Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Внесем некоторую определенность в систему осей х, рг, а, связанную с сечением (рнс. 135). Начало координат О совместим с центром тяжести сечения. Ось а направим по нормали к сечению, а ось х по нейтральной линии. Ось у перпендикулярна оси х, следовательно, она лежит в плоскости изменения кривизны. Это — так называемая подвижная система осей, положение которой меняется в пространстве при переходе от одного сечения к другому. Изгибающий момент в поперечном сечении стержня, как и нормальная сила, может быть выражен через напряжения о: Заметим, что в общем случае плоскость изгибающего момента в сечении не совпадает с плоскостью уа (рис.
135). Иными словами, изменение кривизны стержня происходит не обязательно в плоскости изгибающего момента. Этот общий случай изгиба мы рассмотрим несколько гюзже, а пока ограничимся более простым частным случаем, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны. При указанном условии момент элементарных сил а пР относительно оси у равен нулю, а относительно оси х— полному изгибающему моменту М. Тогда получаем Ег Ег — )ухйЕ=О, — )ргг(Е=М. (4 4) Р Р Первое выражение приводится к виду ,1„„=О. Это значит, что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения.
Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба общий случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совладает, называется косым изгибом. Из выражений (4.4) получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента: (4.5) з Та нАпРяжения Г!Ри чистом изГиБе 145 'Ьал Рис. !За Возвращаясь к формуле (4.3) и исключая нз нее кривизну 1/р, получаем выражение для напряжения а: Му Максимальное напряжение при изгнбе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (рис.
136): Мкаах о ахах х Отношение /„lу,„называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через Ю'„(измеряется в см" или мм'): В'„= —" (4.7) Таким образом, птах= у"'". (4.8) Эта формула является основнон в расчетах на прочность при изгибе. Для стержня прямоугольного сечения со сторонами Ь н Й ььа Ь ааа У ах=2 (4.9) Для стержня круглого сечения Ух и Ухаах а )(1х 0~1 1Т ° ('1 10) паха 0 п0а х где 1„— момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Величина Е/„называется жесткостью с(пержня при изгибе.
Как и при кручении, эта величина пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения при пропорциональном их изменении. Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления й7„. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по возможности распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси.
Так возникли стандартные даутавровые и корытные тонкостенные профили, показанные на Рис. !37 Рис. 138 рис. 137. При изгибе в вертикальной плоскости такие профили дают существенную выгоду по сравненшо с прочими формами поперечных сечений. Момент сопротивления 1Г„стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и дается в соответствующих таблицах.
Поэтому при расчете балки на прочность отпадает необходимость производить громоздкие вычисления по определению моментов инерции и моментов сопротивления. В конце книги приведены таблицы стандартных профилей. Кроме профилей, приведенных в таблицах, существуют и другие профили, например, применяемые в самолетостроении и задаваемые специальными стандартами.
Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении ЙО двух сечений (рис. 138): ,1и = —,' М,1О. Но й аз. ндпря1квния при чистом изтивв 147 поэтому ,) 2ЕУ ' (4.11) Рис.
139 торцевых сечений законы распределения напряжений далеки от тех, которые следуют из теории чистого изгиба. В соответствии с принципом Сен-Венана имеется возможность, однако, краевую зону исключить, как это показано, например, на рис. !39. Тогда для средней части стержня все выведенные выше формулы сохраняют свою силу и могут рассматриваться как точные. Рассмотрим некоторые простейшие примеры, связанные с определением напряжений в стержне при чистом изгибе. П р и м е р 4.1. Определить, как выгоднее расположить балку с квадратным поперечным сечением при изгибе: а) так, чтобы плоскость момента была параллельна сторонам квадрата, или б) так, чтобы она совпадала с его диагональю 1рис. 140)? Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо подсчитать момент сопротивления Ж'а в первом и во втором случаях. В случае а), согласйо выражению 14.9), Гга=яз)6. В случае б) У„=ае/12, у «=Н )г 2/2, и тогда 27 йзу(6 г 2) При выводе формул для чистого изгиба прямого стержня не было сделано произвольных допущений и найденное решение в этом смысле можно рассматривать как точное.
