Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 25
Текст из файла (страница 25)
445 Рис. !44 в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими. На рис. 145 показана типичная картина искривления поперечных сечений. Однако на величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила Я не меняется по длине стержня, формулы (4.6) и (4.8) У уи Му М а= — и о Х аааа !Р Л а выведенные для случая чистого изгиба, будут давать соверРис. !46 шенно точнь!е результаты и в случае поперечного изгиба. Действительно, при Я=сонэ( искривление всех сечений происходит одинаково (рис.
146). Поэтому при взаимном повороте двух смежных сечений удлинение продольного волокна АВ будет одним и тем же, независимо от того, осталось сечение плоским нли нет (А'В'=А"В"). При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для о некоторую погрешность.
Путем несложного анализа можно показать, что величина этой погрешности имеет порядок ЬД по сравнению с единицей, где й — размер поперечного сечения в плоскости изгиба, а 1 — длина стержня. По определению, данному в э 2, $ 30. нАпРяжения пРИ попеРечном изГБББ чб1 характерной особенностью стержня является то, что размеры его поперечного сечения много меньше длины. Следовательно, величина ЙЛ относительно мала и соответственно малой оказывается указанная погрешность. Все сказанное дает основание принять гипотезу плоских сечений. Будем в дальнейшем считать, что совокупность точек, образующих плоскость поперечного сечения до изгиба, образует и после изгиба плоскость, повернутую в пространстве.
Это предположение приемлемо в той мере, в какой а) Рис. 147 угловые деформации у в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны. Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т. е. напряжений «надавлнвания» между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе ст и имеют весьма малую величину *). Таким образом, в пределах указанных пренебрежений формулы (4.б) и (4.8), выведенные для определения нормальных напряжений, применимы не только при чистом изгибе, но н при поперечном.
В такой же мере применима ") Особые области, в зоне которых прикладываются сосредоточен- ные силы, из рассмотрения исключаются. Гл. с изгиа и формула (4.5), дающая зависимость кривизны стержня от изгибающего момента. Теперь определим приближенно касательные напряжения т при поперечном изгибе.
Вычислить эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной бг (рис. 147, а). При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются иа величину пЛ4. Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя (рис. !47, б), разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил ог(г в левом сечении в пределах заштрихованной площади г"а равна, очевидно, или, согласно формуле (4.6), М где через у, обозначена в отличие от у текущая ордината площадки бг" (рис. 147, б). Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно осн х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня у).
Обозначим этот статический момент через 5,". Тогда М~к уэ к 7„ В правом сечении нормальная сила будет другой у~+(й(» ( + 1 к 'гк Разность этих сил должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента (рис. 147, б и в). В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения Ь равномерно.
Тогда дМ5' =тббг, !!й)!)!й)))' 4 зо. нлпряжвния при попврвчном изгивп 183 откуда а/ Рис. !48 Я„'=О. Поэтому касательные напряжения, как это следует из формулы (4.12), в верхних и нижних точках сечения равны нулю. Для стержня прямоугольного сечения со сторонами Ь и Ь (рис. 148, а) имеем Ь / Ье Х Ьйз 3*= — ~ — — д ~, У = —, Ь=Ь. 2( 4 )' " 12' Следовательно, и апюра касательных наяряжеиий по высоте сечения изображается квадратной параболой. Наибольшее напряжение имеет место при у=б; 3 9 'и'ах = 2 ЬЬ Для стержня круглого сечения (рис. 148, б) путем несложной операпни интегрирования можно найти 8»= — (к — р) ° 2 а а ага 3 93; у„ь (4.12) Полученная формула носит название г(зормулы)1(рравского, по имени русского ученого прошлого века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.
Полученное выражение позволяет вычислить касательные напряжения, возникающие в продолы|ых сечениях стержня. Напряжения в поперечных сечениях равны им, как парные. Зависимость тот д в сечении определяется через статический момент 5*,. При подходе к верхней кромке сечения площадь заштрихованной части сечения (рис. 147, б) уменьшается до нуля. Здесь, следовательно, 5„"=О. При подходе к нижней кромке заштрихованная часть охватывает все сечение. Так как ось к — центральная, то и здесь ГЛ. 4. ИЗГИБ Кроме того, иР' пма 1 = — = — 0 = 2 )г )г ~ — у' 64 4 откуда т= — (Л вЂ” у ) 4Я за 4 емх 3 лйа ' Для стержня, имеющего сечение в форме треугольника с основанием с и высотой Л (рис.
148, в), имеем: Максимальное напряжение имеет место на расстоянии у=Ы6 от нейтральной оси: 3 311 тмзх = сй В двух последних примерах наглядно проявляется приближенный характер производимых операций. Это видно из того, что в поперечном сечении касательные напряжения имеют составляющие не только по оси у, но также и по оси х. Действительно, примем, как это делалось выше, что для точек А, расположенных у контура сечения (рис. 149), касательное напряжение т направлено по оси у.
Разложим вектор т на две составляющие — по нормали к контуру т„и по касательной ть По условиям нагружения внешняя поверхность Рис. !49 стержня свободна от касательных сил. Поэтому напряжения, парные т„, отсутствуют. Следовательно, т„= =О, а полное касательное напряжение вблизи контура направлено по касательной к контуру, и предположение о том, что т направлено по оси у, оказывается неверным. Тем самым обнаруживается наличие составляющих т по оси х. ЕЗЕ нАпРяжения пРи пОпеРечнОм изГиБе 15ч Для определения этих составляющих следует прибегать к более сложным приемам, нежели рассмотренные. Методами теории упругости можно показать, что в большинстве случаев составляющие т по оси х играют существенно меньшую роль, нежели составляющие по оси у. Из рассмотренных выше примеров можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизи- Р тельно в средней части высоты сечения, а т ,„ для нетонкостенных сечений Л имеет значение порядка Я!Р.
г Можно произвести сопоРис. !50 ставление абсолютных величин максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. Например, для консоли прямоугольного сечения (рис. 150) имеем Мпап ахах аа, ала а х 3 Р т ахах Е аь $ откуда тпа ах ааааа 'П Зто значит, что максимальные касательные напряжения в поперечном сечении относятся к максимальным нормальным напряжениям примерно как высота сечения к длине стержня, т. е. касательные напряжения существенно меньше нормальных. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостениых стержней. Что же касается тонкостенных стержней, то это вопрос особый. В связи с малостью величины т,х расчет на прочность при поперечном изгибе производится толысо по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе.
Касательные напряжения во внимание не принимаются. Зто тем более естественно, что в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, т. е. в наиболее опасных, касательные напряжения в поперечном сечении равны нулю. Рассматривая качественную сторону явлечия, следует иметь в виду, что касателы|ые напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях су- ГЛ. 4. ИЗГИБ щественно повлиять иа оценку прочности бруса. Например, при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральи ному слою, т.
е. там, где касательные напряжения максимальны (рис. 151). Касательные напряжения в продольных сечениях являются выражением существующей свяРис. 151 зи между слоями бруса при по- перечном изгибе. Если эта связь в некоторых слоях нарушена, характер изгиба бруса меняется. Например, в брусе, составленном из листов (рис. 152, а), каждый лист при отсутствии сил трения изгибается самостоятельно. Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна Р/л, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно Л1 (Р)п) 1 6Р1 шах — )Г (Ь>6) (Ь/и)и Бас Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
