Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 28
Текст из файла (страница 28)
9 34. Валка на упругом основании Расчетная схема балки на упругом основании является достаточно универсальной и позволяет построить экономные способы решения многих задач. Представим себе прямую балку, опирающуюся на множество часто расположенных, не связанных между собою пружин или каких-либо д К других упругих элементов (рис. 168). Если к балке приложены внешние силы, то со стороны пружин возникают реакции, каждая из которых пропорциональна местному прогибу.
Так как рас- та стояние между пружинами невелико, целесообразно представить реакции в виде распреде- и р / г ленных сил, интенсив- ность которых да пропорциональна прогибу: ч1 дн= — иу, (4.20) где н — коэффициент пропорциональности, за- ба висящий от жесткосги Ф пружин и частоты их Рис. !69 расстановки. Знак «минусь указывает на то, что реакции направлены в сторону, противоположную прогибу. Подходя к аналогичным системам с более общих позиций, можно вообще представить пружинные опоры как некоторую сплошную упругую среду, обладающую тем свойством, что возникающие с ее стороны реакции подчп- ГЛ. 4. ИЗГИБ 1то Е )угг+ку или, вводя обозначение — = 4й4 Ег' (4.21) получим у'ч+ 4й4у = — 4.
Е,г ' (4.22) Если внешняя распределенная нагрузка о отсутствует, правая часть уравнения обращается в нуль, а сосредоточенные силы и момент учитываются путем наложения соответствующих граничных условий при определении гюстоянных интегрирования. Решение уравнения (4.22) можно записать в виде у=г "'(С,з(пйг+С,соз14г)+г" (С4З1пкг+С4соз14г)+у*, (4.23) где у* — частное решение уравнения (4.22). няются соотношению (4.20) независимо от физических н конструктивных особенностей основания.
Балка, расположенная на такого рода сплошной деформируемой среде, носит название балки на упругом основании. ~ Коэффициент я называется когффицигп4пом упругого основания. В инженерной практике такая расчетная схема получила широкое распространение и используется при анализе многих конструкций.
Правда, соотношение (4.20) не всегда соблюдается, но часто может рассматриваться как приблих<енное. Так, например, оно является почти точным в рассмотренном выше случае большого числа не связанных упругих опор. Оно будет также точным для плавающей балки прямоугольного сечения (рис. !69, а). Здесь реакция со стороны жидкости в каждом сечении пропорциональна глубине погружения балки. В то >ке время для шпалы (рис. 169, б), лежащей на упругом грунте, соотношение (4.20) должно рассматриваться как приближенное, поскольку реакция в каждом сечении зависит не только от местного прогиба, но и от осадки грунта в соседних точках.
Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании получается из последнего выражения (4.19). Взамен величины у надо подставить разность д — уа. Тогда под величиной о будем понимать внешнюю распределеннУю нагРУзкУ, а под 4)а — Реакцию УпРУгого основаниЯ (4.20). В итоге для балки постоянной жесткости имеем урав- нение 4 зж БАлкА нА упРуГОм ОснОВАнии 171 Во многих случаях более предпочтительной оказывается другая форма записи, которая получается нз (4.23) простой перегруппировкой слагаемых, у=С,Б(пйгзЫгг+С,япяг СЬ йг+ +С,созягзЫгг+Сзсозлг СЬ йг+уе, (4.24) где БЬ яг и сй йг представляют собой гиперболические синус и косинус. Если функция у определена, то, согласно выражениям (4.)9), без труда определяются изгибающие моменты и поперечные силы.
П р и и е р 4.11. Деревянный брус прямоугольного поперечного сечения (рис. 170) плавает на воде. К брусу в середине приложена сосредоточенная сила Р. Определить наибольший изгибающий момент в предположении, что сила Р не очень нелииа и брус ею не затапливается. Если в хаиом-то сечении балка сместится вниз на расстояние у, давление со стороны воды увеличится на ту, где у — удельный вес воды. Рис. 170 Интенсивность сил реакции будет да= — тЬУ, где Ь вЂ” ширина прямоугольного сечения, Следовательно, н=тЬ, и, согласно выражению (4.21), 77 ть (4,25) Собствеаный вес балки уравновешивается реахцпей жидкости, поэтому полагаем в уравнении (4.22) 4=0.
Тогда под величиной р следует понимать смещение, отсчитываемое от равновесного положения бруса, которое тот занимает при Р=О, Тан хан у'=О, получаем, согласно (4.24), у= С, а|п Ьг зЬ йг+ С, з|п Ьг сЬ йг+ С, соз Ьг з!т Ьг+ Сз соз Ьг сЬ Ьг. Последовательно дифференцируя это выражение, находим: у'= (С вЂ” Ст)Ь яп Ьг зЬ Ьг+ (Ст — С4)Ь яп Ьг сЬ Ьг+ +(С,+ С,)Ь соз lш зЬ Ьг+(С,+Сз)Ь соз йг сЬ Ьг, у"= 2С,/Р соз Ьг сЬ Ьг+2Сзйз соз Ьг зЬ Ьг— — 2Сзв' яп Ьг сЬ аг — 2С4Ь- яп Ьг зЬ Ьг, р"'=2 ',Са — Сз)Ь соз йг сЬ Ьг+2 (Сг — С4)йз соз Ьг зЬ Ьг— — 2 (Сг+ С4)Ь' яь Ьг сЬ Ьг — 2 (Сз+ Сз)Ь~ яп Ьг зЬ Ьг. гл.