Однако следует иметь в виду, что в рассматриваемой задаче не конкретизирован характер распределения внешних сил. Считается только, что во всех случаях эти силы сводятся к равнодействующим моментам, приложенным к торцам стержня. Решение будет точным только для случая, если внешние силы на торцах распределены по тому же линейному закону, что и во всех поперечных сечениях. Практически это условие, понятно, никогда не соблюдается, и в окрестности ГЛ. 4. ИЗГИБ 148 Таким образом, случай а) является более выгодным. В этом случае момент сопротивлевпи )Р„ оказывается прнмерво на 40% выше. П р и м е р 4.2. Определить, какой процент экономии металла будет достигнут, если при неизменных прочих условвях в конструкции, а> эу Рнс. 140 Рис.
141 работающей на изгиб, применить вместо сплошного круглого сечения полое сечение с отношением диаметров >)з/Р4=0,9 (рнс. 141). Момент сопротивления сплошного круглого сечения определяется формулой (4.10): Вг„! = 0,1Р>. Для полого сечения величина йт„представляет собой разность момен. тов инеРции большого и малого кРУга, деленнУю на Уа>зх, т. е. пр4>04 пб4>04 / см т ш 01Рз 1 ') 0 1Р4 0,343.
Из условия равнопрочностн )Р„>= 9 аз, откуда Р>/Рз= у' 0,343=0,7. '"'"'~ЖППП~ППИ~ИППИ Рис. !42 Расход материала пропорционален площади сечения пРз пРе / ое ~ пР' Р'= — Ре= — ~! — — )~ — 0 19 >-4 $-4 ~, Рз) 4 Процент экономии материала определяется разностью площадей, отнесенной к площади сплошного круга: Р> — Рз ~ Рзз 100% = ! — — 0 19) 100%, или з 03044 0144 р> П р и и е р 4.3. На рис. 142 показана консоль, негру>кеннан двумя силами Р. Форма сечения балки Т-образная. Материал — чугун.
4 зз. нАпРяжения пРи поперечном изгипе 140 Спрашивается, как рациональнее расположить сечение: полкой вверх— вариант а) или вниз — вариант б)? Посиольку точка А отстоит от центра тяткести сечения дальше, напряжение в ней по абсолютной величине всегда будет больше, чем в точках В.
При укаэзнном направлении сил Р сжатые слои балки располагаются внизу. Так как чугун на сжатие работает лучше, петкеля иа растяжение, точку А рациональнее поместить вниз. Следоиательно, сечение должно быть расположено полкой вверх, т. е. следует предпочесть Р Р вариант а]. а а П р и и е р 4А. Для двухопориой балки (рис. 143) подобрать сечение в виде дзутаврового профиля, обеспечив Ра при этом двукратный запас прочности при Р=20 кН, а=! и и ига=300 МПа.
Наибольший изгибающий момент Рис. 143 возникеет на участке чистого изгиба и равен Ро. Напряжение омах не должно превышать половины Ри 300 пт . Следовательно, — ч:. †, откуда Низ~!33 см'. тр (Р' 2 ' х По таблице стандартных профилей (см. приложение в конце книги) выбн аем двутавр № !8, для которого )Р =143 смз. р им е р 4.5. Проволока диаметром и' наматывается на барабан. Диаметр барабава равен О.
Определить напряжение изгиба, возникающее в поперечных сечениях проволоки, если я ч0. Кривизна изогнутой проволоки аадана: 1!р=2/1). Поэтому, не определяя изгибающего момента, по формуле (4.3) сразу находим и =Š— =Š—. 2ртзх й п1зх р П' Следовательно, при постоянной кривизне напряжение п„„„возрастает пропорционально диаметру проволоки, $30.
Напряжения прн поперечном изгибе Мы видели, что при чнсгом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Соответствующие им внутренние силы приводятся к изгибающему моменту в сечении. В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Я. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения (рис. 144). Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.
Возникновение касательных напряжений т сопровоэкдается появлением угловых деформаций у. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения г(г" получает еще некоторые ГЛ. 4. ИЗГИБ дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом. Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. Поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
