о расчетную формулу для определения нормальных напряжений: 84 ног У о=- — —— оо+ У (4.
37) Напряжения, как видим, меняются по высоте сечения нелинейно. Эпюра напряжений представляет собой гиперболу, одна из асимптот которой совпадает с осью кривизны ! Рис. 186 Рис. 185 (рис. 135). В зависимости от формы сечения наибольшие напряжения могут иметь место как в верхней, так и в нижней точке сечения. Для того чтобы пользоваться формулой (4.37), необходимо определить величину г,. Для этого рассмотрим интеграл (4.34). Введем новую переменную иг го+у(рис. 186). Тогда выражение (4.34) примет вид ~-":-„-'ч (В= О, $ 27.
ИЗГИБ БРУСА БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ 185 откуда Р го о 1 оР (4.38) Интеграл, стоящий в знаменателе, представляет собой геометрическую характеристику сечения, такую же, как, ау 4 Рис. 187 например, статический момент или момент инерции. В частности, для прямоугольника (рис. 187, а) имеем Рооо12 1 — б 1 — Ь!п Р Р,-А12 и, согласно формуле (4.38), Б=Р.— +„~2 (4.39) Ро Ро М2 Аналогичным образом для бруса круглого поперечного сечения (рис. 187, б) госле выполнения операции интегрирования получим е= -(Є— р' Ро — )со).
(4.40) и о 1А12 Ро Ь/2 Смещение нейтральной линии относительно центра тя- жести ГЛ. 4. ИЗГИБ 186 Вычисление величины е как разности между ро и го содержит в себе значительные неудобства, особенно в случае сравнительно-небольшой кривизны бруса. Дело в том, что разность больших величин ро и го очень мала, но должна быть вычислена точно, поскольку от этого непосредственно зависит результат подсчетов напряжения о по формуле (4.37). Поэтому величину го приходится подсчитывать с большим числом знаков.
Для подобных случаев выработан прием разложения вычитаемых величин в ряды с последующим исключением первых взаимно уничтогкающнхся членов. Например, в рассмотренном случае прямоугольного сечения это выглядит следующим образом: р +8/2 1+И(2ро) Ро М2 1 — Ы(2ро) откуда Ро (ч'2 Возвращаясь к выражению (4.39), видим, что величины ро взаимно уничтожаются, а смещение е определяется без потери точности прн помощи следующего ряда: ( Ь ) ~ 4 ( 8 )о 44 ( А )4 При )Ура<1(2 можно довольствоваться с достаточной точностью одним членом ряда = 3ро(2 — ) . Аналогичным образом преобразуется выражение (4.40): 4 ~ +4 ( ) +8 ( ) +'''1' Все сказанвое легко может быть распространено и на случай прш невольной формы сечения. Выражение (4.34) перепишем в ниде где ух=у — е — расстояние от площадки о(Е до центральной оси.
Определяем отсюда величину е: е=— л Ро+Уь $ 37. ИЗГИБ БРУСА БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ 187 Воспользуемся разложением (1+ — ') =1 — +( — ) —... и Ро Ро (.Ро ограни шмся двумя первыми членами ряда. Тогда получйм ~д,(1 й)БР ~(1 — и— ')БР Так как у, отсчитывается от центральной оси, то ~ ухо(Р =О. Тогда, Р очевидно, р,Г' (4А1) где 7„, как и при изгибе прямого бруса,— момент инерции сечения относительно центральной оси, П р и м е р 4.17.
Найти напряжение в точке А крюка трапецеидального сечения (рис. 188) со следующими размерами: Ь,=4 см, Ьо=! см, и,=З см, и,=10 см, й=7 см. и Сила Р=20 кН. Сначала определяем положение цент- 1 ра тяокести сечения. Статический момент сечения относительно большего основания Ь,йо Ь, — Ь, о + 1 ойо 2 6 Площадь сечения Р= — й= 17,5 смо. Ьо РЬо 2 Разделив статический момент на площадь сечения, находим расстояние от основания трапеции до центра тяжести уо: Ьо+2Ьо й Ро= +Ь 3 =28 Радиус ро=уо+их=5,8 см.
Момент инерции сечения относительно основания Ьой" +(Ьо — Ьо) йо 200 1 мо 12 Рис. 188 Переходя к центральной оси х, получим 7„=62,9 смо. Довольствуясь приблиокенным определением величины е, по формуле (4.41) находим е=0,620 см. Напряжение изгиба в точке А определяется по формуле (4.37), которая принимает для данного случая вид Рро И вЂ” е 20000 5,8 2,18 и = —.' —" — = ' ° — '= 77,7 МПа. Ее иь 17,5 0,620 3 ГЛАВА 5 ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НАГРУЗКЕ 8 38. Потенциальная энергия стержня в общем случае нагружеиия Выше определялись перемещения прямого стержня при растяжении, кручении и изгибе.
Рассмотрим теперь общий случай нагру>кения, когда в поперечных сечениях могут возникать нормальные и поперечные силы, изгибающие и крутящие момент>я одновременно. Кроме того, расширим круг рассматриваемых вопросов, полагая, что стержень может быть не только прямым, но и иметь малую кривизну или состоять из ряда участков, образующих плоскую или пространственную систему. Решение поставленной задачи необходимо не только для нахождения самих перемещений и оценки жесткости конструкции. На основе определения перемещений создаются общие методы определения внутренних силовых факторов в статически неопределимых системах, о чем будет сказано в следующей главе.
Наиболее просто находятся перемещения при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного стержня. Определению потенциальной энергии предшествует анализ внутренних силовых факторов, возникающих в стержне. Зтот анализ производится, как известно, при помощи метода сечений и завершается построением эпюр изгибающих и крутящих моментов, а в тех случаях, когда это необходимо,— построением эпюр нормальных и поперечных сил. Во всех случаях эпюры внутренних силовых факторов строятся на осевой линии стержня.
Величина силового фактора откладывается по нормали к оси, как это показано, на- !90 Гл. а пеРемещения В стеРжнеВОй. системе пример, на рис. 189. Для пространственного стержня осевая линия вычерчивается обычно в перспективе и эпюры изгибаюших моментов изображаются В соответствующих плоскостях изгиба !рнс, 190). Эпюра крутящих моментов не связывается с какой-.тибоопределенной плоскостью и вотличиеот эпюры изгибающих моментов штрихуется винтовой линией Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
