Феодосьев В.И. Сопротивление материалов 1986 г. (1240839), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Например, у таврового и углового профилей (рис. 161) центр изгиба находится в точке пересечения средних линий стенки и полки. Момент касательных спл относительно этой точки всегда равен нулю. у~ Ь Г(г Рис. 1бб Итак, если момент касательных сил в сечении относительно центра изгиба равен нулю, то и момент внешних сил относительно центра изгиба должен быть равен нулю, иначе в стержне будут возникать деформации, свойственные не только поперечному изгибу, но и кручению.
В дальнейшем целесообразно, очевидно, при определении внутренних силовых факторов приводить йми3а касательные силы в сечении Рис. 161 не к центру тяжести, а к центру изгиба и под крутящим моментом понимать соответственно внутренний момент относительно центра изгиба. Так, рассматривая, например, стергкень, показанный на рис. 162, можно сказать, что поскольку линия действия силы проходит через ось з' (ось центров изгиба), то крутящий момент в сечении равен нулю и стержень закручиваться не будет. Но, например, тот же самый стержень, защемленный одним концом и находящийся под действием сил собственного веса (рпс. 163), будет закручиваться. Крутящий момент в заделке равен Ми = Я 2)с =1)! 2)т.
изгиа гл. ' ас- иеиии Р и Рас. еиии иР~ профи иап Р иис ° ирвтос о „„ые ли от левые „по и иасазел аиоипи полиител сеиеиии Ропп отея в с ЗМ„у ыес1о предал ь~1 а типа ии, если и зтоы ~ м' парти о;Рил ри ~,иалоти л~обосо охор~с в Я 2 2а1 .о савраса сил ие пР ул ~ ~2 о еииосо ~\цм~ си ~си. Вор ие 1оии~ оп1аи ви ~уф. и п авио изми 'ри изт аейссв1 6а (~ис. лвио Р ие1ир иеиии ' Р З ЗЗ. УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ ВАЛКИ 1бб З ЗЗ. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. Перемещения при изгибе Форму изогнутой оси балки или, как говорят, форму упругой линии можно определить при помощи выражения (4.5): 1 М ~Гз В неподвижной системе координат у, г (рис.
165) 1 у" Р (1+„з)з/з ' (4.16) Ограничимся рассмотрением случая малых перемещений. Тогда тангенс угла 9 между касательной к упругой линии и осью г (рис. 165) весьма мал. Позтому квадратом величины у' по сравне- Р нию с единицей можно пренебречь и принять 1 — у з Р откуда у"= —. (4.17) К ГУ Сопоставляя выраже- Рис. 1бб ние (4.17) с формулами (4.!), получаем очевидную цепочку дифференциальных соотношений: 9=у', М=ЕУ у", Я=(Ы„у")', д= (Е)„уз)", (4.18) или для балки с постоянным сечением: б=у. М=Е3*у Я=Е3зу у=ЕЗВу (4 19) Из этих формул видно, что в случае нагруженпя балки постоянного сечения равномерно распределенной нагрузкой (д=сопз1) имеем у'У = — = сопз1. ~ ГУ Следовательно, форма оси изогнутой балки описывается .рнвой четвертого порядка. Если на некотором участке балки у=О ф=сопз(), то ось балки будет изогнута по кривой третьего порядка, !66 Гл, с изгив Понятно, что все написанные выше соотношения являются точными в той мере, в какой перемещения можно считать малыми.
Подавляющее большинство задач, связанных с расчетами на прочность и жесткость при изгибе, решается в указанном предположении, причем с весьма высокой степенью точности, поскольку величина у', отброшенная в выражении (4.16), действительно ничтожно мала. В некоторых случаях возникает необходимость решить задачу при больших упругих перемещениях. Такого рода задачи встречаются в основном при исследовании специальных пружин приборов. Если система способна прн больших перемещениях сохранять упругие свойства, то она называется гибкой, независимо от того, идет ли речь об изгибе, кручении или растяжении.
При изгибе предельные упругие перемещения' определяются не только свойствами материала, но в равной мере отношением длины балки к размеру поперечного сечения в плоскости изгиба. Наибольшее относительное удлинение при изгибе согласно формуле (4.2) равно Уага х е агах а напряжение— П Е Ушак ага хв Р Большие перемещения стержень сможет получить прн условии большого изменения кривизны 1(р. Но при напряжениях, не превышающих предела упругости, зто возможно только при достаточно малом у,х, т. е. при малой высоте сечения. Гибкий стержень имеет поэтому обычно форму тонкой ленты или тонкой проволоки и часто называется тонким еибким стержнем. Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня имеет вид Маза У ЕУ„(! 1 У з)з!з ' Отличие этого уравнения от уравнения (4.17) заключается не только в том, что здесь сохраняется нелинейный член у" в знаменателе. Для гибкого стержня выражение М„,„ должно составляться с обязательным учетом перемещений, возникающих в стержне, что при обычном построении эпюр моментов не делается.