ж изгин 172 Выберем начало отсчета г в точке приложения силы Р. Пря г=О по условиям симыетрии р'=О, а поперечная сила справа от среднего сечения равна — Р!2, следовательно, Еуу"Пх э= †Рпри г=|, М= =Е/у"=0 и Ц=Еуу"'=О. Таким образом, получаем четыре уравнения для определения констант С„ Сю Сь и С4. Р Сь+Сз=О, Сь — Се=в С, саь И сй И+ С, соь И вй И вЂ” Са ь!п И сй й! — С„ьш И ьй И=О, Ст (соь И ьй И вЂ” ь(п И сй |О+Се (соь И с(т И вЂ” ь(п И ьй И|+ +Се ( — соь И сй И вЂ” ь!п И ьй ЭО|+ +С,( — соь Э! ьй й! — ь(п И сп й0=0, откуда Р ьйх И+ и!пх И С вЂ”вЂ” 8Е./йх ьй И сй 2|+ ь!п И соь й! ' Р Р ь= — 5Еця з =8Еугь С сй И+сове И 8Еуйх ьй Ф! сЬ И+ ми й! соь И ' Изгибающий момент в балке определяется через втор!по производную функпии у формулой Мххх=Еуу", или Р I ьйь И +ь(пх Ы соь И сй йг — соь йг ьй аг— 4й ~ь(т Иск И+юп И соь И сйь й!-(- соьь И вЂ” ь(пйгсййг+ й „, !ыпйгаййг) Наибольший изгибающий момент имеет место при г=О: Мтхх !' ьйь А!+Ыпх И 4й ьй И с|та!+ь(пИ сов И ' С увеличением длины ! изгибающий момент растет, но не беспрелельно.
юах Р При очень большой длине Мизг = 4— , где величина й определяется по 4й ' б) Рис. 171 формуле (4.25|. Вид эпюры изгибающих моментов меняется в аависимости от длины При малой длине эшора имеет внд кривой, показанной на рис. 170. Для более длинной балки эпюрь нзгибаьощего момента меняет знак и принимает внд кривых, показанных на рис. |71, а, б.
$36. кОсОЙ изгив й 35. Косой изгиб >7З амиаг а/ »7 лиюию Рис. !72 в двух главных плоскостях гх и гу (рис. 172). Для этого изгибающий момент М„„раскладывается на составляющие моменты относительно осей х и у: М„=М„„з!па, М,=М„„сова. Нормальное напряжение в точке, имеющей координаты х и у, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами М, и М„, т. е. м„у >и ах о= — "+ —, '>а (4.26) или а= М ~ — з(пи+ — сова) . у . х изг ! ,>а Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор о, то концы векторов, как и при простом изгибе, образуют плоскость. Уравнение нейтральной ли- нии в сечении найдем, полагая о=О: у= — х — с!а' и. '>к ,>а (4.27) Легко установить, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости изгибающего момента. Действительно, угловой коэффициент й, следа плоскости ьюмента (рис. 172, б) представляет собой тангенс Под косым изгибом, как нам уже известно, понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения.
Косой изгиб удобнее всего рассматривать как одновременный изгиб 174 ГЛ. 4, ИЗГИБ угла Би Рис. 174 й,=1я и. Угловой же коэффициент нейтральной линии [формула (4.27)) равен А = — — с1пя. 7« 3 Так как в общем случае /„ФУю то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, ие соблюдается, поскольку й«Ф — 17й,. Стержень, образно выражаясь, «предпочитает» изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будетменьх,,у, ше. Поэтому нейтральная линия не перпендикулярна плоскости момента, а несколько повернута в сторону оси мн/ » нпмального момента инерции у (рис.
172, 6). Так как зпюра нормальных о напряжений в сечении линейн»й мпльнол на, то максималы«ое напряже- ние возникает в точке, наибоРис. 173 лее удаленной от нейтральной линии. Пусть координаты этой точки будут хм у,. Тогда из выражения (4.26) получаем Ч» М»»Г (4.28) » д Когда сечение имеет простую форму (круг, прямоугольник), наиболее опасная точка может быть определена сразу. В случае сложной формы сечения удобно прибегать к графическому методу. Для этого сечение вычерчивают в мас- Е штабе и проводят глав- а' ные оси х и у. Затем по формуле (4.27) строится нейтральная линия.
При помощи линейки и угольника (рис. 173) определяется точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, а ее координаты х, и у, снимаются непосредственно с чертежа. 175 4 зз. кОсОЙ изгив П р и и е р 4.12. Валка равнобокого уголкового профиля (рис. 174), защемленная одним концом, находится под действием сил собственного веса. Требуется определить наибольшее напряжение в заделке. Длина балки 1=3 м, профиль Ьй !О, толщина стенок профиля 5= 10 мль По таблице стандартных профилей (см. сортамент прокатной стали в конце книги) определяем погонную массу балки — 15,1 кг/м.
Отсюда д= 1,48 Н/см. По форъшле М=р!Ч2 находим наибольший изгибающий момент: М=66 600 Н сль Плоскость этого момента параллельна стороне уголка н составляет с главными осями угол се=45'. Вычерчиваем в масштабе поперечное сечение (рис. !75) и проводим главные центральные оси х и у. Из таблиц сортамента находим Ух=/мах=284 см, /э=Уж!а= =74,1 см'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