Указанная особенность гибких стержней наглядно иллюстрируется примером консоли 4 ЗЗ. УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ 167 (рис. 165). Видно, что с ростом прогибов вертикальная сила Р получает горизонтальное смещение. В результате этого изгибающий момент в каждой точке стержня изменится на некоторую величину, зависящую как от местного горизонтального смещения, так и от горизонтального смещения точки приложения силы Р. Общие методы изучения больших перемещений при изгибе объединяются так называемой теорией гибких спгержней. Эта теория выходит за рамки сопротивления материалов и в настоящем курсе не рассматривается. Рассмотрим некоторые примеры определения формы упругой линии изогнутой балки при малых перемещениях.
П р и м е р 4.9. Составить уравнение упругой линии консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой Р (рис. 166). Поместим начало координат г, у в заделке. Изгибающий момент в сечении а равен М=Р(1 — г). Подставив зто выражение в (4.!7) Рис, 167 Рис. 166 и дважды проинтегрировав полученное уравнение, найдем Р 7 а' за у = — ( 1 — — — +Сха+ Са), Е7х (ч 2 6 где С, и Сх — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Н данном случае при а=о имеем У=О и у'=О, откуда С,=О и С,=О, Тогда Наибольший прогиб имеет место в точке приложения силы Р, т.
е. при а=1, и равен РР Умах= ЗЕ7 к П р и м е р 4.10. Двухопорная балка длиной 1 нагружена силой Р, расположенной на расстоянии а от левой опоры (рис. 167). Требуется составить уравнение упругой линии и найти перемещение точки прилоакеиия силы. Начало координат располагаем на левой опоре. Изгибающие моменты на первом и втором участках бруса имеют выражения Ь Ь М, = Р— а, Мх = Р— г — '. Р (я — а). 168 ГЛ. З. ИЗГИБ После подстановки этих выражений в (4.!7) и двукратного интегриро- вания полученных уравнений находим Р /Ь г' у = — ( — — +С,г+С,), Е3к (з( 6 Р l Ь гз гз гз уз= — ~ — — — — +а — +С,г+С,) . Е3з~1 6 6 2 Постоянные интегрирования определяются из условий закрепле- нвя балки н условий непрерывности прн переходе с первого участка на второй прп г=о у,=б, при г=а у,=у, и уз=уз, при г=( уз=о.
Из этих условий находим С,= — (За( — 2Р— аз), Сз = О, Сз= — — (21 +а ), а а 61 ' ' 61 аз С,= †. После преобразований получим Р З у, = — — [гз — га (21 — а)), бЕ3„ у = — „. — [ — гз+Згз( — г (2Р+а')+аз([, ОЕ3к Разбз В точке приложения силы Р имеем уз=уз= — ЗЕ . Если сила приЗЕ3з( Р(з ложена посередине пролета, то уз= умах= — —.
Координата у точки приложения силы после изгиба балки оказы- вается отрицательной. Балка прогибается в сторону, противополонгную положительному направлению оси у. Из рассмотренных примеров видно, что для балки, име- ющей несколько участков, определение формы упругой линии становится затруднительным. Уравнение каждого участка после интегрирования содержит две произвольные постоянные. Если балка имеет и участков, необходимо сов- местно решить 2п уравнений для определения 2п постоян- ных интегрирования.
Естественно, еще более громоздкнмн будут выкладки для балки переменной жесткости. В свое время на преодоление этих трудностей было за- трачено много усилий. Но, как всегда, с годами поиска вырабатываегся что-то наиболее простое и целесообразное. История сопротивления материалов в этом смысле доста- точно поучительна. Существуют графические и графоана- литические методы построения упругой линии, изучение которых еще до недавнего времени в курсах строительной механики считалось совершенно обязательным.
Существует универсальное уравнение упругой линии для балки по- стоянного сечения, где при любом числе пролетов можно ограничиться определением всего двух постоянных инте- грирования. Могут быть предложены и другие, родствен- ные им приемы построения упругой линии. Однако в на- Ф м. еллкл на кпгггом основюши стоящее время в связи с развитием ЭВМ в технике безраздельно господствуют численные методы. И сейчас, когда подобного рода задачи без труда решаются на ЭВМ, родившиеся в начале века графические приемы сохраняют лишь исторический интерес, а некоторые остроумные упрощения порой представляются бьющими мимо цели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
